К теории извлечения корней в некоторых классах групп без кручения

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
68


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Группа С называется -группой, полной группой, Ф-группой если в ней уравнение имеет соответственно не более одного, не менее одного и в точности одно решение

28].

Изучение различных классов -групп, пополнений групп, вложение -групп в -группы, а также изучение -групп являются различными сторонами теории извлечения корней -важной части теории групп без кручения. Понятие -группы было введено И. Г. Конторовичем [1,2]. Однако началом теории р?-гру1т следует, по-видимому, считать теорию нильпотентных групп без кручения, в которой центральное место занимает мальцевская теория извлечения корней. В классической работе А. И, Мальцева [3] важную роль сыграл тот факт, что произвольная локально нильпо-тентная группа без кручения является Р-группой, т. е. в ней извлечение корня натуральной степени является однозначной, хотя и не всегда определенной операцией. Следующая теорема Мальцева является основной во всей теории нильпотентных групп без кручения.

Всякая локально нильпотентная группа без кручения С? может быть вложена в полную локально нилъпотентную группу без кручения, любой элемент пополнения группы 6 г, возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в 6 г. Если и

Сгд — два пополнения группы бг, то между ними существует изоморфизм, притом единственный, продолжающий произвольный автоморфизм У группы Сг.

А.И. Мальцев доказал эту теорему при помощи аппарата теории групп и алгебр Ли. Попытки доказать эту теорему чисто алгебраическими методами привели к бурному развитию теории извлечения корней. Новые доказательства и различные обобщении теоремы Мальцева были даны в работах М. Лазара [4], А. Л. Шмелькина [5 7, Г. Баум-слага [б], Ф. Холла Г7] и других авторов. Теорема Мальцева была перенесена и на случай упорядоченных нильпотентных групп (см. С8}). В работах Б. И. Плоткина [9,10] многие результаты, доказанные ранее для локально нильпотентных групп без кручения были перенесены на более широкие классы Р-групп.

Позднее Ю. В. Кузьмин доказал Ги], что произвольная метабе-лева -группа вкладывается в мета б еле ву ?6 -группу. Пополнение в этом случае, вообще говоря, не однозначно. Проблема о том, вкладывается ли произвольная Я-группа в «б-группу в общей постановке, решается отрицательно. В той же работе Ю. В. Кузьмина построен пример трехступенно разрешимой Р?-группы, которая не вкладывается ни в какую 'зб-группу.

В связи с дальнейшим развитием теории возникла проблема исследования Я -групп, в том или ином смысле близких к нильпо-тентным группам без кручения. Одними из наиболее интересных классов групп, близких к нильпотентным группам без кручения, являются класс полициклических Я-групп и более широкий класс разрешимых 14-групп конечного специального ранга (в смысле Мальцева). Группы конечного специального ранга исследовались в работах многих авторов. Характерной чертой многих работ в этом направлении является использование линейных групп для исследования абстрактных групп. Эта идея А. И. Мальцева наиболее выпукло проявилась в его работе Г127, где он, используя понятие ранга выделил пять классов разрешимых А^-групп и доказал для них ряд фундаментальных теорем. Результаты многих авторов можно отнести к стыку двух теорий: теории извлечения корней и теории групп конечного ранга, Кроме результатов А. И. Мальцева сюда можно отнести, например, результаты В.М. ГЛушкова, Б. И. Плоткина, В. С. Чарина (см. § 2). Основные результаты диссертации также относятся к стыку. этих двух теорий, а именно, к исследованию разрешимых /& quot-?-групп конечного специального ранга.

В диссертации важную роль играет понятие сильно изолированной подгруппы. Сильно изолированные нормальные подгруппы группы

Сг — это в точности ядр гомоморфизмов из группы Сг в группу. Техника исследований основывается на работе с коммутаторами с использованием некоторых специальных квазитождеств, выполняющихся в произвольной Р-группе. Эта техника была развита автором в целях исследования разрешимых Р-групп конечного ранга. Та же техника используется для доказательства теорем о конечных расширениях Я-групп.

В первой главе диссертации приводятся основные определения и понятия, необходимые сведения, а также доказываются некоторые общие утверждения. В первом параграфе доказывается лемма об эквивалентности трех определений -группы через различные системы квазитождеств, которая дает нам основной технический инструмент диссертации. Во втором параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений. В третьем параграфе мы доказываем основные теоремы первой главы о конечных расширениях Ц-групп. Через обозначим множество операторов вида 1+$ + + группы 6 г, рассматриваемой как & pound-гоператорная группа, где элемент ^ 0 действует на Сг сопряжением.

Теорема I. Пусть G & mdash-группа без кручения, H — её нормальная подгруппа, фактор-группа G/H — периодическая локально разрешимая группа. Для того, чтобы группа GJ- была R-группой необходимо и достаточно, чтобы в подгруппе H не было R^кручения.

Группа G называется $*-группой С R*"*-rpyimoii), если каящая фактор-группа группы G является R -группой (соответственно каздая фактор-группа подгруппы группы G является R-группои.

Теорема 2. Пусть G — группа без кручения, H — её нормальная подгруппа, G/H — периодическая локально разрешимая группа. Тогда для того, чтобы группа G была -группой достаточно, чтобы всякая изолированная в H нормальная в G подгруппа была R-изолирована в H. Отметим, что теорема I примыкает к результатам Б. Неймана-Шепперда о конечных расширениях упорядоченных групп f13J.

Центральное место в диссертации занимает вторая глава, которая посвящена изучению разрешимых R -групп конечного ранга. В четвертом параграфе приводятся основные результаты главы.

В.С. Чарин [14] доказал, что произвольная разрешимая группа без кручения конечного ранга обладает рядом нормальных подгрупп G где

Gr/G, — конечная группа, UJU — свободная абелева группа конечного ранга, N — нильпотентная группа конечного ранга. Для R- группы G мы доказываем следующую теорему.

Теорема 3. Произвольная разрешимая R-группа G конечного ранга является расширением нильпотентной группы конечного ранга с помощью свободной абелевой группы конечного ранга.

В.М. Глушковым доказано [19], что локально нильпотентная группа без кручения тогда и только тогда имеет конечный ранг Л, когда она нильпотентна и обладает рациональным рядом длины Л.

Из теоремы 3 вытекает

Следствие I. Локально разрешимая & iexcl-3-группа тогда и только тогда будет иметь конечный ранг Л, когда она разрешила и обладает рациональным рядом длины Г*.

Важным подклассом класса 13-групп является класс групп со строго изолированной единицей [8] или, короче,-групп. Проблема о том, совпадают ли классы упорядочиваемых групп и -групп (Г18], вопрос 1. 47) в общей постановке решена отрицательно В.В. Блудов[17]). Из теоремы 3, а также результата В. М. Копытова об упорядочиваемости произвольной 5 -группы, имеющей нильпотент-ный коммутант (см. 8]) вытекает

Следствие 2. Всякая 5-группа, обладающая локальной системой из разрешимых групп конечного ранга, упорядочиваема.

Теорема 4. Пусть (? — разрешимая $-группа, Н — её изолированная нормальная подгруппа конечного ранга. Тогда факторгруппа а/н являе т ся к-группой.

Отсюда получаем, что внутри класса разрешимых групп конечного ранга подклассы к-групп, 13* -групп, (-?**-групп (см. § 1) совпадают. В пятом параграфе приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы разрешимая группа конечного ранга была Я-группой. Рассматривается произвольный центральный ряд нильпотентного радикала Л/ группы & pound-г, состоящий из изолированных подгрупп: N = Мк ^ А/^.у. > Л^ А/0. Секции этого ряда естественным образом становятся модулями над целочисленным групповым кольцом ыт. Группа и будет группой, тоща и только тогда, когда В = - абелева группа без кручения и в каждом Ж [В]- модуле М[ = N?-1, нет

К-кручения, где мультипликативная система кольца порожденная элементами вида (Предложение I или, несколько иначе, когда для каждой секциис среди собственных значений действия произвольного элемента В на М^' нет нетривиальных корней из I (Предложение 2). В этом же параграфе в качестве иллюстрации приводятся несколько примеров. Существует неупо-рядочиваемая полициклическая К-группа (Пример 2), метабелева

К -группа конечного ранга, не имеющая упорядочиваемой подгруппы конечного индекса (Пример 3). Пример 4 дает отрицательный ответ на вопрос А. Л. Шмелькина, определяет ли & quot-метабелева часть& quot- полициклической группы (х без кручения свойство быть /?-группой (N — нильпотентный радикал группы Сг).

В.С Лариным ?15] доказано, что полная группа конечного ранга нильпотентна. В частности, разрешимая -группа конечного ранга нильпотентна. Более того, оставаясь в классе разрешимых групп конечного ранга, нельзя «пополнить& quot- ни один элемент, не принадлежащий нильпотентному радикалу. Сам же нильпотентный радикал можно пополнить, оставаясь при этом в классе разрешимых К-групп того же ранга. В шестом параграфе доказывается

Теорема 5. Пусть С — разрешимая /?-группа конечного ранга, N — её нильпотентный радикал. Тогда группа & вкладывается в такую К-группу Сг* «что нильпотентный радикал N*r группы Сг является пополнением подгруппы А/, и имеют место а) лС = л& pound-* - б) Л/=уу*/1? — в) & lt-?*=£-ЛГ — Г) С/А/.

В этом же параграфе доказывается следующая

Теорема 6. Пусть Сг* - локально разрешимая Д-группа, Сг — её подгруппа конечного ранга, и пусть всякий элемент группы Сг*, возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в Сг. Тогда группа Сг имеет конечный ранг, причем а) г (Г= Г 6 — б) Л/= ЛЛ/1 & - в, ?*/Л/*^С/Л/. где А/* и А/ - нильпотентные радикалы групп & pound-г и & pound-г соответственно.

Согласно теореме В. М. Копытова (см. § 2) всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения вкладывается в группу невырожденных матриц степени И, над полем рациональных чисел, при этом нильпотентный радикал представляется унипотентными матрицами. Известно, что если матричная группа над полем характеристики 0 имеет нильпотентный коммутант, который состоит из унипотентных матриц, то группу можно одновременным сопряжением привести к треугольному виду.

Третья глава настоящей диссертации посвящена изучению матричных Р-групп. В седьмом параграфе доказывается

Теорема 7. Пусть группа не тлеет кручения, Д/=

-её унипотентный радикал. Тогда а) группа Сг будет -группой в том и только в том случае, если в Д/ нет /^-кручения. б) группа Сг будет /^-группой в том и только в том случае, если всякая изолированная в А/ нормальная в Сг подгруппа

А^А/ Я6- изолирована в N.

Ввиду сделанных выше замечаний класс разрешимых -групп конечного ранга содержится в классе треугольных -групп конечного ранга. Для описания последнего класса вводится понятие относительной чистой треугольной группы (см. § 7). Оказывается, что всякая относительно чистая треугольная группа является /?-группой (теорема 8). Основным результатом седьмого параграфа является описание разрешимых -групп конечного ранга в терминах треугольных групп:

Теорема 9. Пусть Сг треугольная группа конечного ранга без кручения. Группа С будет -группой в том и только в том случае, если она относительно чиста.

Б восьмом параграфе доказывается, что если тпШ) -группа таких матриц из Т^(к), У которых диагональные элементы принадлежат некоторой полной подгруппе без кручения Т) мультипликативной группы к. поля А., то группа Т/г (О, /С) будет — -группой (теорема 10). Применив эту теорему, получаем следующие теоремы.

Теорема II. Конечно порожденная разрешимая матричная группа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 содержит такую подгруппу Н конечного индекса, которая сопряжена в группе с подгруппой треугольной группы: X'1 Нх «?. Тп[0,к),

Теорема 12. Всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся является К-группой, вложимой в -группу с нильпотентным коммутантом.

Результаты диссертации докладывались на ХУ1 и ХУП Всесоюзных алгебраических конференциях в Ленинграде (1981г.) и в Минске (1983г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры и на семинаре по теории групп в МГУ. Основная

часть результатов опубликована в работах автора [20 — 23].

Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору А. Л. Шмёлькину, под руководством которого выполнена данная работа, за постановку задач, многократные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

1. П. Г. Конторович, Группы с базисом расщепления, 1. I, Матем. сб., 22, 1948, с. 79−100.

2. П. Г. Конторович, Группы с базисом расщепления, 1У, Матем. сб., 26, 1950, с. 311−320.

3. А. И. Мальцев, Нилъпотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, т. 13, М, с. 201−212.

4. JK. Lazard, Sur- Ica цгоир&ь nilpoten~U ei & iquest-ел ашешзс. de tie, Ann. ZcjoL norm, iupe’r. 195

5. А. Л. Шмелькин, Нилъпотентные произведения и нилъпотентные группы без кручения, Сиб. матем.ж., т. З, M, 1962, с. 625−640.6. ?r. Raumblau) A (?mer-aii^odiorri о{ a -theorem, of jUafa*?-, AKt. Maih., 11, № 1, p^OS-HS

6. Ф. Холл, Нилъпотентные группы, Матем. сб. переводов, 1968, т. 12, с. 3−36.

7. А. И. Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы, M., 1972.

8. Б. И. Плоткин, К теории некоммутативных групп без кручения, Матем. сб., 30, 1952, с. 197−212.

9. Б. И. Плоткин, К теории разрешимых групп без кручения, Матем. сб., 36, 1955, с. 31−38.

10. Ю. В. Кузьмин, Многообразие метабелевых -групп, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 36, M, 1972, с. 765−788.

11. А. И. Мальцев, 0 некоторых классах бесконечных разрешимых групп, Матем, сб., 28, 1951, с. 567−588.

12. S.H. Neumcurn, }.А.Н. Shepperd} fmxh wten-Ьопл of ordered or-oupi, Pr-oc. Roy. Soc. undori, Ser. A, 239, /957, p. 320−327.

13. В. С. Чарин, 0 разрешимых группах типа, Матем. сб., 52,1960.

14. В. С. Чарин, К теории локально нильпотентных групп, Матем. сб., 29, 1951, с. 809−811.

15. В. М. Копытов, 0 матричных группах, Алг. и лог., 1968, т. 7, вып. З, с. 51−59.

16. В. В. Еяудов, Пример неупорядочиваемой группы со строго изолированной единицей, Алг. и лог., 1972, т. II, вып. 6, с. 619−632.

17. Коуровская тетрадь, Нерешенные задачи теории групп, Новосибирск, 1980.

18. В. М. Глушков, 0 некоторых вопросах теории нильпотентныхи локально нильпотентных групп без кручения, Матем. сб., 30, 1952, с. 79−104.

19. А. Р. Асасян, Разрешимые Я -группы конечного ранга, Вестн. МГУ, 2, 1982, с. 72−76.

20. А. Р. Асасян, 0 матричных § 6 -группах, в сб. & quot-ХУТ Всес. алг. конф., тезисы, чЛ& quot-, Ленинград, 1981, с. 8−9.

21. А. Р. Асасян, 0 некоторых Я-группах, в сб. & quot-ХУП Всес. алг. конф., тезисы, ч. 2"-, Минск, 1983, с. 8−9.

22. А. Р. Асасян, Несколько замечаний о группах с однозначным извлечением корней, Деп. в ВИНИТИ, ^43^-^деп, 29с.

23. Д. И. Зайцев, 0 разрешимых группах конечного ранга, ДАН СССР, 1968, т. 181, № 21, с. 13−14.

24. В. Н. Ремесленников, Представление конечно порожденных ме-табелевых групп матрицами, Алг. и лог., 1969, т. 8, вып. I, с. 72−79.

25. Я. Б. Ливчак, Об упорядочиваемых группах, Уч. зап. Уральского ун-та, 23, 1959, с. II-12.

26. М. И. Каргополов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М., 1982.

27. А. Г. Курош, Теория групп, 3-е изд., И., 1967.

ПоказатьСвернуть

Содержание

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. ОПРЕЩЕЛЕНИЯ. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ.

ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ I. Основные определения и понятия.

§ 2. Необходимые сведения

§ 3. Конечные расширения R-групп

ГЛАВА II. РАЗРЕШИМЫЕ R -ГРУППЫ

КОНЕЧНОГО РАНГА

§ 4. Основные теоремы

§ 5. Описание разрешимых R-групп конечного ранга. Примеры

§ 6. О пополнении разрешимых R -групп конечного ранга

ГЛАВА III. РАЗРЕШИМЫЕ МАТРИЧНЫЕ R -ГРУППЫ

§ 7. Треугольные R -группы.

§ 8. Пополнение подгрупп конечного индекса

Заполнить форму текущей работой