Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
104


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

1. Пусть Q, ~ односвязная область в С- Н = H (Q) — пространство функций, аналитических в Q, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах- D — оператор дифференцирования действующий в Н. Подпространство W С Н называется инвариантным (относительно оператора D), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению, А 6 С, называется непустое подпространство оо

J{feH: (D-)nf = 0}CH.

71=1

Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора D. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перепое на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [72]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была рассмотрена в 1947 г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [78].

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским в -статьях [16] - [18]. К этим работам примыкают работы В. А. Ткаченко [47], С. Г. Мерзлякова [36], Б. Н. Хабибуллина [53], Р. С. Юлмухаметова [71], С. И. Калинина [9], А. Н. Абузяровой [1] и др.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного уравнения свертки (ядра оператора свертки): можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений (линейными комбинациями корневых элементов оператора D). Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт [77], Полиа [76], Валирон [79], А. Ф. Леонтьев [28] - [30], А. О. Гельфонд [4], JI. Эренпрайс [74], [75], Д. Диксон [73], Ю. Ф. Коробейник [10] - [14], И.Ф. Красичков-Терновский [16] - [18], О. В. Епифанов [5] - [8], В. В. Моржаков [37], [38], С. Н. Мелихов [32], [33] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Пусть S — произвольный линейный непрерывный функционал на Н, f е Н, S * / - свертка функционала S и функции /. Для любого компакта К С ?1 при достаточно малом |/i| ряд & pound-~о сходится равномерно на К к сдвигу f (z + h). Поэтому

5 * /) (h) = (5, f (z + h))=J2 n

71=0

Отсюда вытекает, что ядро оператора свертки f S*f совпадает с подпространством Ws С Я, определяемым следующим образом:

Ws := {/ G Я: (5, Dkf) = 0, к = 0,1,.}.

Оператор дифференцирования D: Я -«• Я является линейным и непрерывным. Значит, для любого к G N функционал действующий на элементы из Я по правилу (S^k f) := (S, Dkf), является линейным и непрерывным функционалом на Я. Его ядро является замкнутым подпространством в Я. Отсюда вытекает, что определенное выше подпространство Ws является замкнутым подпространством в Я. Если / е Ws, то для любого к G Z+ выполняются равенства

Это означает, что Df € Ws- Следовательно, подпространство Ws является замкнутым и инвариантным относительно оператора D. Допускает ли это подпространство спектральный синтез? Аналитический ключ к решению этой задачи представляет собой следующую аппроксимационную теорему: пусть Н (в) — ограниченная тригонометрически выпуклая функция, ip, Ф — целые функции экспоненциального типа с индикаторами h^Q), Лф (#) < h (9). Если существует целая функция /, для которой ftp — Ф, то найдется последовательность многочленов pk, сходящаяся к f равномерно на компактах, для которой выполняется равномерная по к оценка pk{z)v (z) < const exp{h (9)z}.

Справедливость этого аналитического факта вытекает из теоремы 4. 4, доказанной И.Ф. Красичковым-Терновским [16]. В статье [19, теорема 1] этот результат распространяется на случай, если с/р, Ф — векторные функции.

Одно из направлений развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к произвольным дифференциальным операторам: оператору кратного дифференцирования

Dq: Я Hf /М

34], [35], [60], [62], [20]- дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами тг (D) = Dq + aiL"9"1 +. + aqD°

21] - [24]- дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами dk к-О где оо тг© = к=0 целая функция минимального типа при порядке р = 1 [56] - [58]. При этом формулировка аналитического факта несколько меняет свою форму: функция / и многочлены pk заменяются композициями /о7г и Pfc0 7r соответственно. Первый шаг в этом направлении сделан в работе А. Б. Шишкина [61, теорема 1]. В этой работе показано, что аналитический факт остается справедливым, если 7 Г одночлен zn. В работе [23, предложение 3. 1] этот результат распространен на случай 7 Г — многочлен.

Естественная постановка задачи спектрального синтеза в условиях многих комплексных переменных предполагает замену одного оператора 7r (?> i,., Dn) системой операторов tti (?> I, ., Dn),., 7Г9(?>ь., Dn).

Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования Di,., Dn (см., например, [25], [26], [63], [67] и [66]).

Другое направление развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к более общим операторам 7Г*, сопряженным умножению на функцию 7 Г. Формулировка аналитического факта продолжает свою трансформацию: < /?, Ф — у лее целые функции конечного порядка. Это направление инициировано исследованием случая 7t (z) = z в работе В. А. Ткаченко [47]. Ситуация 7t (z) = zn исследована в работе А. Б. Шишкина [62, теорема 6. 5]. Распространение этого результата на случай 7 Г — многочлен осуществлено в [23, предложение 3. 3] в векторной ситуации.

В диссертации рассматривается случай, частично исследованный ранее А. Н. Чернышевым: 7 г — целая функция минимального типа при порядке р = 1. При этом рассмотрена векторная ситуация. Показано, что если функция 7 г имеет вполне регулярный рост и всюду положительный индикатор при некотором порядке < 1, то аналитический факт (точнее его векторный аналог) остается справедливым. В частности, подпространство

Ws := {/ <= Я: (5, тr (D)kf) = 0, к = 0,1,.} для любого линейного непрерывного функционала S на Н допускает спектральный синтез.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Пусть fii,., Г2П — выпуклые области в С- Hv = H{?lu) — пространство функций, аналитических топологией равномерной сходимости на компактах- Н — топологическое произведение Н х • • • х Нп. Символом tt (D) обозначим линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка действующий на элементы / = (/i, •., fn)? Н покомпонентно k (D) — линейный непрерывный оператор, действующий из Н в Н. Пусть Н* = Щ х. х Н* - сильное сопряженное к пространству Н. Обозначим Т преобразование, которое каждому функционалу S = (Su) Е Н* ставит в соответствие n-функцию < /? — где фЛС) = ~~ целая функция экспоненциального типа.

Пусть Р — полный образ отображения Т. Отображение Т является линейным топологическим изоморфизмом пространства Н* на пространство Р. Оператор умножения на функцию 7 Г (& pound-) является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7 г над полем С.

Множество U С С будем называть 7Г- симметричным, если найдется множество У С С такое, что U = 7Г1(У). Функция < /?, аналитическая на открытом 7г-симметричном множестве U С С, называется 7г- симметричной, если она представляется в виде Ф о 7 Г, где Ф — некоторая функция, аналитическая в точках множества

О (и) ~ кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях

7 Г (U).

Пусть ЛеС, Л — 7г-слой 7 г 1(А), со — подмножество А, и, On{uj) — декартово произведение 0(и& gt-) х • • • х О (со) п копий 0(u>), Ov (w) — кольцо ростков 7 г -симметричных функций, аналитических в окрестностях и. Множество Оп (ш) рассматриваем как модуль над кольцом

Пусть I — замкнутый подмодуль в Р, w — конечное подмножество Л. Обозначим 1(и) минимальный подмодуль О7г (о-)-модуля Оп (и), включающий I. Ясно, что I{oj) состоит из всевозможных конечных сумм ьида, а € (ЛгИ, & lt-р®- G I.

Если С о& gt-2, ТО 1{ш2) с I (ui). Пересечение f| J (w) С 0& raquo-(А) wCA является 07 Г (Л)-подмодулем в Оп (А) и называется локальным подмодулем /, ассоциированным с iv-слоем А, и обозначается /(А). Согласно этому определению, локальный подмодуль /(А) С Оп (А) исчерпывается ростками n-функций, аналитических в окрестностях, А и представимых в виде ^ в окрестности каждого конечного подмножества w С I Здесь q — 7г-симметричные функции, аналитические в-симметричных окрестностях A, ip^ 6 I.

Подмодуль I допускает локальное описание (является обильным), если справедлива импликация: eP.G 7(A) VA G С => ip el.

Задача локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутый подмодуль I С Р допускает локальное описание.

Задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза.

Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу в комплексной области. Например, задача спектрального синтеза в отношении подпространства W$ эквивалентна задаче локального описания главного подмодуля С Р, определяемого как замыкание в Р множества

PV: р е С[ж},

Постановка и детальное исследование задачи локального описания для случая 7t{z) = z осуществлены в статьях И.Ф. Красич-кова-Терновского [16], [17]. К этим работам примыкает работа А. Н. Абузяровой [1]. Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю тх (z) = zq. Первое исследование этой задачи осуществлено А. Б. Шишкиным в работах [61], [62] (см. также [20]).- Случай тг (z) = zq + aizq~l +. + aq исследован в работах [21] - [23].

В работе А. Н. Чернышева [58] впервые рассмотрен случай: п= 1, iv (z) — целая функция минимального типа при порядке р — 1. Обильность главных С [7г]-подмодулей в Р доказана им в предположении, что целая функция 7 Г удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1) существует уточненный порядок р (г) -> р: 0 < р < 1 такой, что функция 7 г является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке-

2) индикатор h{9) функции 7 Г при уточненном порядке р{т) всюду положителен-

3) гр№ - вогнутая функция-

4) для любого е' > 0 найдутся положительные константы /3, h' такие, что вне некоторого множества кружков, линейная плотность которого не превосходит е', выполняются оценки

ИС)1 > Р,

-(О-К). ^) ^'(01 равномерно по лежащем в круге — < Ы.

В настоящей работе рассмотрен случай: п > 1, ir (z) — целая функция минимального типа при порядке р = 1. Полученная аппроксимационная теорема позволяет доказать, в частности, обильность главных С[7г]-подмодулей в Р, при наложении на функцию 7 г только двух первых из перечисленных выше дополнительных условий.

3. Рассмотрим основное содержание диссертации. Первая глава состоит из трех параграфов. Параграф 1.2 содержит развитие известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении на случай уточненного порядка p (t) (теорема 1.2. 1). При этом охватывается ситуация с нулевым порядком.

Выберем неотрицательную функцию р, определённую на луче t > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности Н-оо и

V МО V lim ^^ = +оо, lim.. = p < +oo. ' i^+oo In it t-*+oo fj,[t)

Две функции fi, /2 комплексной переменной называются р-эквивалентными (в обозначениях /1 ~ /2), если существует множество кружков Е = Ue^ нулевой линейной плотности такое, что nfi{z)-nf2(z) = o (p (z)), z~> oo, z

Пусть A = {А-} - последовательность отличных от нуля комплексных чисел-с единственной предельной точкой в бесконечности, n (t) = n (t- Л) — считающая функция, р = [/?]

G (Z, p-A) = YIg (J. >P) каноническое произведение. Справедлива следующая теорема о расщеплении: если где u (t) интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, to) и подчинена условию < с (0 < с < +оо), то последовательность Л можно разбить на две подпоследовательности, А = {& laquo-г} и В — {6г} таким образом, что при р? N и некотором а? С.

Для случая fi (t) = t эта теорема доказана в работе И.Ф. Краси-чкова-Терновского [15, теорема 4. 2].

Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Ада-мара для целых функций конечного порядка легко получить следующую факторизационную теорему: если целая функция f удовлетворяет условию, а последовательность Л = {Ai} ее нулей удовлетворяет условию (0.1. 1), то функцию f можно представить в виде произведения двух /л -эквивалентных множителей f = /½, где fi ~ /2.

0.1. 1)

C (ziP]A)~G (z: P-B) при р? N,

G{z, p- A) eazP ~ G{z, p- B) e~azP +00

В статье B.C. Азарина [2] эта теорема доказана для случая =tp, p> 0. В дальнейшем его результат неоднократно развивался, например, в статьях Б. Н. Хабибуллина [48], [50] и Р.С. Юл-мухаметова [65], [68]-[70]. Доказательство B.C. Азарина является альтернативным и опирается не на теорему о расщеплении, а на его результаты по аппроксимации субгармонических функций логарифмами целых функций. Приводимое ниже доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.

Доказательство теоремы о расщеплении опирается на два промежуточных результата (теоремы 1.1.1 и 1.1. 2). Их доказательству посвящен параграф 1.1.

Последовательность комплексных чисел Г = {7г-} называется d-близкой к последовательности, А = {А^}, если ^ - Aj| < г — 1, 2,. Множество G называется а-удаленным от множества Р, если inf h — z > a z heP1 ' для любой точки z? G. Символом 0(х) обозначаем произведение функции, модуль которой ограничен сверху положительным числом, на х. Множество кружков Е центрировано множеством Р, если каждая точка Р принадлежит по крайней мере одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит по крайней мере одну точку из Р.

Пусть р — 0. Тогда оказываются справедливыми две следующие теоремы. Для случая 0 < р < +оо аналогичные теоремы доказаны в статье И.Ф. Красичкова-Терновского [15, терема А, теорема В].

Теорема 1. Пусть целая функция f (z) удовлетворяет уеловию

— In Mfir) ^ /л lim -< с (0 < с < +oo), r-> +oo fi[r) g (z) — целая функция с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой к последовательности корней Л = {Аг-} функции f (z) — Gcr — некоторое множество, а-удаленное от Л. Если In In MJr) lim --< +00 r

In ll{r) и 0 < уз^ < cr < 1, то существует число I < +оо, зависящее от f (z) и g (z), такое, что при z > I, z G Ga lng (z)-lnf (z)=°^"(z). a l-d

Теорема 2. Пусть f (z) — целая функция, удовлетворяющая условию

In Mf® lim -/ < с (0 < с < +оо), r-> +oo jj,{rj uO

In In Mg® lira «V""/9 'y < +00, r-*+oo In /i (r J с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой (0 < d < к последовательности корней Л = {А^} функции f (z), можно поставить в соответствие множество кружков Е3 со свойствами:

1) Eg центрировано множеством Г (J А,

2) линейная плотность Ед не превосходит j3da2,

3) При Z? Eg

Доказательства теорем 1 и 2 проводится по классической схеме, разработанной в [15]. Этих теорем достаточно, чтобы доказать теорему о расщеплении. Вместе с тем оценки из этих теорем можно уточнить, если опереться на результаты исследований зависимости возмущения субгармонической функции от возмущения ассоциированной с ней меры (см., например, [49], [54]).

Теорема о расщеплении является необходимым инструментом для доказательства аппроксимационной теоремы (теорема 1.3. 1) — ключевой теоремы первой главы. Она доказана в параграфе 1.3. Отметим, что аппроксимационная теорема является развитием предложения 3.1 из статьи И.Ф. Красичкова-Терновского [23].

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена интерпретации полученных результатов в терминах задачи спектрального синтеза.

В первых четырех параграфах изложена схема двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для дифференциального оператора бесконечного порядка 7v (D) и задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей (п. 2.4. 3).

В работе А. Б. Шишкина [63] развивается общий метод, позволяющий осуществлять двойственные переходы в задачах спектрального синтеза даже в условиях многих переменных. Следуя идеям из этой работы, двойственный переход разбивается на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций, и лишь один — с общей теорией двойственности. Специфика исследуемого двойственного перехода целиком определяется счетиостью слоев отображения 7Г: С -«¦ С. При этом на функцию тт налагаются минимальные требования — минимальность типа при порядке р = 1.

Центральная теорема второй главы — теорема 2.5. 1, которая утверждает, что главные С[7г]-подмодули в Р обильны. Стержнем доказательства является аппроксимационная теорема 1.3.1.

В конце второй главы (п. 2.5. 2) приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза. Возможность такой интерпретации предоставляет теорема двойственности (п 2.4. 3).

Пусть S = (S,) — фиксированный линейный непрерывный функционал на Я. Рассмотрим замкнутое 7 г (. 0)-инвариантное подпространство Ws С Я, определяемое следующим образом:

Ws: ={feH: (S, тг (D)kf) = 0, к = 0,1,.}.

Из обильности главных С [7г]-подмодулей в Р следует положительное решение задачи спектрального синтеза в отношении подпространства Ws для любого S G Я* (теорема 2.5. 2). Если тг — многочлен, то пространство Ws совпадает с ядром оператора 7Г-свертки или, другими словами, совпадает с подпространством решений однородного уравнения 7г-свертки [24]. Теорема 2.5.2 для этого случая доказана И.Ф. Красичковым-Терновским [24, теорема 3. 2].

Значимость 7 г (?))-инвариантных подпространств такого вида в большой степени определяется тем, что запас всех замкнутых 7 г (. 0)-инвариантных подпространств в Я исчерпывается пересечениями (возможно бесконечными) подпространств типа Ws. Так из теоремы Хана-Банаха вытекает, что любое замкнутое 7 Г (D)-инвариантное подпространство W С Я можно представить в виде где W0 — аннулятор W в сопряженном пространстве Я*. Если 7 Г — многочлен, то любое замкнутое 7 г (1))-инвариаптное подпространство W С Н является подпространством решений системы однородных уравнений тг-свертки. Известно, например, что при 7 г (& pound-) = С любое замкнутое инвариантное подпространство, допускающее спектральный синтез, совпадает с множеством решений системы однородных уравнений свертки, содержащей не более двух уравнений [1], [51], [52], [53].

4. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте (Славянск-на-Кубани, 2005 — 2009 гг.), в ходе работы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007, 2009 гг.), на & laquo-Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева& raquo- (Уфа, 2007 г.), на международной математической конференции & laquo-Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование& raquo- (Волгодонск, 2007 г.), на кафедре математического анализа южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2009 г.).

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39] - [45]. В совместных работах А. Б. Шишкину принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.

Автору приятно выразить признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Андрею Борисовичу Шишкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Абузярова, Н. Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез /Н.Ф. Абузярова // Мат. сб.- 1999. Т. 190, № 4. — С. 3−22.

2. Азарин, B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост / B.C. Азарин // Мат. сб. 1973. — Т. 90, № 2. — С. 229−230.

3. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. — М.: Мир, 1969. — 315 с.

4. Гельфонд, А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций / А. О. Гельфонд // Тр. МИАН. — 1951. — Т. 38. С. 42−67.

5. Епифанов, О. В. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка / О. В. Епифанов, Ю. Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1971. — Т. 84(126), № 3. С. 378−405.

6. Епифанов, О. В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях / О. В. Епифанов // Мат. зам. — 1974. — Т. 15, № 5. С. 787−796.

7. Епифанов, О.В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях / О. В. Епифанов // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 415−422.

8. Епифанов, О. В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости / О. В. Епифанов // Мат. зам. 1982. — Т. 31, № 5. — С. 695−705.

9. Калинин, С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных /С.И. Калинин // Мат. зам. 1982. — Т. 32, № 2. — С. 199−211.

10. Коробейник, Ю. Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности / Ю. Ф. Коробейник // Мат. сб. 1969. — Т. 80(122), № 1(9). — С. 52−76.

11. Коробейник, Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области / Ю. Ф. Коробейник // Мат. сб. 1985. — Т. 127(169), № 2(6).- С. 173−197.

12. Коробейник, Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки / Ю. Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 5.- С. 661−680.

13. Коробейник, Ю.Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций /Ю.Ф. Коробейник // Мат. зам. 1991. — Т. 49, № 2. — С. 74−83.

14. Коробейник, Ю.Ф. О. правом обратном для оператора свертки, действующего в пространствах ростков на связных множествах в С / Ю. Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1996. — Т 187, № 1. С. 55−82.

15. Красичков, И. Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней /И.Ф. Красичков // Мат. сб.- 1966. Т. 70(112), № 2. — С. 198−230.

16. Красичков-Терновский, И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 87(129), № 4. — С. 459 -489.

17. Красичков-Терновский, И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 88, № 1. — С. 3−30.

18. Красичков-Терновский, И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза /И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1972. — Т. 88, № 3. — С. 331 -362.

19. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1980. Т. 111(153), № 1. — С. 3−41.

20. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования / И.Ф. Красичков-Терновский, А. Б. Шишкин // Докл. АН СССР. 1989. -Т. 307, № 1. — С. 24−27.

21. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 11. С. 1559−1588.

22. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1992. — Т. 183, № 1. С. 3−19.

23. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. — Т. 183, № 6. — С. 55−86.

24. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. — Т. 183, № 8. — С. 23−46.

25. Красичков-Терновский, И. Ф. Спектральный синтез и локальное описание для многих пременных / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1999. — Т. 63, № 4. — С. 101−130.

26. Кривошеев, А. С. Комплексный анализ и операторы свертки / А. С. Кривошеев, В: В. Напалков // УМН. 1992. — Т. 47, № 6(288). — С. 3−58.

27. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. — М.: Гостехиздат, 1956. — 632 с.

28. Леонтьев, А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения / А. Ф. Леонтьев // Тр. МИАН. 1951. — Т. 39. — С. 93−118.

29. Леонтьев, А. Ф. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. — М.: Наука, 1976. 536 с.

30. Леонтьев, А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии / А. Ф. Леонтьев // Труды математического института им. В. А. Стеклова. — 1971. — Т. 112. С, 300−326.

31. Леонтьев, А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. — М.: Наука, 1983. — 175 с.

32. Мелихов, С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки / С. Н. Мелихов, Ю. Ф. Коробейник // Сибирский математический журнал. 1993. — Т 34, № 1. — С. 70−84.

33. Мелихов, С.Н. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С / С. Н. Мелихов, 3. Момм //. Известия вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 38−48.

34. Мерзляков, С. Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования / С. Г. Мерзляков // Мат. зам.- 1983. Т. 33, № 5. — С. 701−713.

35. Мерзляков, С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования / С. Г. Мерзляков // Мат. зам. — 1986. — Т. 40, № 5. С. 635−639.

36. Мерзляков, С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос / С. Г. Мерзляков // Мат. сб. 1995. — Т. 186, № 5. — С. 85−102.

37. Моржаков, В. В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из Сп / В. В. Моржаков // Мат. сб. — 1987.- Т. 132(174), № 3. С. 352−370.

38. Моржаков, В. В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в Cn / В. В. Моржаков // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 431−440.

39. Письменный, Р. Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р. Г. Письменный, А. Б. Шишкин // Воронежская зимняя мат. школа: тез. докл. — Воронеж: ВорГУ, 2007. С. 247−248.

40. Письменный, Р. Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р. Г. Письменный, А. Б. Шишкин // Тез. докл. междунар. мат. конф. посвященной памяти А. Ф. Леонтьева. Т. 3. — Уфа: ИМВЦ, 2007. С. 36−37.

41. Письменный, Р. Г. Факторизационная теорема / Р. Г. Письменный // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия «Естественно-математические и технические науки& quot-. — Майкоп: изд-во АГУ. — Вып. 9. — 2008. — С. 27−33.

42. Письменный, Р. Г. Теорема двойственности / Р. Г. Письменный // Дни науки: Сборник материалов научно-практической конференции преподавателей и студентов. — Славянск-на-Кубани, СГПИ. 2008. — С. 50−53.

43. Письменный, Р.Г. О плотности-симметричных многочленов / Р. Г. Письменный // Воронежская зимняя мат. школа: тез. докл. Воронеж: ВорГУ, 2009. — С. 137−138.

44. Письменный, Р. Г. Аппроксимация 7г-симметричными многочленами / Р. Г. Письменный // Современная математика и проблемы математического образования: труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. — Орел: ОГУ, 2009. С. 86−89.

45. Письменный, Р.Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множители / Р. Г. Письменный // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. — Т. 9, № 1. — С. 19−30.

46. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон. — М.: Мир, 1967. — 259 с.

47. Ткаченко, В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную / В. А. Ткаченко // Мат. сб. 1980. — Т. 112(154). — С. 421−466.

48. Хабибуллин, Б. Н. Разложение целых функций на эквивалентные множители / Б. Н. Хабибуллин // В сб. статей & quot-Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных& quot-. Уфа. БФАН СССР. — 1983. — С. 161−181.

49. Хабибуллин, Б. Н. Сравнение субгармонических функций поих ассоциированным мерам / Б. Н. Хабибуллин // Мат. сб. — 1984. Т. 125(167), № 4(12). — С. 522−538.

50. Khabibullin, B.N. Decomposition of entire functions of finite order into equivalent factors / B.N. Khabibullin // Ten Papers in Russian. Transl., II. Ser., AMS, 1989, V. 142, P. 61−72

51. Хабибуллин, Б. Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими / Б. Н. Хабибуллин // Мат. зам. — 2004. Т. 76, № 4. — С. 604−609.

52. Хабибуллин, Б. Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими / Б. Н. Хабибуллин // Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38, № 1. -С. 65−80.

53. Хабибуллин, Б. Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций / Б. Н. Хабибуллин // Мат. сб. 2005. — Т. 196, № 3. — С. 119 142.

54. Хабибуллин, Б.Н. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure / Б. Н. Хабибуллин, Е.Г. Куда-шева // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. — T. 3, № 1. — C. 61−94.

55. Хермандер, JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных/ JI. Хермандер. — М.: Мир, 1968. — 433 с.

56. Чернышев, А. Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А. Н. Чернышев. — М.: ВИНИТИ, Деп. 31. 05. 99. № 1732 -В99.

57. Чернышев, А. Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А. Н. Чернышев // Труды ФОРА. 2001, № 6. — С. 75−87.

58. Чернышев, А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. — 2004, № 1.

59. Чернышев, А. Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами: дис. канд. физ. -мат. наук: 01. 01. 01 / Чернышев Андрей Николаевич. — Армавир, 2004. — 100 с.

60. Шишкин, А. Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq. Современные проблемы математического анализа / А. Б. Шишкин. — М.: МОПИ, 1987. С. 117−133. — Деп. в ВИНИТИ 22. 06. 87. № 4489.

61. Шишкин, А. Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа / А. Б. Шишкин // Мат. зам. 1989. — Т. 46, № 6. — С. 94−100.

62. Шишкин, А. Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной / А. Б. Шишкин // Мат. сб. 1991. — Т. 182, № 6. — С. 828 848.

63. Шишкин, А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А. Б. Шишкин // Мат. сб. — 1998. — Т. 189, № 9. С. 143−160.

64. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. — 1672 с.

65. Юлмухаметов, Р. С. Аппроксимация субгармонических функций / Р. С. Юлмухаметов // Analysis Mathematica. — 1985. — Т. 11, № 3. С. 257−282.

66. Юлмухаметов, Р. С. Однородные уравнения свертки / Р. С. Юлмухаметов // Препринт: Инст. мат. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990. С. 15.

67. Юлмухаметов, Р. С. Однородные уравнения свертки / Р. С. Юлмухаметов // ДАН СССР. 1991. — Т. 316. — С. 312 315.

68. Юлмухаметов, Р. С. Расщепление целых функций с нулями в полосе / Р. С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1995. — Т 186, № 7. С. 147−160.

69. Юлмухаметов, Р. С. Разложение целых функций на произведение двух функций эквивалентного роста /Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. 1996. — Т 187, № 7. — С. 139−160.

70. Юлмухаметов, Р. С. Решение проблемы JI. Эренпрайса о факторизации / Р. С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1999. — Т 190, № 4. С. 123−157.

71. Юлмухаметов, Р. С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах / Р. С. Юлмухаметов // Алгебра и анализ. 2009. — Т. 21, № 2. — С. 264−279.

72. Beurling, A. On the synthesis of bounded functions / A. Beurling // Acta Math. 1949. — V. 81, № 3−4. — P. 225−238.

73. Dickson, D.G. Infinit order differential equations / D.G. Dickson // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. — V. 15, № 4. — P. 638−641.

74. Ehrenpreis, L. Mean periodic functions / L. Ehrenpreis // Amer. J. Math. 1955. — V. 77, № 2. — P. 293−326.

75. Ehrenpreis, L. Fourier analysis in several complex variables / L. Ehrenpreis. — New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970. — 215 p.

76. Polya, G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Zuckensatzes / G. Polya // Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. — 1927. P. 187−195.

77. Ritt, J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients / J.E. Ritt // Trans. Amer. Mathem. Soc. 1917. — V. 18. — P. 27−49.

78. Schwartz, L. Theorie g6nerale des fonctions moyenne-periodiques / L. Schwartz // Ann. Math. 1947. — V. 48. — P. 857−929.

79. Valiron, G. Sur les solutions des Equations differentielles lin6ares d’order infinit et & coefficiens constants / G. Valiron // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. — V. 46. — P. 25−53.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа

1.1 Теоремы сравнения.

1.1.1. Обозначения и основные результаты

1.1.2. Доказательство теоремы 1.

1.1.3. Доказательство теоремы 2.

1.2 Теорема о расщеплении.

1.2.1. Основная лемма.

1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении

1.3 Аппроксимационная теорема.

1.3.1. Формулировка теоремы.

1.3.2. Промежуточные результаты.

1.3.3. Доказательство аппроксимационной теоремы

Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза

2.1 Схема двойственного перехода.

2.1.1. Оператор тг (D).

2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

2.1.3. Постановка задачи локального описания

2.1.4. Двойственность

2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

2.2.1. Индуктивное описание

2.2.2. Пространство М.

2.2.3. Спектральные вопросы.

2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

2.3 От локального описания к проективному описанию

2.3.1. Проективное описание.

2.3.2. Пространство N.

2.3.3. Локальные вопросы.

2.3.4. Локальное и проективное описания.

2.4 Теорема двойственности.

2.4.1. Принцип двойственности.

2.4.2. Схема двойственности.

2.4.3. Теорема двойственности.

2.5 Главные С[7г]-подмодули в?.

2.5.3. Обильность главных С[тг]-подмодулей в Р

2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза

Заполнить форму текущей работой