Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
64


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Эргодическая теория на сегодняшний день представляет собой достаточно активно развивающийся в течение вот уже почти 80 лет раздел математики, поэтому не удивительно, что даже среди специалистов существуют различные взгляды на основные цели и задачи эргодической теории. Например, Я. Г. Синай в вводной части монографии [18] приводит две возможные точки зрения. Согласно одной из них, эргодическая теория изучает статистические свойства детерминированных динамических систем, где под статистическими свойствами понимаются свойства, выражающиеся через поведение средних по времени от различных функций, вычисляемых вдоль траекторий динамических систем. & laquo-Детерминированность»- подразумевает, что в уравнения, задающие закон движения, не входят никакие случайные возмущения, шумы и т. п. Тем самым возникающая статистика определяется исключительно свойствами динамики. Согласно другой — эргодическая теория изучает категорию пространств с мерой и их морфизмов — сохраняющих меру преобразований.

Так или иначе, но отправной точкой для развития эргодической теории послужили некоторые соображения, относящиеся к статистической физике. В своём учебнике [19] П. Р. Халмош даже делает сравнение, что задача изучения газа сыграла для рождения эргодической теории такую же роль, какую сыграла задача о семи Кёнигсбергских мостах для топологии. Основная суть этих соображений статистической физики XIX в. сводилась к необходимости приравнять предел временных средних некоторой физической величины пространственному среднему этой же величины. Именно математическое обоснование возможности такого приравнивания привело к появлению эргодических теорем, т. е. математических утверждений о существовании предела временных средних вдоль траектории динамической системы, а также о возможности замены этого предела на пространственное среднее.

Дальнейшее изложение истории вопроса вплоть до 1990-х годов будет близко следовать тексту введения работы [10]. Первые попытки обоснования упомянутой замены для реальных физических систем, т. е. решения так называемой & laquo-эргодической проблемы& raquo- (на уровне строгости статистической физики своего времени) были предприняты Л. Больцманом и Дж. Максвелом во второй половине XIX в. Эти попытки опирались на & laquo-эргодическую гипотезу& raquo- (см., например [26]) о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Очевидная (теперь) математическая некорректность такого предположения долго была не очевидна даже для выдающихся современников — например, для А. Эйнштейна (см. [14], с. 62, 72). По-видимому, первым на эту некорректность обратил внимание А. Пуанкаре, заложивший впоследствии основы математической модели эргодической проблемы. Строгое доказательство принципиальной невыполнимости & laquo-эргодической гипотезы& raquo- было дано в 1913 г. А. Розенталем [35] и М. Планшере-лем [34].

В 1920-е годы происходило постепенное становление понятийного аппарата эргодической теории, вбиравшего в себя современные ему достижения теории меры и формирующейся тогда же теории операторов. В 1931 г. происходит прорыв в построении содержательной математической модели эргодической проблемы: сначала Дж. фон Нейман, а затем Дж. Биркгоф доказали ставшие классическими эргодиче-ские теоремы, носящие имена их авторов: & laquo-статистическую»- эргодическую теорему

Дж. фон Неймана и & laquo-индивидуальную»- теорему Дж. Биркгофа. Дж. фон Нейман опубликовал в [32] свой результат позже доказательства Дж. Биркгофа в [25], однако то, что статистическая теорема была доказана раньше индивидуальной отмечено самим Биркгофом в [25]. Сам термин & laquo-эргодическая теорема& raquo- впервые появился, по-видимому, в [25] (и взят там в кавычки) — в [32] он ещё не употреблялся. Именно некоторым аспектам скоростей сходимости в этих теоремах и будет посвящена настоящая работа. Поэтому приведём всё необходимое для формулировки упомянутых классических теорем и задач по оценке скоростей сходимости в них.

Пусть (?2, Зг, Л) — пространство с вероятностной мерой. Напомним, что эндоморфизмом пространства ?2 называется отображение Т: ?2 -> ?2 такое, что для всех, А €? множество Т~ХА € и Х (А) — А (Т-М). Автоморфизмом пространства ?2 называют его Л-п.в. взаимнооднозначный эндоморфизм. Будем называть динамической системой с дискретным временем пару из пространства (?2, Л) и какого-либо его эндоморфизма Т. Динамической системой с непрерывным временем будем называть пару из пространства (?2, А) и какого-либо его полупотока, т. е. такой однопарамет-рической полугруппы эндоморфизмов Ть пространства ?2, что для любой измеримой функции /(о-) на ?2, функция }{ТЬш) измерима на прямом произведении ?2 х К+. Потоком будем называть такую однопараметрическую группу {Т4}4еК автоморфизмов пространства (О, А), что для любой измеримой функции /(ш) на ?2 функция /(Т4ы) измерима на прямом произведении ?2 х Ж. Очевидно, что пара из пространства и потока на нём тоже будет определять динамическую систему с непрерывным временем.

Для / € (Г2), ш € ?2 введём эргодические средние: г-1 г

1 1 С

И = 7 Е Я7^). ^ е N и Л/Н = - / /(Тти) йт, < е к-О для случаев дискретного и непрерывного параметра времени I соответственно.

Рассмотрим подробней случай / € Ьг (& pound-2). В случае динамической системы с дискретным временем мы можем связать с ней изометрический (а в случае, если Т — автоморфизм, то унитарный) оператор замены переменной 1/т: Ь2(0.) -> & pound-2(!Г2), определяемый по формуле 17т/ = / о Г для всякой /? Ь2(Р). Иногда этот изометрический оператор также называют оператором Купмана. Для случая полупотока {Т*}гек+ свяжем с динамической системой полугруппу изометрических операторов где элементы полугруппы задаются формулой ?/?/ = / о Т* для всякой / 6 В случае потока, по аналогии, можно связать с динамической системой группу унитарных операторов {[/^& iquest-ем- Использование введённых операторов в случае / € ½(П) позволяет записать эргодические средние в виде: для случаев дискретного и непрерывного параметра времени Ь соответственно. В случае дискретного времени введём корреляционные коэффициенты Ьк/ = ((/?/, /) при к > 0 и Ьк/ = Ь-А-/ при к < 0. Тогда в силу теоремы Герглотца корректно определена (единственная) спектральная мера ст/ усредняемой функции относительно динамической системы, связанной с эндоморфизмом Т, т. е. такая конечная борелевская мера на единичной окружности, что 7 Г, 7Г] для всех целых к. Если у динамической системы время непрерывно, то введём по аналогии для полупотока корреляционную функцию — (?/?/,/) для > 0 и = при I < 0. Тогда по теореме Бохнера-Хинчина корректно определена (единственная) спектральная мера 07, т. е. такая конечная борелевская мера на прямой, что

В случае /? (Г2) индивидуальная теорема Биркгофа утверждает существова

-1

1) оо ние А-п.в. предела: = lim А/И,

00 и равенство J f (u>)dX (u) = / /*(ш) dX (uj). Статистическая эргодическая теорема фон ц и

Неймана гарантирует в случае / 6 L2{Q) существование того же предела lim Atf t-«00 в смысле нормы пространства ?2(0), причём этот предел Л-п.в. равен /*. Заметим, что приведённая формулировка эргодической теоремы фон Неймана является частным случаем более общей операторной теоремы, также связываемой с именем фон Неймана. S

Теорема 1 ([16]). Если {Uf} - полугруппа сжатий в комплексном гильбертовом пространстве Н и Р — ортопроектор на подпространство неподвижных векторов полугруппы {U1}, то для любого / G Н имеет место сходимость по норме к Pf эргодических средних Atf, определённых по формулам (1).

Отметим, что изначально фон Нейман доказал в [32] эту теорему только при предположении унитарности. В дальнейшем она была обобщена Ф. Риссом с упрощением доказательства на случай изометричности входящих в {Ьп} операторов (см., например [19]), а позднее (см. [16]) и на случай сжатий, как в приведённой выше теореме. Поскольку в диссертации оценка скоростей сходимости в индивидуальной теореме, формулируемой с использованием понятия сохраняющих меру преобразований, будет производиться (как станет ясно из дальнейшего изложения) по известной скорости сходимости в статистической теореме и до сих пор не решена задача реализуемости спектров, т. е. задача нахождения условий на спектр изометрического/унитарного оператора, при которых найдётся динамическая система сопряжённая с этим оператором (см., например, [23]), то всюду в дальнейшем будет использоваться самая первая — не операторная (и от этого наименее общая из приведённых) формулировка статистической теоремы.

Скорость сходимости будем измерять для эргодической теоремы фон Неймана как скорость сходимости к нулю при? -> оо числовых величин \Atf — /*Цг1 для эргодической теоремы Биркгофа — как скорость сходимости к нулю числовых величин, А < вирАа} - /*]> ?>, поскольку сходимость для любого € > 0 при? -> оо

I) величины Р* к нулю эквивалентна сходимости п. в. к /*.

Как отмечено в [9] впервые вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах начал рассматриваться Дж. фон Нейманом в 1932 г.: в своей работе [33] он заметил, что его собственное доказательство статистической теоремы (для случая непрерывного времени) в статье [32] позволяет & laquo-численно оценить скорость сходимости& raquo-.

В 1975 г. Гапошкин В. Ф. показал, что скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем, за исключением тривиального случая, не может быть быстрее квадратичной: асимптотическое равенство ||ЛП/ - /*Ц = о (п~2) при п -> оо может иметь место только при /-/* = 0 п.в. (см. следствие 5 в [2]). Этот же результат оказался справедлив и в случае непрерывного времени, причём доказать его можно используя идею из упомянутого доказательства Гапошкина В. Ф. для случая дискретного времени (см. [б]). Отметим, что предельная скорость \Ап/ - /& quot-"-¡-Ц = 0(п~2) достигается на когомологичных нулю функциях / - /* (см. [27] и [13]), т. е. функциях вида / - /* = д о Г — д, где д € Ь2{9,).

Несмотря на ограниченность возможного диапазона скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана, во второй половине 1970-х годов Г. Халашем и У. Кренгелем было показано, что для отдельно взятого эргодического автоморфизма пространства Лебега (о пространствах Лебега можно прочесть, например, в [17]) нет оценок скоростей сходимости, равномерных по ||/||р даже в классе характеристических функций. А именно, ими доказана в [28] и [29] следующая ниже теорема.

Теорема 2 ([28],[29]). Для любого эргодического автоморфизма отрезка с мерой

Лебега можно подобрать характеристические функции со сколь угодно быстрой, не выходящей за пределы возможного диапазона скоростей, и сколь угодно медленной скоростями сходимости:

1) Для любой (сколь угодно медленно) монотонно стремящейся к бесконечности последовательности а1 > 2, найдётся подмножество, А отрезка любой наперёд заданной меры А (А) такое, что Ап (ха) — М-А)! < ^ А-п.в. для всех п.

2) Для любой (сколь угодно медленно) стремящейся к нулю последовательности положительных чисел {^К^Ц найдётся подмножество В отрезка с мерой, А (В) е (0,1) такое, что Пш^оо Ап (хв) ~ = оо А-п.в. и для всех р 6 [1, оо]: ИШп-«оо ?1 Ип (Хв) ~ *(В)Н р =

Помимо этого отметим, что в работе [9] приводится пример, показывающий, что & laquo-нельзя давать оценки скорости в эргодических теоремах, зависящие только от усредняемой функции / и не зависящие от выбора автоморфизма Т (т.е. равномерные по группе автоморфизмов)& raquo-.

Из-за проблем с равномерностью получаемых оценок скорости сходимости У. Кренгель даже писал в своей монографии (см. § 1.2 в [30]), что в эргодических теоремах нет скоростей сходимости и, что одним из немногочисленных положительных примеров решения вопроса о скоростях сходимости является случай независимости случайных величин {/ о Тк}^=0. В самом деле, в этом случае мы находимся в условиях закона повторного логарифма, который гарантирует выполнение А-п.в. равенства Ап/& mdash- /*| = 0(ц> (п)), где < ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������

������������л и 11^/ - /На = 3 / (i — М) М/ - Г) л-. та ifci< �����

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������

�������������������

�����������������

���������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

0 соотношение ||А& bdquo-/ - /*||| = 0(1п (п+1)~(2+^) равносильно соотношению of-f*{-6,6] =0{\n6-V+V).

При изучении скоростей сходимости в индивидуальной теореме А. Г. Качуровский показал, что последовательность {\Anf — f* H^KJLi является параметром пары (/, Т), отвечающим за скорость сходимости в этой теореме, а значит в силу ранее сказанного о скоростях сходимости в статистической теореме, такими же параметрами также будут являться {bn (f — /*)}^i и сг/. Более подробно: при, а € (0,2] в случае наличия степенной оценки ||Anf — /*||| = 0(п~а) скорости сходимости в статистической эргодической теореме А. Г. Качуровским были получены (см. [9]) оценки скорости сходимости для случаев / 6 Loc (Q) и / € 1^(0) в индивидуальной эргодической теореме с дискретным временем вида Р& reg- = 0(< �ра (п)), причём для / € L00(ii) эти оценки были асимптотически не улучшаемыми. Таким образом, было установлено как знание скорости сходимости в теореме фон Неймана позволяет получить оценку скорости сходимости в теореме Биркгофа. Также было показано, что обратить этот результат нельзя: знание только величин Р^ не позволяет сказать что-либо о скорости убывания \Anf — f*

Впоследствии в работах В. Ф. Гапошкина для / € был улучшен вид функций < ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������

��случае динамических систем с дискретным временем в критерии Качуров-ского степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана были найдены две функциональные связи (число связей для анализа равно числу импликаций в формулировках первоначальных теорем предшественников в терминах & quot-О"- или & quot-о"-) между соответствующими константами, возникшими из определения & quot-О"-, причём было показано, что одна из этих связей не улучшаема. Тем самым критерий Качуровского был уточнён в сторону перехода от & quot-О"- и & quot-о"- к алгебраическим неравенствам, одно из которых в общем случае не улучшаемо. Также было обнаружено, что эти функциональные связи констант носят абсолютный характер, в том смысле, что явным образом не зависят от функции /, по которой производится усреднение. Был разобран и общий (не обязательно степенной) случай: получено двойное неравенство, связывающее

Ап/ - Г\1 и поведение в нуле меры а/-/*& bull-

2. Получены неравенства и тождества, связывающие \Ап/ - /*Ц и {& «(/ - /*)}^=1 при различных предположениях относительно {?> п (/-/*)К?= 1- Эти соотношения позволяют оценивать скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем при наличии информации о корреляционных коэффициентах. Применение полученных соотношений в важных для потенциальных приложений частных случаях степенного и экспоненциального убывания корреляций позволило получить численные оценки скорости сходимости в статистической теореме.

3. Для случаев дискретного и непрерывного времени были получены неравенства, связывающие соответствующие константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах, которые позволили оценить скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа по известной скорости сходимости в эргоди-ческой теореме фон Неймана. Это позволило в совокупности с результатами из предыдущих пунктов указать путь гарантированного получения численных оценок скорости сходимости в индивидуальной теореме при наличии знаний о поведении корреляций Ь{(/ - /*) или характере поведения в нуле меры Была указана граница применимости всех основных результатов диссертации к теории стационарных в широком смысле стохастических процессов.

В работе используются методы эргодической теории, теории меры, гармонического анализа, элементы теории стохастических процессов, а также ряда общих разделов функционального анализа.

Структурно работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на разделы. Каждый из разделов при необходимости делится на пункты. Нумерация теорем, лемм и замечаний сквозная. Нумерация формул также сквозная, и нумеруются только формулы, которые считаются наиболее важными и на которые в дальнейшем в тексте есть ссылка. Конец доказательства утверждений обозначается знаком ?.

Перейдем к подробному обсуждению глав.

В первой главе после ряда предварительных замечаний доказываются леммы 1 и 2 с помощью которых устанавливается справедливость теоремы 4, содержащей двойное неравенство, связывающее в случае дискретного времени скорость сходимости в теореме фон Неймана и поведение в нуле меры Эти же две леммы используются при доказательстве теоремы 6, рассматривающей только случай степенной скорости сходимости и являющейся уточнением в сторону перехода от & quot-О"- к алгебраическим неравенствам упоминавшегося критерия А. Г. Качуровского (см. теорему 3) степенной скорости сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем. Теорема 6 предъявляет в явном виде разумные функциональные связи между соответствующими константами, возникающими из определения символа & quot-О"- в формулировке критерия А. Г. Качуровского, причём в одном случае полученная функциональная связь оказывается в определённом смысле не улучшаемой. Обе предъявляемые теоремой б константы имеют достаточно простое аналитическое выражение и являются абсолютными в том смысле, что явно не зависят от динамической системы и функции, по которой производится усреднение. Как следствие теоремы 6 получается замечание 1, которое позволяет получить достаточно простую по виду оценку скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии существенно ограниченной плотности у меры Of /*. Также в главе 1 приводятся аналоги обсуждавшихся теорем для случая непрерывного времени, полученные впоследствии другими авторами.

Во второй главе доказывается теорема 8, дающая неравенства или тождества, позволяющие оценить скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем через коррелляционные коэффициенты при достаточно общих предположениях о них. С помощью этой теоремы доказывается теорема 9, предоставляющая возможность оценить скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем при предположении о степенной или экспоненциальной скорости убывания корреляционных коэффициентов. В свете обсуждавшихся в начале главы 2 результатов предшественников, некоторые пункты теоремы 9 можно рассматривать как уточнение их асимптотических результатов (выражавшихся в терминах & quot-О"- и & quot-о"-) в сторону нахождения функциональных связей между соответствующими константами, возникающими из определения символа & quot-О"-. В конце главы приводятся полученные впоследствии другими авторами аналоги обсуждавшихся теорем главы 2 для случая непрерывного времени.

В третьей главе уточнением доказательства соответствующего асимптотического результата В. Ф. Гапошкина в сторону получения констант для неравенств доказывается теорема 13. Эта теорема 13 позволяет численно оценить скорость сходимости в теореме Биркгофа с дискретным временем при наличии численной оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана, имеющей степенной характер. Как и в исходном доказательстве асимптотического результата В. Ф. Гапошкина, используются 3 леммы, взятые без изменений. Константы в получившихся неравенствах носят абсолютный характер — как и ранее, они в явной форме не зависят от динамической системы и функции, по которой производится усреднение. В случае достижения предельной скорости сходимости (квадратичной) в теореме фон Неймана, в замечании после теоремы 13 приводится более простая по сравнению с теоремой 13 оценка скорости сходимости в теореме Биркгофа. Теорема 14 представляет собой аналог теоремы 13 для случая непрерывного времени. Её доказательство во многом похоже на доказательство для случая дискретного времени. Оно также использует 3 леммы, однако вместо леммы 3, использовавшейся в дискретном случае, используется лемма 6. Теоремы 13 и 14 с учётом результатов из двух предыдущих глав позволяют гарантированно получить численную оценку скорости сходимости в теореме Биркго-фа при наличии соответствующей информации о поведении меры в нуле или информации о корреляционных коэффициентах.

В последней, четвёртой, главе после ряда общеизвестных определений и объяснений о соотношении их между собой обсуждается граница применимости результатов предыдущих глав диссертации к теории стационарных в широком смысле процессов. В качестве примера, для которого возможно перенесение полученных ранее в диссертации результатов на более широкий класс стохастических процессов, приводится аналог теоремы б для стационарных в широком смысле процессов.

Результаты диссертации докладывались: на Международной конференции & laquo-Современные проблемы анализа и геометрии& raquo- в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (сентябрь 2009 г.) — на ХЬУШ Международной научной студенческой конференции & laquo-Студент и научно-технический прогресс& raquo- в Новосибирском государственном университете (апрель 2010 г.) — на Международной конференции по эргодической теории в Университете Северной Каролины в г. Чапел-Хилл, США (март 2011 г.) — на семинаре & laquo-Динамические системы и эргодическая теория& raquo- под руководством Д. В. Аносова и А. М. Стёпина в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (апрель 2011 г.) — на семинаре & laquo-Теория вероятностей и эргодическая теория& raquo- под руководством Б. М. Гуревича и В. И. Оселедца в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных & laquo-Ломоносов-2011»- (апрель 2011 г.) — на Международной школе-конференции по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (июнь 2011 г.) — на семинаре & laquo-Геометрия, топология и их приложения& raquo- под руководством И. А. Тайманова в Институте математики им. С. JI. Соболева С О РАН (ноябрь 2011 г.) — на семинаре отдела анализа и геометрии под руководством Ю. Г. Решетняка в Институте математики им. С. JI. Соболева С О РАН (декабрь 2011 г.).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены: стипендия имени член-корреспондента A.A. Ляпунова (2009 г.), диплом первой степени XLVIII Международной научной студенческой конференции & laquo-Студент и научно-технический прогресс& raquo- (Новосибирский государственный университет, 2010 г.), стипендия имени академика О. А. Ладыженской (2011 г.), грамота за представление лучшего доклада на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных & laquo-Ломоносов»- (Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2011 г.), а также диплом Лаврентьевского конкурса студенческих и аспирантских работ по математике и механике (2011 г.).

Имеются семь публикаций автора по теме диссертации: [36]-[42], из них четыре — в соавторстве с А. Г. Качуровским: [38]-[39] и [41]-[42]. Вклад авторов в упомянутых четырёх работах равноценен и не делим.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А. Г. Качуровскому за поставленную задачу и постоянное внимание к работе.

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

2. Гапошкин В. Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 6. С. 1366−1392.

3. Гапошкин В. Ф. О зависимости скорости в усиленном законе больших чисел для стационарных процессов от скорости убывания корреляционной функции // ТВП. 1981. Т. 26, № 4. С. 720−733.

4. Гапошкин В. Ф. О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 3. С. 366−372.

5. Гапошкин В. Ф. Несколько примеров к задаче об е-уклонениях для стационарных последовательностей // ТВП. 2001. Т. 46, № 2. С. 370−375.

6. Джулай Н. А., Качуровский А. Г. Константы оценок скорости сходимости в эрго-дической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 5. С. 1039−1052.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

8. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

9. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73−124.

10. Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах: дис. докт. физ. -мат. наук: 01. 01. 01 / ПОМИ РАН. Санкт-Петербург, 1999.

11. Качуровский А. Г., Решетенко А. В. О скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 4. С. 25−32.

12. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

13. Леонов В. П. О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // ТВП. 1961. Т. 6, № 1. С. 93−101.

14. Пайс А. Научная деятельность и жизнь А. Эйнштейна. М.: Наука, 1989.

15. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для стационарной последовательности // ДАН СССР. 1973. Т. 213, № 1. С. 42−44.

16. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954.

17. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т. 25, № 1. С. 107−150.

18. Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. М.: Фазис, 1996.

19. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

20. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004.

21. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

22. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1−2. М.: Мир, 1985.

23. Ageev О. N. On spectral invariants in modern ergodic theory // Proc. Intern. Congr. Math. 2006. Madrid: Eur. Math. Soc., 2007. V. 2. P. 1641−1653.

24. Assani I., Lin M. On the one-sided Hilbert transform // Contemp. Math. 2007. V. 430. P. 21−39.

25. Birkhoff G. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1931. V. 17, N 12. P. 656−660.

26. Boltzmann L. Uber die mechanishen Analogen des zweiten Hauptsatzes der Termodinamic // Journal fur die reine und angewandte Mathematic. 1887. Bd. 100. S. 201−212.

27. Browder F. On the iteration of transformations in noncompact minimal dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9, N 5. P. 773−780.

28. Halasz G. Remarks on the remainder in Birkhoff’s ergodic theorem // Acta Math. Hung. 1976. V. 28, N 3−4. P. 389−395.

29. Krengel U. On the Speed of Convergence in the Ergodic Theorem // Monatsh. Math. 1978. V. 86, N 1. P. 3−6.

30. Krengel U. Ergodic Theorems. Berlin New York: Walter de Gruyter, 1985.

31. Moricz F. Moment inequalities and the strong laws of large numbers // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1976. B. 35, № 4. S. 299−314.

32. Neumann, J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1932. V. 18, N 1. P. 70−82.

33. Neumann, J. von. Physical applications of the ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1932. V. 18, N 3. P. 263−266.

34. Plancherei M. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 1061−1063.

35. Rosental A. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer Gassysteme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 796−806. Работы автора по теме диссертации

36. Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Материалы Междунар. конф. & laquo-Совр. проблемы анализа и геометрии 2009″. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. С. 102.

37. Седалищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Материалы XLVIII Междунар. науч. студ. конф. & laquo-Студент и научно-технический прогресс& raquo-: Математика. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2010. С. 88.

38. Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Неравенства, позволяющие оценивать скорости сходимости в эргодических теоремах // Вестник КемГУ. 2011. № 3/1. С. 250 254.

ПоказатьСвернуть

Содержание

1 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере

1.1 Предварительные замечания

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана и поведением в нуле меры с/-/*.

1.4 Критерий А. Г. Качуровского степенной скорости сходимости в теореме фон Неймана в форме алгебраических неравенств

2 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях

2.1 Предварительные замечания

2.2 Оценки при достаточно общих предположениях о поведении корреляционных коэффициентов.

2.3 Оценки при предположениях о степенном и экспоненциальном характере убывания корреляционных коэффициентов.

2.4 Оценки для случая непрерывного времени в теореме фон Неймана

3 Неравенства, связывающие между собой скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа

3.1 Предварительные замечания

3.2 Случай дискретного времени.

3.3 Случай непрерывного времени.

4 Связь полученных результатов с теорией стационарных в широком смысле стохастических процессов

4.1 Предварительные замечания

4.2 Границы применимости результатов предыдущих глав к теории стационарных в широком смысле процессов

Заполнить форму текущей работой