Алгебраїчний метод розв"язку геометричних задач

Зміст Вступ

Розділ 1. Основні теоретичні відомості, що стосуються методу у геометричних побудовах

1.1 Поняття про алгебраїчний метод у геометрії побудов циркулем і лінійкою

1.2 Побудова основних формул.

1.2.1) Побудова коренів квадратного рівняння

a) За формулами

b) За теоремою Вієта

1.2.2) Поняття про однорідні функції

1.2.3) Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою

1.2.4) Характеристична властивість функції, що визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру

1.2.5 Побудова виразів, що не є однорідними функціями 1-го виміру від довжин даних відрізків

1.2.6) Ознака можливості побудови відрізка, що є заданою функцією даних відрізків Розділ 2. Застосування алгебраїчного методу у розв’язку геометричних задач на побудову.

2.1 Схема розв’язування задач на побудову алгебраїчним методом

2.2 Розв’язування задач на побудову Висновки Список використаної літератури Вступ Алгебраїчним методом розв’язування геометричних задач на побудову називають сукупність прийомів по використанню чисел алгебраїчних дій, формул, рівнянь і формул для розв’язання даної задачі.

Актуальність полягає в тому, що за алгебраїчним методом розв’язування геометричних задач на побудову легше визначити умову можливості існування розв’язків даної задачі, виявити їх кількість, а також особливості кожного розв’язку.

Знайдені в результаті розв’язування рівняння формули дають змогу дослідити можливість виконання побудови циркулем і лінійкою. Одержана формула часто вказує на шлях побудови шуканої величини.

Алгебраїчний метод дає можливість звести різні задачі геометричного змісту до розв’язування і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це в свою чергу, дає змогу з’ясувати властивості креслярських інструментів і можливості виконання ними інших побудов

Цей метод з’явився з відкриттям французьким математиком і філософом Р. Декартом (1596−1650) методу координат. Основною ідеєю методу координат є встановлення зв’язку між геометричними об'єктами (точкою, відрізком, прямою, колом тощо) і числами, що їх характеризують, між геометричними твердженнями і алгебраїчними формулами, рівняннями, функціями.

Мета алгебраїчного методу розв’язання задач на побудову полягає в тому, щоб залежність між даними і шуканими елементами фігури, що розглядається в умові задачі, виразити за допомогою формул і рівнянь на основі відомих з курсу геометричної прогресії.

Суть алгебраїчного методу полягає в тому, що в припущенні, що задача розв’язана, виділяють на малюнку такі невідомі елементи (відрізки), до побудови яких зводиться розв’язання задачі. Потім на основі даних умови задачі і відомих теорем з геометрії взаємозв'язки між даними і шуканими елементами (відрізками) виражаємо алгебраїчно у вигляді рівняння дають алгебраїчні вирази, за якими виконується побудова шуканих відрізків.

Розділ 1. Основні теоретичні відомості, що стосуються методу у геометричних побудовах

1.1 Поняття про алгебраічний метод у геометрії побудов циркулем і лінійкою У задачах на побудову серед даних елементів можуть бути деякі відрізки, кути, співвідношення відрізків. Виявляється, що усі дані елементи можна виразити тільки відрізками. Наприклад, кут можна задати трьома відрізками — сторонами трикутника, один з кутів якого дорівнює даному.

Дані відрізки і їх довжини будемо позначати першими літерами англійського алфавіту a, b, c, d, e, m, n, а невідомі Ї x, y, z, u, v. За допомогою деяких співвідношень невідомі відрізки можна виразити через дані як певні функції даних: .

Користуючись цими формулами, можна побудувати шукані відрізки певними інструментами, а, отже, розв’язати задачу на побудову.

Побудова відрізків, виражених формулами через дані відрізки, циркулем і лінійкою зводиться до таких простіших основних формул, відомих з шкільного курсу математики:

1); 2); 3); 4); 5)

Питання про можливість зведення формули, що виражає шуканий відрізок через дані, зв’язане з поняттям однорідності формули, однорідності многочлена. Нагадаємо, що виміром або степенем цілого раціонального одночлена називається сума показників букв, які до нього входять. Якщо всі члени многочлена мають один і той же вимір, то такий многочлен називається однорідним, а показник степеня — виміром або степенем однорідності многочлена.

Можна довести, що циркулем і лінійкою можна побудувати тільки відрізки, виражені через дані відрізки однорідними виразами першого виміру. Такими є названі десять основних формул. Однорідні вирази не першого виміру циркулем і лінійкою безпосередньо побудувати не можна, але їх можна звести до першого виміру за допомогою одиничного відрізка, взятого у відповідному степені.

Так, відрізки, , безпосередньо побудувати не можна, але вибравши якийсь відрізок е за одиничний, можна вирази в правій частині звести до першого виміру, взявши відповідно

1.2 Побудова основних формул

1.2.1) Побудова коренів квадратного рівняння

a) За формулами.

Припустимо, що умови задачі на побудову можуть бути виражені квадратним рівнянням. Рівняння запишемо в однорідній формі:

(1)

Одержимо:

=,

=.

З цих формул ясно, що рівняння зводиться до побудови радикала. Але це знайома побудова катета прямокутного трикутника по гіпотенузі та іншому катеті n.

Дійсно значення для одержимо за умови? n.

Помітимо, що коефіцієнти m і n у рівнянні (1), що виражає довжини відрізків, передбачаються додатніми.

Якби дане квадратне рівняння мало вигляд:

(2)

Тоді ми будували б побудовою гіпотенузи прямокутного трикутника по двох його катетах і n.

У такому випадку корені рівняння (2) завжди дійсні і зміна знака b коефіцієнта m не змінює побудови.

рис.2

b) За теоремою Вієта.

Припустимо, що розглянуте рівняння має вигляд:

Якщо позначимо його корені буквами, то будемо мати (по теоремі Віета):

. (3)

Друга з цих формул показує, що корені мають однакові знаки; тому перша формула може бути написана так:

Таким чином, досить побудувати два відрізки, сума яких дорівнює даному відрізкові m, а добуток .

З цією метою на відрізку АВ= m (рис 2), як на діаметрі, будуємо окружність АВМ. Потім будуємо пряму MN паралельну прямій АВ і віддалену від неї на відстані n. Тоді перпендикуляр МР визначить на прямій АВ точку Р. Відрізки АР, РВ і представляють корені, взяті за абсолютним значенням.

Дійсно, будемо мати:

АР+РВ=АВ= m, АР*РВ= = .

Як уже було раніше сказано, рівняння (1) має дійсні корені за умови n. На рисунку (2) цей факт виступає особливо наочно. Справді, при пряма паралельна АВ і віддалена від неї на відстані n, не перетинала б окружності (АВМ) Якщо рівняння має вигляд

Тоді його корені мають різні знаки, як це видно за добутком (;

Отже, їх алгебраїчну суму можна порахувати віднімаючи відповідні відрізки.

Побудова коренів у цьому випадку може бути зроблене в такий спосіб (рис.3). З довільної точки О радіусом ОМ описуємо окружність. У довільній точці М цієї окружності проводимо дотичну до неї і відкладаємо на ній відрізок MN=n. Через точки N і O проводимо пряму, що перетинає окружність у точках, А и В. Тоді відрізки AN і N зображують абсолютні величини коренів квадратного рівняння. Справді,

AN-BN=AB=m.

AN*BN==

Очевидно, що корені рівняння (2) завжди дійсні і побудова рис. 3 завжди можлива.

Продемонструємо побудову коренів квадратного рівняння на задачі про розподіл відрізка в середнім і крайнім відношеннях.

Як відомо, у цій задачі потрібно даний відрізок розділити на два таких, щоб більший з них був середнім пропорційним між усім відрізком і меншим.

Якщо позначимо довжину даного відрізка через а, а довжину шуканого більшого відрізка через х, то умови задачі можна виразити в такий спосіб:

а:х=х (а-х),

що дає квадратне рівняння Таким чином, рішення задачі зводиться до побудови коренів квадратного рівняння, що може бути зроблене як по формулі дискримінанту, так і по теоремі Віета.

Так, наприклад якщо на рис. 3 покласти, то відрізок дає рішення задачі. Другий корінь AN (AN>a), мабуть, не задовольняє умовам задачі і повинний бути відкинутий.

1.2.2) Поняття про однорідні функції

Перш ніж зупиниться на загальних прийомах побудови алгебраїчних виразів і на виділенні широких класів виразів, які можна побудувати циркулем і лінійкою, нам потрібно розглянути поняття однорідної функції.

Розглянемо три функції:

1) y=; 2) y= 3) y=.

Підставимо в ці формули замість букв a, b, с з відповідно, де до — довільне додатне число. Тоді одержимо:

У 1-вом випадку:: +2kb= k (k+2b),

В 2-ом випадку: = =,

У 3-ем випадку: =

Помітимо що в другому й у третьому випадках зроблена підстановка рівносильна множенню функції на деякий степенів числа k, а саме: у другому на k, у третьому на. Функція (1) цією властивістю не володіє. Функції (2) і (3) будемо відносити до класу однорідних, а функцію (1) — до класу неоднорідних.

Визначення. Функцію Y= f (a, b, c, …, l) будемо називати однорідного виміру, якщо при будь-якому додатному значення числа k заміна всіх аргументів a, b, c, …, l відповідно на ka, kb, kc,…, kl рівносильна множенню усієї функції на. Іншими словами однорідна функція повинна задовольняти рівності: при всіх додатних значеннях k.

У приведених прикладах функція (2) Ї однорідна 1-го виміру, функція (3)Ї однорідна 2-го виміру, функція (1) не є однорідною.

Функція, представляє приклад однорідної функції нульового виміру, а функція, однорідна виміру (-1).

1.2.3) Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою.

Користуючись поняттям однорідної функції, неважко виділити деякі класи алгебраїчних виражень, що можуть бути побудовані циркулем і лінійкою. Побудова цих виражень виробляється за допомогою основних побудов,

За допомогою циркуля і лінійки можна будувати однорідні алгебраїчні вираження 1-го виміру, що утворені з довжин даних відрізків винятково за допомогою дій множення і ділення.

Загальний вид такого вираження: де де а1, а2, …,; b1, b2, …, b (п-1) — довжини даних відрізків.

Задача зводиться до послідовного виконання побудов за формулами:

, … ,

т. е. до побудов четвертих пропорційних відрізків.

Це побудова зручна здійснити в такий спосіб (рис3): з довільної точки О проводимо n променів; на кожнім промені будуємо двох точок, А і так, щоб (k= 1, 2, 3,…, n-1).

На останньому промені відкладаємо 0Ап = ап. Будуємо потім відрізки В1А2, В2А3, …,. Нарешті, проводимо: ламану А1 Х2 Х3… Хn, так що точка лежить на промені 0Ак і відрізок Xk-1Xk рівнобіжний. Тоді .

Зокрема, завжди можна побудувати циркулем і лінійкою відрізки, задані формулами виду Нехай — дані відрізки (а, b, с,…, l) і Рn (а, b,…, l) — однорідні

многочлени (з раціональними коефіцієнтами) від a, b,…, l виміру відповідно n+1 і n. Циркулем і лінійкою можна побудувати відрізок, заданий формулою

, … ,

Многочлен є сумою однорідних виразів виду A;

=

Де q+w+…+e=n+1, АЇ раціональне число. Аналогічно =де q1+w1+…+e1=n, A1—раціональне число.

Нехай — довільний побудований відрізок, наприклад, а або b. Розділимо чисельник Рn+1 на dn, а знаменник Рn на dn-1

Тоді

— представляє суму виразів виду A

Кожний такий вираз можна побудувати, після чого легко будується і сума таких виразів. Позначимо отриманий відрізок через так що. Аналогічно побудуємо відрізок, такий що. Шуканий відрізок побудуємо за формулою

Таким чином, за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати відрізок, довжина якого задана у виді будь-якої раціональної однорідної функції 1-го виміру (з раціональними коефіцієнтами) від довжин даних відрізків.

Циркулем і лінійкою завжди можна побудувати вираження виду де підкореневий вираз — однорідна раціональна функція 2-го виміру з раціональними коефіцієнтами.

Нехай d— довільний відрізок. Тоді

Будуємо послідовно відрізки і по формулах: (що можливо, тому що права частина — раціональна функція 1-го виміру відносно a, b, с, …, l і х=.

1.2.4) Характеристична властивість функції, що визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру Усі вирази розглянуті в пунктах 1.2.1, 1.2.2 і 1.2.3, є однорідними функціями 1-го виміру від вхідних у них довжин відрізків. При побудові цих виразів ми не цікавилися питанням, якою одиницею довжини вимірювались дані відрізки. Так як можна показати, що у кожнім з розглянутих випадків при будь-якому виборі одиниці виміру ми одержали б той самий відрізок.

Однак не усяка функція у= f (а, b,…, l) визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру.

Роз’яснимо це на прикладах:

Нехай — даний відрізок. Розглянемо дві функції:

1)Y = 2a (1)

2) у= а2 (2)

Для визначеності припустимо, що відрізок, містить 4 дм. Перша з розглянутих функцій — однорідна 1-го виміру, а друга — однорідна 2-го виміру.

Розглянемо спочатку 1-ю функцію. Приймемо за одиницю 1 дм. Тоді, а=4, Y=8. Отже, Y — відрізок, що містить 8 дм. Чи одержимо ми більший або менший відрізок, якщо приймемо як одиничний відрізок не 1 дм, а інший відрізок? Нехай одиничний відрізок дорівнює 1 см. Тоді, а=40, Y=80, тобто — відрізок, що містить 80 см або 8 дм. Отже, в другому випадку ми одержали такий же відрізок Y, як і в першому. Можна показати, що такий же відрізок Y ми одержали б і при всякому іншому виборі одиничного відрізка.

Перейдемо тепер до розгляду 2-ої функції: у=а2 (яка не є однорідної 1-го виміру). Якщо приймемо за одиничний відрізок 1 дм, то а=4 і y=16, тобто відрізок повинний містити 16 дм. Якщо прийняти за одиничний відрізок 1 см, то а=40, у=1600, тобто відрізок повинний містити 1600 см, або 160 дм. Таким чином, відрізок, що ми одержуємо в другому випадку, у 10 разів більше відрізка, отриманого в першому випадку, так що функція (2) визначає не рівні між собою відрізки при різному виборі одиничного відрізка.

Число у=а2 можна розглядати як ординату точки, що має абсцису а, що належить параболі у=х2. Аналогічно можна показати Y (Y=2a) як ординату точки, що лежить на прямій Y=2х.

Ми бачили, що відрізок, де у=а2, залежить від вибору одиниці виміру, у той час як відрізок для якого, Y=2a не залежить від цього. Це розходження виявляється в тому, що графік функції Y=2х. (рис. 4, рис.5) не зміниться, якщо змінити одиницю масштабу, а графік функції Y=х2 у результаті цього зміниться.

Виникає питання: якими властивостями повинна володіти додатна функція у= f (a, b, с, …, l)(a, b, c… l — довжини даних відрізків) для того, щоб вона при будь-якому виборі одиниці виміру визначала довжину того самого відрізка?

Виявляється, що це буде мати місце тоді і тільки тоді, коли f (a, b, с, …, l) — однорідна функція 1-го виміру від своїх аргументів.

Саме в силу властивості при побудові однорідних виразів 1-го виміру немає потреби вказувати, крім даних відрізках, ще й одиничний відрізок: при будь-якому виборі одиничного відрізка в результаті побудови буде отриманий той самий відрізок.

1.2.5 Побудова виразів, що не є однорідними функціями 1-го виміру від довжин даних відрізків Побудова довільного вираження від n аргументів можна завжди звести до побудови деякого однорідного вираження 1-го виміру від n+1 аргументів. Справді, нехай потрібно побудувати відрізок у по формулі: у = f (а, b, c, …, l), де l (а, b,…, l) не є однорідною функцією 1-го виміру від довжин даних відрізків, , ,…,. Нехай нам заданий деякий відрізок у якості одиничного. Таким чином, е=1. Звідси f (а, b, c, …, l)= e*f () Тому задача зводиться до побудови відрізка за формулою:

у = e*f ()

алгебраїчний метод геометрія Права частина цієї рівності — однорідна функція 1-го виміру від довжин n+1 відрізків,, ,…,. та Якщо ми зуміємо побудувати відрізок по цій формулі, то він і буде шуканим (при обраній одиниці масштабу). Зауважимо, що ми одержимо різні (тобто нерівні між собою) відрізки в залежності від вибору відрізка .

1.2.6) Ознака можливості побудови відрізка, що є заданою функцією даних відрізків Користуючись циркулем і лінійкою, ми будували ряд виразів, як однорідних, так і неоднорідних. Однак не всяке алгебраїчний вираз можна побудувати цими інструментами. З того, що довжина якогось (шуканого) відрізка є відомою функцією даних відрізків, ще не випливає, що його можна побудувати циркулем і лінійкою. Так, наприклад, цими інструментами не можуть бути побудовані відрізки, задані формулами,, і багато інших.

Встановимо критерій, що дозволив би з’ясувати в кожнім окремому випадку, чи можна відрізок, заданий формулою, побудувати циркулем і лінійкою або не можна. Для стислості операції додавання, вирахування, множення, ділення, квадратного кореня (арифметичного з від'ємного числа) назвемо основними діями.

Надалі ми припускаємо, що дано (або обраний) одиничний відрізок. У тому випадку, коли будується однорідне вираження 1-го виміру, ми можемо виконати побудову, не користуючись цим відрізком. В всіх інших випадках він істотно необхідний для побудови.

Теорема. Для того, щоб циркулем і лінійкою можна було побудувати відрізок, довжина якого є заданою додатною функцією довжин даних відрізків, необхідно і досить, щоб довжину шуканого відрізка можна було виразити через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

Доказ. 1. Достатність. Нехай потрібно побудувати деякий відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій. Покажемо, що такий відрізок можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Циркулем і лінійкою можна побудувати відрізок, довжина якого дорівнює одному з наступних виражень:1) сумі довжин побудованих відрізків, 2) різниці довжин побудованих відрізків (де зменшуване більше вичитаємого) 3) добуткові, 4) частці довжин двох побудованих відрізків, і 5) квадратному кореневі з довжини побудованого відрізка. Крім перерахованих виражень, додатна функція, складена тільки за допомогою основних операцій, може містити одну або декілька від'ємних різниць. Але кожний раз, коли зустрінеться така різниця, від неї можна перейти до додатньої різниці, користуючись тотожним співвідношенням aЇ b =- (b Ї а). Після кінцевого числа таких тотожних перетворень дана функція буде містити вже тільки різниці, у яких зменшуване більше від'ємника. Звідси випливає, що дійсно можна виконати послідовно всі побудови, що відповідають основним операціям, у тім порядку, у якому ці операції зазначені в заданій формулі, так що після кінцевого числа кроків ми дійсно побудуємо відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків заданою формулою.

Необхідність. Нехай відомо, що відрізок, довжина якого и, є заданою функцією від довжин даних відрізків (тобто u= f ()може бути побудований циркулем і лінійкою. Доведемо, що в такому випадку довжина відрізка може бути виражена через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

Побудуємо на площині прямокутну систему ординат (мал.7). Завжди можна розташувати відрізки на додатному промені осі абсцис так, щоб одним з кінців кожного відрізка служив початок координат О. У такий спосіб на осі абсцис утворяться крапки .

Як відомо, усяка побудова точок, здійсненна циркулем і лінійкою, зводиться до виконання конечною числа наступних основних побудов:

1) побудова прямої, що проходить через дві побудовані точки;

2) побудова окружності з центром у побудованій точці і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точкам;

3) побудова загальних точок:

двох побудованих прямих;

побудованій прямій і побудованій окружності;

двох побудованих окружностей;

4)побудова точки, що свідомо не належить побудованій фігурі або ж свідомо їй приналежної;

За умовою можна побудувати відрізок і, довжина якого є заданою функцією від чисел. .

Ясно, що побудова відрізка и рівносильна побудові його кінців, А и В. Тому що відрізок и можна побудувати, то повинна існувати цепь з кінцевого числа основних побудов, у результаті виконання яких на якомусь кроці буде побудований один з кінців відрізка (наприклад, точка А), а на деякому m-м кроці (s>rn) — інший його кінець, точка В. Довжина відрізка і визначається через координати () і (',') точок, А и В по формулі:

Тепер потрібно показати, що числа ',', виражаються через числа а1, а2,…, лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Для доказу застосовуємо метод повної індукції.

Умовимося називати координати центра окружності і її радіус параметрами окружності, коефіцієнти рівняння прямої (записаного у вигляді у=kх+ b або х=с) — параметрами прямої, координати точки — параметрами цієї точки. Методом індукції доводиться наступна пропозиція: s основних побудов, у результаті яких виходять кінці відрізка, можна завжди виконати так, щоб у результаті кожного з них будувалася лінія або точка, параметри якої виражаються через довжини даних відрізків а1, а2,…, лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Розглянемо спочатку 1-й крок. На 1-м кроці виконується одна з наступних побудов:

1) побудова окружності з центром у даній крапці і радіусом, рівним відстані між якими-небудь двома даними точками; рівняння її буде, де числа, означають довжини даних відрізків або нуль;

2) побудова прямої, що проходить через дві дані точки, у результаті чого отримаємо вісь абсцис;

3) вибір довільної точки, що є однієї з даних точок або ж свідомо ту що не є однієї з них.

У перших двох випадках, мабуть, параметри побудованих ліній виражаються через довжини даних відрізків раціонально. У третьому випадку завжди можна вибрати як довільну точки точку, координати якої раціонально виражаються через довжину одного з даних відрізків Таким чином, для 1-го кроку побудови справедливість доказуваної речення встановлена. Нехай тепер у результаті перших n-1 кроків нами побудовані лінії і точки, параметри яких виражаються за допомогою лише основних дій числа а1, а2,…,. Покажемо, що це буде мати місце і після n-го кроку. Розглянемо кожний з можливих випадків.

1-й випадок. На n-м кроці будується пряма, що проходить через дві невідомі точки (х1; у1) і (х2; у2). У силу індуктивного припущення можна вважати, що їх координати виражаються через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій. Рівняння прямої, що ми будуємо, має вигляд:

Тобто

Або y= kx+ b

Де k і b раціонально виражаються через числа, а отже, параметри k і b виражаються через числа а1, а2,…, за допомогою лише кінцевого числа основних дій Наше міркування невірне, якщо х1=х2. Але в цьому випадку рівняння прямої має вигляд х=х1 і, отже, параметр її також виражається через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій.

2-й випадок. На n-м кроці будується окружність з центром у побудованій точці (с;d) і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точками (х1; у1) і (х2; у2). Рівняння окружності має вигляд (х — c)2+(y — d)2 = m2, де

.

У силу індуктивного допущення допускаємо, що параметри побудованої окружності виражаються через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій.

3-й випадок. На n-м кроці будується точка перетинання двох побудованих прямих. Нехай рівняння цих прямих:

y= kx+b (1)

y= (2)

координати точки перетинання, така існує, якщо kk можуть бути знайдені шляхом рішення системи рівнянь (1) і (2). Знайдемо при цьому:

Але параметри прямих (1) і (2) виражаються, у силу індуктивне допущення, через числа а1, а2,…, за допомогою лише кінцевою числа основних дії. Виходить, і координати крапки перетинання даних прямих визначаються через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій. Ще простіше установити справедливість пропозиції для випадку, коли рівняння однієї з прямих має вигляд х=

4-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки прямій і окружності. Нехай рівняння окружності

(1)

Нехай рівняння прямої

y= kx+b (2)

Параметри прямій і окружності виражаються, у силу допущення, через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій. Координати загальних точок прямої і окружності знайдемо, рішаючи спільно два рівняння (1) і (2). Ісключивши із цих рівнянь у, одержимо квадратне рівняння відносно х, рішивши його, знайдемо х, а потім і y, що виражаються через числа, , r, k, b за допомогою кінцевого числа основних дій. Обчислення показують, що в знаходимо потім по формулі (2)

Під радикалом не може виникнути від'ємне число, тому що це означало б, що числа х мнимі, тобто що окружність не перетинається з прямою, а це суперечить умові. Міркуючи, як і раніше, знайдемо, що координати загальних точок прямої і окружності виражаються через числа а1, а2,…, лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Результат залишається в силі і для випадку, коли розглянута пряма паралельна осі ординат.

5-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки двох окружностей. Координати загальних точок повинні задовольняти двом рівнянням:

(1)

(2)

причому параметри цих окружностей виражаються, у силу допущення, через числа а1, а2,…, за допомогою кінцевого числа основних дій. Система рівнянь (1) і (2) легко приводиться до системи, що складає з одного лінійного рівняння й одного рівняння 2-й ступеня:

Рівняння () виходить шляхом почленного віднімання рівнянь (1) і (2). Рішаючи систему рівнянь () і (1), виразимо х и у через числа, отже через числа а1, а2,…, лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

6-й випадок. На n-м кроці будується довільна точка, яка не належить до якоїсь раніше побудованій фігурі Ф. Покажемо, що ця точка може бути побудована так, щоб її параметри (координати) виражалися через числа а1, а2,…, раціонально.

Так як за умовою дані тільки кілька відрізків і ми користуємося тільки циркулем і лінійкою, то фігура Ф може бути тільки з'єднанням кінцевого числа точок, прямих, відрізків, променів, окружностей і їхніх дуг. Нехай у процесі побудов, що були на перших n-1 кроках, побудовано усього k прямих, відрізків і променів. Виберемо на осі абсцис k+1 точок з абсцисами, і проведемо через них прямі, які паралельні осі ординат. Ясно, що хоча б одна з них не є однієї з раніше побудованих прямих і не містить жодного з раніше побудованих відрізків або променів.

Оберемо цю пряму. Ця пряма має з фігурою Ф кінцеве число загальних точок; нехай їхній буде q. Побудуємо на обраній прямій q+1 крапок з ординатами. Очевидно, що принаймні одна з них відмінна від крапок фігури Ф. (Загальні аксіоми конструктивної геометрії забезпечують можливість побудови такої точки.) Координати цієї точки раціонально виражаються через а1.

7-й випадок. На n-м кроці будується точка, що належить однієї з побудованих ліній. Треба довести, що ця точка може бути обрана так, щоб її координати виражалися через дані числа {} винятково за допомогою основних операцій у кінцевому числі, причому вона повинна бути відмінна від раніше побудованих точок зазначеної лінії.

Нехай для визначеності раніше побудована лінія — окружність, рівняння якої має вигляд:

(1)

Нехай на цій окружності треба побудувати точку, відмінну від якихось k наявних на ній точок Р1, Р2,…, Pk. На окружності (1) завжди можна вибрати k+1 точок з абсцисами, що раціонально виражаються через числа і r. Для цього можна,, розділити відрізок () осі абсцис на k рівних частин, і тоді кінці цього відрізка і точки ділення є абсцисами, що раціонально виражаються через. У кожній з цих точок проведемо перпендикуляр до осі абсцис і отмітимо яку-небудь точку перетинання його з окружністю (1). Хоча б одна з таких k +1 точок відмінна від усіх крапок Р1, Р2,…, Pk. Позначимо її через М. Ясно, що її абсциса х раціонально виражається через числа х1 і r, а отже, виражається за допомогою кінцевого числа основних дій через числа а1, а2,…,. Ординату ж у цієї точки ми знайдемо з рівняння (1), так щоб виразити її за допомогою кінцевого числа основних дій через числа, а виходить, що і через числа а1, а2,…, .

Отже, ми показали, що n-й крок можна виконати так, щоб на цьому кроці одержати точки і лінії, параметри яких виражаються через числа а1, а2,…, лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Зокрема, у результаті т-го і s-го кроків ми одержимо точки, А и В, координати яких виражаються через числа { } лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо дано тільки відрізок, прийнятий за одиничний, і l— задане число, то відрізок довжиною l може бути побудований циркулем і лінійкою тоді і тільки тоді, коли число l може бути отримане з (1) за допомогою лише кінцевого числа основних дій.

Розділ 2. Застосування алгебраїчного методу у розв’язку геометричних задач на побудову

2.1 Схема розв’язування задач на побудову алгебраїчним методом Суть алгебраїчного методу полягає в тому, що в припущенні, що задача розв’язана, виділяють на малюнку такі невідомі елементи (відрізки), до побудови яких зводиться розв’язання задачі. Потім на основі даних умови задачі і відомих теорем з геометрії взаємозв'язки між даними і шуканими елементами (відрізками) виражаємо алгебраїчно у вигляді рівняння дають алгебраїчні вирази, за якими виконується побудова шуканих відрізків.

Виходячи з цього, маємо таку схему розв’язування задачі на побудову алгебраїчним методом:

1) складання рівняння (аналіз);

2) розв’язування рівняння;

3)дослідження одержаних розв’язків (формул) на можливість їх побудови циркулем і лінійкою;

4) побудова шуканих відрізків (розв'язків рівняння) і побудова шуканої фігури.

2.2 Розв’язування задач на побудову Сутність методу алгебраїчного аналізу полягає в наступному. Рішення задачі на побудову зводять до побудови деякого відрізка (або декількох відрізків). Величину шуканого відрізка виражають через величини відомих відрізків за допомогою формули. Потім будують шуканий відрізок по отриманій формулі.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. (Задача про подвоєння квадрата.) Побудувати квадрат, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата.

Позначимо сторону даного квадрата через а, а сторону шуканого квадрата через х. Тоді х2= 2а2, х= а .

Будуємо тепер відрізок х по отриманій формулі: х — гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом а. Побудувавши відрізок х, легко потім побудувати шуканий квадрат (рис. 8).

Приклад 2. З вершин даного трикутника, як з центрів, описати три окружності, що дотикаються попарно зовнішнім образом.

Нехай ABC (мал. 9) — даний трикутник, а, b, с— його сторони, х, y і z— радіуси шуканих окружностей. Виразимо довжини відрізків х, у, z через довжини відомих відрізків а, b, с. Тоді x+ y=c, x+z=b, y+z=a

Тому

2x+2y+2z= a+ b+ c, x+ y+ z=(a+ b+ c)

Звідки

Будуємо тепер один зі знайдених відрізків, наприклад за формулі і проводимо окружність (А, х). дві інші окружності проводимо з центрів В і С радіусами відповідно сх і bх.

Для доказу досить помітити тепер, що дві останні окружності стосуються між собою, тому що сума їхніх радіусів

(с — х) +(b— х) = з + b — 2х= з +b- (з+ bа) =а = ВР, Тобто. дорівнює відстані між їхніми центрами.

Задача завжди однозначно розв’язна, тому що

1) у трикутнику ABC і тому відрізок х може бути побудований;

2) c>x, тому що, тому що; 3), тому що

рис. 8 рис. 9

Приклад 3.

Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі с і бісектрисі l прямого кута.

Аналіз. Задача легко рішиться після того, як удасться визначити висоту h шуканого трикутника, проведену з вершин прямого кута. З рис. 10 видно, що, , тобто. або

Залишається виключити з цього співвідношення два невідомих катети a і b. Для цього потрібно скласти ще два незалежних рівняння, яким задовольняють ці катети:

Звідси

З формули (1) маємо:

Таким чином, шукана висота визначається з рівняння, з якого знаходимо єдине додатне рішення:

Побудова. Будуємо відрізок h по формулі (5). На довільній прямій відкладаємо відрізок AB= c. На АВ, як на діаметрі, будуємо окружність. Проводимо пари прямих, паралельних АВ, на відстані h від цієї прямої (рис.11) відзначаємо точку С перетинання цих прямих з окружністю. Шуканий трикутник АВС.

Доказ випливає з оборотності всіх приведених в аналізі міркувань.

Дослідження. Перебираючи послідовно кроки побудови, зауважуємо, що останній крок виконаємо тоді і тільки тоді, коли h, тобто коли Після спрощення ця умова приймає вид. Якщо, то пари прямих і окружність перетинаються в чотирьох точках, так що ми одержимо чотири трикутники, що задовольняють умові задачі. Однак вони усі рівні. Тому задача має єдине рішення. Якщо ж, то пари прямих, що касаються окружності, і ми одержуємо два рівнобедрених трикутники, що задовольняють умові задачі. Ці трикутники також рівні між собою, задача має єдине рішення. Отже, приведений спосіб завжди дозволяє знайти єдине рішення задачі, якщо виконано умову: .

Задача 1. Побудувати трикутник за a; b; .

Розв’язання. Аналіз показує, якщо провести пряму, паралельну бісектрисі C і продовжити сторону ВС до перетину з цієї прямою у точці D, то утворюються рівнобедрений трикутник ACD. Нехай AD=x. Оскільки трикутник і ВDА подібні, то, або .

Побудувавши відрізок AD, можна побудувати трикутник CDА (АС = СD), а потім і трикутник АВС.

Задача 2. З вершин даного трикутника, як із центрів, описати три кола, які попарно дотикаються зовнішньо.

Розв’язання. Нехай А, В, С— вершини даного трикутника;a, b, c— його сторони. Тоді

Тому Отже

Побудуємо один з відрізків, наприклад, і проведемо коло з центром у точці А радіуса, довжина якого дорівнює. Два інших кола проводимо з центрів В іС відповідно радіусів і .

Задача 3. Побудувати трикутник АВС за а; А; (задача Паппа) Розв’язання. Опишемо на стороні ВС дугу сегмента, що вміщує кут А, і доповнимо її до кола. Подовжимо бісектрису до перетину з цим колом у точці W. Відрізок —заданий (-середина відрізка BC). Позначемо. Проведемо діаметр WD. прямокутні трикутники і WAD— подібні. Нехай; WD=d, тоді, або. Знайдемо x:

З точки W проведемо дугу радіуса, достанемо точку A.

Задача 4. Побудувати трикутник АВС за R; r; h.

Розв’язання. Позначимо I центр вписаного трикутника АВС кола, Ї точку дотику вписаного кола зі стороною ВС,

Ї бісектрису кута ВАС. Оскільки (;

основа висоти), то. Але

Отже, або .

Використовуємо формулу Отже,

Звідси .

Отже, Коли знайдено кут А, неважко побудувати трикутник

Задача 5. Через точку D, яка належить стороні ВС трикутника АВС, провести пряму, яка поділяє площу трикутника навпіл.

Розв’язання. Нехай DE— шуканий відрізок .

Тоді. Якщо — середина відрізка ВС, то .

Отже. Таким чином, щоб знайти точку Е,

проведемо відрізок паралельний AD.

Відрізок DE — шуканий

Задача 6. За даними сторонами побудувати чотирикутник, навколо якого можна описати коло

Розв’язання. Нехай АВСD—шуканий

трикутник, навколо якого можна описати коло.

Позначемо АВ= а, ВС= b, DC= c, AD= d,

BD= x. З трикутника BDAза теоремою косинусів Випливає

Аналогічно, з трикутника DCB маємо Оскільки, то виключивши cosA з обох рівнянь, дістанемо Побудувавши діагональ х, будуємо спочатку трикутник BDA за трьома сторонами (a, d та x), а далі трикутник DCB. Чотирикутник ABCD— шуканий

Задача 7 В коло вписано трикутник. На хорді АВ побудувати точку М так, щоб

Розв’язання. Нехай точка М — шукана

Тоді

Якщо, то, звідки знаходимо, що. =. Це значить, що коло дотикається хорди АВ. Отже задача зводиться до такої: через С і D провести коло, дотичне до хорди АВ. Позначемо Е точку перетину прямих DC і АВ, а К — точка дотику. Тоді

Знайдемо точку К і через точки К, С, D проведем коло.

Задача 8 За гіпотенузою с побудувати такі прямокутні трикутники, щоб відстань МІ була: 1) найменшою; 2) найбільшою;(М — центроїд, І — інцентр).

Розв’язання. Очевидно, За теоремою косинусов звідки причому

тому або 9

Відрізок MI досягає найменшого значення при максимальному r. Але r досягає найбільшого значення при тобто, коли шуканий трикутник рівнобедренний. У цьому випадку Отже,

Bідрізок MI досягає найбільшого значення при найменшому значенні r, тобто при r=0.У цьому випадку трикутник вироджується.

Задача 9. Побудувати трапецію за її бічними сторонами і діагоналями.

Розв’язання. У трапеції ABCD введемо позначення: AD=a, BC=b, AC=C, AD=d, DO=x, CO=y,. З трикутників AOD

і COB за тeоремою косинусів маємо

Звідки Очевидно, що Тому

Задача 10. Побудувати точку Р всередині трикутника АВС так, щоб АК=ВМ=СN, де M, N, K— проекції точки Р на сторони ВС, АС, АВ.

Розв’язання. Нехай АК=ВМ=CN=x.

Тоді

Додамо ці рівності:

Звідки Отже відкладаючи на сторонах трикутника АВС відрізки АК, ВМ, CN, дістанемо шукану точку Р.

Задача 11. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою с і медіаною одного з катетів.

Розв’язання. З трикутників АВС і випливає

;

; або

Відрізки, задані формулами (1) і (2) можна побудувати. Отже можна побудувати й трикутник АВС.

Висновки

Використовуючи алгебраїчним метод розв’язування геометричних задач на побудову ми використали сукупність прийомів по використанню чисел алгебраїчних дій, формул, рівнянь і формул для розв’язання даної задачі.

Ми визначили, що за допомогою алгебраїчного методу розв’язування геометричних задач на побудову легше визначити умову можливості існування розв’язків даної задачі, виявити їх кількість, а також особливості кожного розв’язку.

Алгебраїчний метод дав можливість звести задачі геометричного змісту до розв’язання і дослідження алгебраїчних рівнянь. Це дало нам змогу з’ясувати властивості креслярських інструментів і можливість використання ними інших побудов.

Своєю ідеєю методу координат Р. Декарт встановив зв’язок між геометричними об'єктами і числами, що їх і характеризують. Тим самим за допомогою методу координат Р. Декарт вивів алгебраїчний метод.

Мета розв’язання задач на побудову полягає в тому, щоб за допомогою формул і рівнянь встановити залежність між даними і шуканими елементами фігури.

За допомогою алгебраїчного методу ми виділяли невідомі елемента, до побудови яких зводиться задача. На основі даних умови задачі і відомих теорем з геометрії виразили взаємозв'язки між даними і шуканими елементами у вигляді рівняння. Таким чином получили алгебраїчні вирази, за якими виконується побудова шуканих відрізків.

З цього виходить, що за допомогою алгебраїчного методу розв’язування геометричних задач на побудову ми значно облегшуємо задачу побудови шуканих елементів, використовуючи сукупність прийомів по використанню чисел алгебраїчних дій, формул, рівнянь і формул для розв’язання поставленої задачі.

Список використаної літератури Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости.- М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. -269с.

Четверухин Н. Ф. Методы геометрических построений.- М.: УЧПЕДИЗ, 1952.-147с.

Василевский А. Б. Обучение решению задач.- Минск: «Вышэйшая школа», 1979 .-191 с.

Кушнир І.А. Методи розв’язання задач з геометрії.- К.: Абрис, 1994. 464с Бурда М.І. Розв’язування задач на побудову.-К.: «Радянська школа», 1986.-112 с.

Сканави М. И. Сборник задач по математики для поступающих в вузы.- К.: «Канон», 1997.-582 с.

Погорелов А. В. Геометрия.- М.:"Наука",-288 с.

Александров И., Сборник геометрических задач на построение, изд.18, М., 1950. 254с.

Глаголев А.Н., Сборник геометрических задач на построение, М., 1986.-243

Зетель С.И., Геометрия линейки и циркуля, М., 1950. 308

Никулин Н. А. Геометрические построения в плоскости Лобачевского, ГИТЛ, 1951. 164

Кушнир И. А. Решение задач с помощью некоторых формул// математика в школе .- 1985.-354с