Анализ пифагоровых троек

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

пифагорова тройка диофантовый уравнение

Анализ пифагоровых троек

Автор: Фильчев Э. Г.

1. Анализ пифагоровых троек

В настоящее время расчет пифагоровых троек производится с помощью формул

X = 2pq, Y = p2 — q2, Z = p2 + q2

[Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Изд. МИР.М. 1980. Стр. 19].

По этим формулам можно находить пифагоровы тройки, однако представить эти тройки как упорядоченное множество достаточно затруднительно, т.к. необходимо производить перебор пар p и q.

Автором разработана Система mn параметров, в которой для расчета пифагоровых троек, предложены итерационные формулы

Подъем

X1 = 2Z0 + 2X0 + Y0, Y1 = 2Z0 + X0 + 2Y0, Z1 = 3Z0 + 2X0 + 2Y0

X2 = 2Z0 — X0 + 2Y0, Y2 = 2Z0 — 2X0 + Y0, Z2 = 3Z0 — 2X0 + 2Y0

X3 = 2Z0 + 2X0 — Y0, Y3 = 2Z0 + X0 — 2Y0, Z3 = 3Z0 + 2X0 — 2Y0

Спуск

X4 = I 2Z0 — X0 — 2Y0 I, Y4 = I 2Z0 — 2X0 — Y0 I, Z4 = 3Z0 — 2X0 — 2Y0

Здесь, в качестве исходных значений можно принять

X0 = 4, Y0 = 3, Z0 = 5, тогда

X1 = 2•5 + 2•4 + 3 = 21,

Y1 = 2•5 + 4 + 2•3 = 20,

Z1 = 3•5 + 2•4 + 2•3 = 29

X2 = 2•5 — 4 + 2•3 = 12,

Y2 = 2•5 — 2•4 + 3 = 5, Z2 = 3•5 — 2•4 + 2•3 = 13

X3 = 2•5 + 2•4 — 3 = 15,

Y3 = 2•5 + 4 — 2•3 = 8,

Z3 = 3•5 + 2•4 — 2•3 = 17

В результате первой итерации получили три основных ПТ (пифагоровых треугольника)

ПТ1 (21, 20, 29),

ПТ2 (12, 5, 13),

ПТ3 (15, 8, 17).

Для следующей итерации необходимо использовать полученные ПТ в качестве исходных данных. Так, для ПТ1

Х0 = 21, Y0 = 20, Z0 = 29

(см. ПТ1), тогда, в результате расчета по итерационным формулам, получим

X1 = 2•29 + 2•21 + 20 = 120, Y1 = 2•29 + 21 + 2•20 = 119, Z1 = 3•29 + 2•21

+ 2•20 = 169

X2 = 2•29 — 21 + 2•20 = 77, Y1 = 2•29 — 2•21 + 20 = 36, Z1 = 3•29 — 2•21 +

2•20 = 85

X3 = 2•29 + 2•21 — 20 = 80, Y1 = 2•29 +21 — 2•20 = 39, Z1 = 3•29 + 2•21 —

2•20 = 89

Подобный расчет необходимо провести для ПТ2 и для ПТ3. Тогда, в результате второй итерации получим 9 дополнительных ПТ.

Рис. 1. Дерево основных пифагоровых треугольников

пифагоров тройка диофантовый уравнение

На Рис. 1 представлен фрагмент дерева ПТ. Из данных этого рисунка видно, что для каждой ветви имеют место свои соотношения. Так, например, для нижней ветви имеем ПТ вид

ПТ (X, Y, X+1),

Y2 = X + X+1 > Y2 = 2X +1,

Y — нечетное число.

Так, для Y= 17 421

Y2 = 303 491 241

X = = = 151 745 620

имеем ПТ (151 745 620, 17 421, 151 745 621)

Таким образом, при каждой последующей итерации число ПТ увеличивается в три раза, т. е.

? (ПТ) = 30 + 31 + 32 + … +3k,

где k — уровень дерева ПТ (порядковый номер итерации).

На сайте в Google: «Главная страница-Система mn параметров «приведена эффективная и небольшая Mathcad программа расчета более 1 миллиона ПТ. Все эти ПТ представляют упорядоченное множество. На Рис. 1 видно, что на верхней ветви дерева ПТ находятся ПТ вида

ПТ (X + 1, X, Z). На нижней ветви — ПТ (X, Y, X + 1)

Отсюда вывод- необходимо провести анализ свойств дерева ПТ.

Анализ дерева ПТ

1. Нижняя ветвь

1.1 Нижняя ветвь- это ПТ вида

ПТ (X, Y, X + 1),

где Y — всегда нечетное число и

Y2 = 2X + 1. (1)

Пример

Пусть Y = 3117

Y2 = 9 715 689

= = 4 857 844 = X, Z = X + 1 = 4 857 845

4 857 8442 + 31172 = 4 857 8452 > ПТ (4 857 844, 3117, 4 857 845)

Задача

Известное уравнение Пелля имеет вид

Y2 — AU2 = 1,

где (Y, A, U) — целые числа.

Необходимо предложить алгоритм решения уравнения Пелля если задано число А.

Эту задачу можно решить используя ПТ нижней ветви. Запишем уравнение Пелля в виде

Y2 = AU2 + 1

Сравнивая это уравнение с уравнением (1) получим AU2 = 2X. Таким образом показано, что уравнение Пелля — это запись уравнения пифагорова треугольника нижней ветви дерева ПТ.

Примеры

1. Пусть Y = 3 > Y2 = 9 > Y2 = 2X + 1 > X = 4 > A = 2

2. Пусть Y = 5 > Y2 = 25 > Y2 = 2X + 1 > X = 12 > AU2 = 24 = 6•4 >

A = 6

3. Пусть Y = 7 > Y2 = 49 > Y2 = 2X + 1 > X = 24 > AU2 = 48 = 3•16 >

A1 = 3. AU2 = 48 = 12•4 > A2 = 12 и т. д.

Выводы

1. Для любого заданного числа, А решение уравнения Пелля находится на нижней ветви дерева ПТ.

2. В уравнение Пелля Y — нечетное число.

3. Любое уравнение Пелля можно записать в виде ПТ (X, Y, X + 1).

2. Виды пифагоровых треугольников (ПТ)

Алгоритм определения различных видов ПТ заключается в следующем

1. Производится расчет дерева ПТ. При этом массив задается путем выбора qmax .

2. Из массива п. 1, производится выборка вида ПТ.

2.1 ПТ с одинаковыми значениями элементов

2.1.1 ПТ вида ПТ (А, Y, Z). Таких П Т имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

314 820 192 691 369 109

314 820 266 989 412 789

333 375 324 848 465 474

333 375 310 232 455 393

375 144 169 417 911 625

375 144 243 983 447 505

390 852 344 755 521 173

390 852 124 405 410 173

835 164 823 277 1 172 725

835 164 399 427 925 765

2.1.2 ПТ вида ПТ (X, A, Z). Таких П Т имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

348 700 202 011 402 989

202 540 202 011 286 061

212 589 208 060 297 461

224 421 208 060 297 461

345 983 206 856 403 105

433 567 206 856 480 385

316 677 290 836 429 965

605 277 290 836 671 525

295 461 287 980 412 589

309 381 287 980 422 669

2.1.3 ПТ вида ПТ (X, Y, A). Таких П Т имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

374 883 317 156 491 045

439 203 219 604 491 045

378 300 337 819 507 181

361 381 355 860 507 181

683 084 412 563 798 005

587 324 540 243 798 005

593 484 545 363 806 005

689 724 417 043 806 005

628 815 612 808 878 033

642 735 598 192 878 033

2. 14 ПТ вида ПТ (X, Y, 1105). Таких П Т имеется четыре

(1104, 47, 1105), (1073, 264, 1105), (943, 576, 1105), (817, 744, 1105)

Таблица 1

2.2 ПТ вида ПТ (X2, Y, Z)

4 3 5

144 17 145

900 301 949

1600 399 1649

3136 1377 3425

7056 2783 7586

8100 4061 90

13 689 11 000 17 561

20 736 9823 22 945

33 124 18 957 38 165

Таблица 2

2.3 ПТ вида ПТ (X, Y2, Z)

40 9 41

63 16 65

77 36 85

272 225 353

323 36 325

561 400 681

621 100 629

943 576 1105

1160 441 1241

2077 1764 2725

Таблица 3

2.4 ПТ вида ПТ (X, Y, Z2)

24 7 25

120 119 169

240 161 289

527 336 625

1081 840 1369

1519 720 1681

2520 1241 2809

3479 1320 3721

3696 2047 4225

5280 721 5329

Таблица 4

2.5 ПТ вида ПТ (X3, Y, Z)

1728 295 1753

343 000 132 351 367 649

Таблица 5

2.6 ПТ вида ПТ (X, Y3, Z)

15 8 17

713 216 745

7448 3375 8177

14 601 8000 16 649

51 012 42 875 66 637

58 460 9261 59 189

105 985 74 088 129 313

116 625 21 932 118 673

826 956 456 533 944 605

Таблица 6

2.7 ПТ вида ПТ (X, Y, Z3)

117 44 125

2035 828 2197

4888 495 4913

11 753 10 296 15 625

42 372 27 755 50 653

550 116 272 987 614 125

2 866 149 1 651 580 3 307 949

2.8 ПТ вида ПТ (X4, Y, Z), ПТ (20 736, 9823, 22 945)

2.9 ПТ вида ПТ (X, Y4, Z)

63 16 65

6497 1296 6625

192 032 50 625 198 593

3 803 679 2 560 000 4 584 929

2.1. 10 ПТ вида ПТ (X, Y, Z4), ПТ (527, 336, 625)

2.1. 11 ПТ вида ПТ (X5, Y, Z), ПТ (248 832, 203 095, 321 193)

2.1. 12 ПТ вида ПТ (X, Y5, Z), ПТ (255, 32, 257)

2.1. 13 ПТ вида ПТ (X, Y, Z5), ПТ (1 093 425, 905 768, 1 419 857)

2.1. 14 ПТ вида ПТ (X, Y, Z6)

ПТ1(11 753, 10 296, 15 625), ПТ2(3 455 641, 3 369 960, 4 826 809)

2.1. 15 ПТ вида ПТ (X, Y, Z7) ПТ (76 443, 16 124,78125).

3. Абиссальные системы диофантовых уравнений

В комментариях к десятой проблеме Гильберта Ю. И. Хмелевский пишет, что для системы уравнений

X2 + AY2 = U2

X2 — AY2 = V2 (1)

до сих пор неизвестен алгорифм (алгоритм), распознающий по данному целому А, имеет система целочисленные решения или нет. [Проблемы Гильберта. Наука. М. 1960. Стр. 149].

Решение

Преобразуем систему (1)

(X2 + AY2)•(X2 — AY2) = (U•V)2

X4 — (AY)2 = (U•V)2 > (U V)2 + (AY)2 = X4

это уравнение Пифагора

X2 + AY = U2, X2 — AY = V2.

Таким образом система уравнений (1) — это иная запись пифагоровой тройки у которой большая сторона равна квадрату целого числа. Этому условию соответствуют ПТ вида

ПТ (X, Y, Z2)

На дереве ПТ до 12 уровня включительно находится 265 719 ПТ, при этом в этом массиве имеется 113 ПТ вида ПТ (X, Y, Z2). Наибольший из них —

ПТ (40 044 480, 24 220 081, 68412)

Тогда

68412 + 625 695 82 = 93192, 68412 — 625 695•82 = 25992

Здесь по аналогии с системой (1)

X = 6841, A = 625 695, U = 9319, V = 2599

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой