Алгоритмы численного решения задач

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Программирование


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Решить графоаналитическим методом.

Задача 1

max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3

при 4x1 + 2x2 + 5x3 12

6x1 — 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 — 2x3 16

Х? 0

Здесь число n = 3 и число m = 3.

Выразим из ограничений и х3:

? 0

Подставим его в целевую функцию

max (X) =

Получим новые ограничения:

х? 0

Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2

Вычисляем градиент:

= =

Рисунок 1

Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max ц (Х), который удовлетворяет условию Х> =0:

Это точка D (0,7; 4,7; 0).

Функция ц (Х*) в точке D:

ц (Х*) = 38,3

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа

Задача 2

extr ц (X) = 4x1 — x22 — 12

при x12 + x22 = 25

Составим функцию Лагранжа:

L (X, л) = 4x1 — x22 — 12 + л (x12 + x22 — 25)

h (X) = x12 + x22 — 25 = 0 — функция ограничения.

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим данную систему уравнений:

2x2 (л — 1) = 0

Предположим, что x2? 0, тогда л = 1 подставим в первое уравнение системы.

4 — 2x1 = 0

2x1 = - 4

x1 = 2

Подставим x1 в третье уравнение системы.

4 +x22 — 25 = 0

x22 — 21 = 0

x22 = 21

x2 = ±4,5826

Параболоид вращения функции h (x).

В двухмерной проекции график выглядит так:

Рисунок 2.

На рис. 2 видно, что в точках А1 и А2 функция ц (X) = h (X). В этих точках функция ц (X) равна минимальному значению.

(X*, л*)

N

X1*

X2*

л*

ц (X*)

Примечание

1

2

4,5826

1

-24,25

Min

2

2

-4,5826

1

-24,25

Min

Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера.

Задача 3

extr ц (X) = 9 (x1 — 5) 2 + 4 (x2 — 6) 2 =

при 3x1 + 2x2 >= 12

x1 — x2 <= 6

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа.

L (X, л) = + л1 (3x1 + 2x2 — 12) + л2 (x1 — x2 — 6) =

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим систему уравнений.

1) Предположим, что л2? 0, тогда из уравнения (d) получим

x2 = х1 — 6

Пусть л1 = 0 и x1? 0, тогда из уравнения (а) получим

18x1 — 90 — л2 = 0, л2 = 18х1 — 90

Пусть x2? 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 — 48 — л2 = 0

Подставив в уравнение выражения для x2 и л2, получим

x1 = 4

x2 = - 2

x1* = 4; x2* = - 2; ц (Х) * = 265

Трехмерный график целевой функции для данной задачи

Двухмерная проекция

Рисунок 3

На рис. 3 видно, что в точке, А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.

В этой точке функция ц (X) равна максимальному значению.

2) Предположим, что л2 = 0 и x2? 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 - 48 + 2л1 = 0

x2 =

x2 = 6 —

Предположим, что x1? 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.

18х1 — 90 + 3л1 = 0

18 = 90 — 3л1

х1 =

х1 = 5 —

Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение © системы.

а) = 0, x1 = 5; x2 = 6

б) = 15

x1 = 2,5; x2 = 2,25

Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим ц (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 — получим ц (Х) = 112,49

Таким образом:

x1* = 5; x2* = 6; ц* (Х) = 0

На рис. 4 видно, что в точке В функция ц (X) = a (X). В этой точке функция ц (X) равна минимальному значению.

Рисунок 4

X*

N

X1*

X2*

ц (X*)

Примечание

1

5

6

0

Min

2

4

-2

265

Max

Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера.

Задача 4

max ц (X) = - x12 — x22 +2х2

при x1 + x2 >= 18

x1 + 2 x2 >= 14

Х> =0

Найдем выражение вектор-функции системы.

Составим функцию Лагранжа.

L (X, л) = - x12 — x22 + 2х2 + л1 (x1 + x2 — 18) + л2 (x1 + 2x2 — 14)

Вектор-функция системы:

Составим матрицу Якоби.

Составим алгоритм численного решения задачи:

Рисунок 5.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой