Исследование и численное решение некоторых задач об усвоении данных

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вычислительная техника
Страниц:
93


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля возрастает интерес к задачам усвоения и обработки данных наблюдений с целью ретроспективного анализа в различных отраслях знаний. К числу проблем, решение которых не может обойтись без четырехмерного анализа данных наблюдений можно отнести проблемы глобальных изменений климата нашей планеты, состояния и защиты от загрязнений окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения, интенсивного развития промышленного производства и многие другие. Все это потребовало комплексного изучения задач идентификации для эволюционных процессов.

В последние годы возникли новые постановки проблем, требующие детального изучения с применением теории сопряженных уравнений. В частности, следует отметить проблему анализа полей данных наблюдений, с помощью которых изучаются течения Мирового Океана, идет уточнение параметров океанических моделей, а также исправление самих наблюдаемых полей. Также стоит отметить бурно развивающуюся в последнее время отрасль человеческой деятельности — наблюдение Земли со спутников. В этом случае большое значение приобретает решение проблемы обработки данных, получаемых со спутников. Вариационная формулировка этой задачи может быть сформулирована следующим образом: введя функцию стоимости, измеряющую расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, найти неизвестные входные параметры модели, для которых функция стоимости принимает наименьшее возможное значение. Обработка получаемых данных является, таким образом, задачей огромной важности и в этом случае, с помощью методов усвоения молено превратить их в полезную информацию, что в конечном счете позволяет производить уточнения и самих наблюдаемых данных. Поэтому весьма актуальным является развитие методов исследования и численного решения задач вариационного усвоения данных.

Математические постановки задач об усвоении данных могут быть сформулированы как задачи оптимального управления в терминах систем уравнений состояния и сопряженных к ним. Начиная с работ Р. Беллмана [7], Л. С. Понтрягина [91]. Н. Н. Красовского [22]. Ж. -Л. Лионса [30], Р. Гловинского [73], А. Балакришнана [6], Г. И. Марчука

33]. Ю. С. Осипова [88]. А. Б. Куржанского [25], постановки и изучение таких задач с использованием теории сопряжённых уравнений привлекают внимание многих исследователей. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, охраны окружающей среды, и др. (см. Г.И. Мар-чук [32, 35, 36], [38]. В. В. Пененко и Н. Н. Образцов [90]. В. В. Пененко и Г. И. Марчук [84], Г. Р. Контарев [77], Дж. Льюис и Дж. Дербер [80], И.М. Навон[97], Ф. Диме [68], Ж. -Л. Лионс [81, 82], П. Куртье и О. Та-лагран [67]. А. Лоренц [83], В. И. Агошков [3. 57, 56], Г. И. Марчук и В. И. Агошков [55, 41], Г. И. Марчук и В. Б. Залесный [85], В.М. Ипато-ва [20], В. Б. Залесный и Н. А. Галкин [21], Г. И. Марчук и В.П. Шутя-ев [86], В. Б. Залесный и М. Венцель [9]).

Как известно [55], задачи усвоения данных в некотором смысле эквивалентны некоректно поставленным задачам и поэтому, требуют привлечения методов регуляризации, предложенных в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, Ж. -Л. Лионса и др.

Касаясь разрешимости задач оптимального управления, следует отметить результаты, полученные Ж. -Л. Лионсом [30] для линейных задач оптимального управления. Другие подходы к исследованию подобных задач рассматривались в работах К. Бардоса и др. [63], А. И. Егорова [19]. А. В. Фурсикова [71, 72] и др. Для нелинейных задач аналогичные результаты были получены в работах В.И. Агошкова[3, 4, 57], В. И. Агошкова и Г. И. Марчука [55], В. М. Ипатовой [20]. В. П. Шутяева [92].

Один из подходов к исследованию разрешимости задач об усвоении данных заключается в получении так называемого оператора управления [3. 92]. Как оказывается, знание свойств этого оператора, в особенности его спектральных свойств, важно для исследования разрешимое задачи управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения. Наряду с изучением структуры спектра данного оператора важно получить оценки границ спектра, так как их знание позволяет оптимизировать численные алгоритмы решения задачи оптимального управления. В частности, некоторые из таких оценок для непрерывных задач получены в работах Агошко-ва В.И. [3, 57]. Шутяева В. П. [52. 94].

Как отмечалось, знание свойств спектра оператора управления важно для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов решения задач оптимального управления. Классические методы для решения подобных задач были разработаны в работах H.H. Красов-ского, A M. Летова. II.A. Крылова и Ф. Л. Черноусько, Р.П. Федо-ренко, Евтушенко Ю. Г. и др. Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач усвоения данных предложен в работах В. И. Агошкова и Г. И. Марчука [55], Г. И. Марчука и В. Б. Залесного [85], Г. И. Марчука и В. П. Шутяева [86], В. П. Шутяева [93]-[94].

Наряду с исследованием непрерывной задачи важное значение имеет исследование разностных аналогов вариационной задачи об усвоении данных. Отождествляя в некотором базисе оператор задачи с его матрицей, можно получить разностный аналог уравнения для управления. Свойства полученной & quot-матрицы управления& quot- оказываются подобными свойствам оператора соответствующей непрерывной задачи. При некоторых условиях границы спектра матрицы управления могут быть точно вычислены, что позволяет получить условия сходимости итерационных методов и оценить их скорость сходимости.

В связи с этим актуальным является изучение разностных задач вариационного усвоения данных, исследование спектра матриц управления и анализ на основе их свойств численных алгоритмов решения задач.

Цель работы — исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработка и обоснование итерационных методов их решения, численный анализ алгоритмов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Далее кратко рассмотрим содержание работы по главам.

Заключение

В диссертации проведено исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработаны и обоснованы численные алгоритмы их решения. Основные результаты состоят в следующем

• Исследован разностный аналог линейной эволюционной задачи об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Получены оценки для границ спектра матрицы управления. Доказана устойчивость разностной задачи оптимального управления.

• Разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения разностных задач об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Проведена оптимизация итерационных алгоритмов на основе свойств спектра матрицы управления.

• Проведено численное исследование итерационных алгоритмов решения конкретных задач об усвоении данных, среди которых задача о восстановлении начальных данных в линейной и полулинейной параболических задачах, проблема восстановления граничных функций в задаче переноса частиц.

Разработанные в диссертационной работе итерационные алгоритмы, основанные на одновременном использовании основных и сопряженных уравнений, могут быть применены для решения практических задач об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия или граничных функций.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Введение,.

Глава 1 Численные методы решения проблемы усвоения данных (основы теории)

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разностная формулировка задачи

1.3 Свойства матрицы управ., тения.

1.4 Устойчивость разностной схемы.

1.5 Итерационные методы решения задачи об усвоении данных

Глава 2 Численное решение проблемы усвоения данных в линейных параболических задачах

2.1 Постановка задачи

2.2 Разностный аналог и его свойства.

2.3 Итерационные алгоритмы решения задачи.

2.4 Результаты численных экспериментов.

Глава 3 Численное исследование проблемы усвоения данных для полулинейного уравнения теплопроводности

3.1 Постановка задачи.

3.2 Численный алгоритм.

3.3 Свойства линейной задачи.

3.4 Сходимость метода последовательных приближений

3.5 Численное решение задачи об усвоении данных

Глава 4 Численное решение некоторых обратных задач как задач об усвоении данных

4.1 Постановка обратной задачи для уравнения переноса как задачи об усвоении данных.

4.2 Итерационные алгоритмы для решения задачи

4.3 Результаты численных экспериментов. Основные выводы

Список литературы

1. Агошков В. И. Операторы отражения и методы разделения области в задачах теории переноса // Численные методы и математическое моделирование. 1987. т.2. с. 325−347.

2. Агошков В. И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука. 1988.

3. Агошков В. И. Разрешимость одного класса задач нечувствительного оптимального управления и применение методов возмущений // Research Report DXM 91/2. М.: ИВМ РАН, 1991.

4. Агошков В. И., ИпатоваВ.М. О разрешимости задачи нечувствительного управления // Дифф. уравнения, т. 30. № 3, 1994. с. 941 944.

5. Амбарпумян В. А. Рассеяние и поглощение света в планетарных атмосферах // Уч. записки ЛГУ. 1941. т. 82, с 141.

6. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1974.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

8. Вайникко Г. М. Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректно поставленных задачах. М.: Наука. 1986.

9. Венцель М., Залесный В. Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекцирт-диффузии тепла в океане // Известия А Н. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32. № 5. С. 613−629.

10. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды матем. ин-та АН СССР. т. 61, 1961.

11. Воеводин В. В. Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984.

12. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи Математических Наук. (1959). т. XIV, вып. 2(86), с. 87−158.

13. Гермогенова Т. А. Об обратных задачах атмосферной оптики // ДАН СССР. 1985. Т. 285, № 5. С. 1091−1096.

14. Годунов С. К. Рябенький B.C. Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. Вып. 3. С. 3−14.

15. Денисов А. М. О единственности решения некоторых обратных задач для нелинейных моделей процессов динамики сорбции // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1992. С. 73−84.

16. Денисов А. М., Туйкина С. Р. О приближенном решении одной обратной задачи динамики сорбции // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вы-числ. мат. и киберн. 1983. № 3. С. 27−31.

17. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизашш. М.: Наука. 1982.

18. Евтушенко Ю. Г. Засухина Е.С. Зубов В. И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помошью граничных условий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 2, № 12, с. 1449−1458.

19. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми процессами. -М.: Наука, 1978.

20. Ипатова В. М. Задача усвоения данных для модели обшей циркуляции океана в квазигеострофическом приближении. М. ИВМ РАН. 1992, — Деп. в ВИНИТИ 17. 07. 92, № 2333−1392.

21. Залесный В. Б., Галкин H.A. Инициализация поля температуры в модели термодинамики Аравийского моря // Океанология. 1995, т. 35. № 4. с. 514−524.

22. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1969.

23. Крылов H.A. Черноусько Ф. Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. № 6. С. 1132−1139.

24. Кряжимский A.B., Максимов В. И. Осипов Ю.С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 3. С. 291−301.

25. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.

26. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: ВИНИТИ, 1994.

27. Лебедев В. И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // ЖВМ и МФ. 1971. Т. 11. № 2. С. 425.

28. Лебедев В. И. Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: ОВМ АН СССР, 1983.

29. Летов A.M. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969.

30. Лионе Ж. -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.

31. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, Хо. 12. С. 2059−2067.

32. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Атом-издат, 1961.

33. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач // Докл. АН СССР. 1964. Т. 156. No. 3. С. 503−506.

34. Марчук Г. И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач // Космические исследования. 1964. т.2. вып. 3, стр. 462−477.

35. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.

36. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

37. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

38. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

39. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов.~ М.: Атомиздат, 1981.

40. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. 1981.

41. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.

42. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М., Мир, 1981.

43. Пармузин E.H. Шутяев В. П. Численное исследование итерационных методов решения задачи об усвоении данных. Деп. в ВИНИТИ 27. 11. 95, No. 3121-В95.

44. Пармузин Е. И. Шутяев В.П. Численное решение проблемы об усвоении данных в сингулярно возмущенной эволюционной задаче. Деп. в ВИНИТИ 27. 12. 95, Хо. 3494-В95.

45. Пармузин Е. И., Шутяев В. П. О численных алгоритмах решения одной задачи об усвоении данных // ЖВМ и МФ, 1997. т. 37, N 7. с. 816−827.

46. Прилепко А. Н. Орловский Д.Г., Васин И. А. Обратные задачи в математической физике // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М.: Мир. 1992.

47. Рябенький B.C. Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. N 2. С. 242−255.

48. Сивергина И. Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем // ДАН. 1996. т. 351. No. 3. с. 304−308.

49. Сушкевич Т. А. Стрелков С.А., Иолтуховский А. А. Метод характеристик в задачах атмосферной оптики. М.: Наука, 1990

50. Тихонов А. Н. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

51. Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. Мир. 1985.

52. Шутяев В. П. Некоторые свойства оператора управления в задаче об усвоении данных и алгоритмы её решения // Дифф. уравнения. 1995, т. 31. No. 12, с. 2063−2076.

53. Шутяев В. П. Об усвоении данных в шкале гильбертовых пространств для квазилинейных эволюционных задач // Дифф. уравнения. 1998. Т. -34. No. 3, с. 383−389.

54. Щеглов А. Ю. Об устойчивости метода получения квазирешения одной обратной задачи для нелинейного гиперболического уравнения. В сб.: Обратные и некорректно поставленные задачи. -М.: МГУ, 1999. с. 70.

55. Agoshkov V.I. Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1993. V. 8. No. 1. P. 1−16.

56. Agoshkov V.I. Control theory approaches in data assimilation processes. inverse problems and hydrodynamics // Computer Mathematics and its Applications. 1994. V.l. P. 21.

57. Agoshkov V.I. Investigation of a class of inverse problems on optimal boundaries // Computational Science for the 21st Century. New York: John Wiley. 1997. P. 589−596.

58. Agoshkov V.I. Boundary Value Problems for Transport Equations. -Basel: Birkhauser. 1998.

59. Agoshkov V.I. and Bardos C. Inverse radiative transfer problems: the problem on boundary function.- Centre de Mathematiques et Leurs Application. ENS CACHAX. France. Preprint Xo. 9801. 1998.

60. Agoshkov V.I. and Bardos C. Parmuzin E.I. Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative algorithms for an inverse boundary transport problem. Centre de Mathematiques et Leurs Application. ENS CACHAN, France, Preprint No. 9812. 1998.

61. Anikonov Yu. E. New methods and results in multidimensional inverse problems for kinetic equations, in: Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Ed. by A.N. Tikhonov. Moscow. Russia VSP. Netherlands, 1992.

62. Bardos C., Caflish R. and Nicolaenko B. Different aspects of the Milne problem // Transp. Theory and Statist. Physics. T. 16. 1987. 561−585.

63. Bardos C. Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary // SIAM J. Cont. Optim., 1992. V. 30. pp. 1024−1065.

64. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. Oxford: Claderon Press. 1947.

65. Case K.M. Inverse problem in transport theory // The Physics of Fluids. T. 16, 1973. 1607−1611.

66. Chandrasekhar S. Radiative Transfer. Claderon Press. 1950.

67. Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. Part II: Numerical results // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1987. V. 113. 1329−1347.

68. Le Dimet F.X. A general formalism of variational analysis. CIMMS Rept. Norman. 1982. OIv 73−91. V. 22. P. 1−34.

69. Le Dimet F.X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects // Tellus A. 1986. V. 38. P. 97−110.

70. Freund R.W., Golub G.H. N.M. Nachtigal. Iterative solution of linear systems // Acta Numerica. 1992. pp. 57−100.

71. Fursikov A.V. Lagrange principle for problems of optimal control of ill-posed or singular distributed system // J. Math. Pures et AppL, V. 7i. 1992. 139−194.

72. Fursikov A.V. Imanuilov O. Yu. Controllability of Evolution Equations // Lecture Notes. V. 34.- Seoul: Seoul Nat. Univ. 1996.

73. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems.- New York: Springer, 1984.

74. Glowinski R. Lions J.L. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems // Acta Numerica. 1994. V.l. P. 269.

75. Gutknecht M.H. Variants of BiCGSTAB for matrices with complex spectrum. Tech. Report 91−14, IPS ETH. Zurich. Switzerland. 1991.

76. Hunt K.K. and McCormick N.J. Numerical test of an inverse method for estimating single-scattering parameters from pulsed multiple-scattering experiments // J. Opt. Soc. Am. A., T. 2. 1985, 11−25.

77. Kontarev G.R. The adjoint equation technique applied to meteorological problems: Techn. Rept. No. 21. European Centre for Medium Range Weather Forecasts. 1980.

78. Kurzhanskii A.B. Khapalov A. Yu. An observation theory for distributed-parameter systems // J. Math. Syst. Estimat. Control. 1991. V.l. No. 4. P. 389−440

79. Lattes R. Lions J. -L. Methode de Quasi-Reversibilite et Applications- Dunod. 1967.

80. Lewis J., Derber J. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus A. 1985. «V. 37. P. 309−322.

81. Lions J. -L. Sur les sentinelles des systems distribues. Le cas des conditions initial incompletes // C.r. Acad. Sei. Paris. 1988. T. 307. Ser. I. P. 819−823.

82. Lions J. -L. El planeta tierra. Madrid: Espasa, 1990.

83. Lorenc A.C. Optimal nonlinear objective analysis // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1988. V. 114. P. 205−210.

84. Marchuk G.I. Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin’s principle and splitting-up method // Russian J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1993. V. 8. No. 4. p. 311−326.

85. Marchuk G.I. Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem //Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1994. V. 9. No. 3. P. 265−279.

86. Marchuk G.I. and Agoshkov V.I., Reflection operators and contemporary applications to radiative transfer // Appl. Mathematics and Computation. T. 80. 1995, 1−19.

87. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problem of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. London: Gordon and Breach. 1995.

88. Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative methods for solving evolution data assimilation problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 14, No. 3. 1999. pp. 265−274.

89. Penenko V. Obraztsov N.N. A variational initialization method for the fields of the meteorological elements // Meteorol. Gidrol. (English transl.). 1976. V. 11. P. 1−11.

90. Pontryagin L.S. Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R. V. Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. New York: Wiley Interscience. 1962.

91. Shutyaev V.P. On a class of insensitive control problems //Control and Cybernetics. 1994. V. 23. No ½. P. 257−266.

92. Shutyaev V.P. Control operators and iterative algorithms in problems of reconstructing source functions and initial data // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Vol. 14, No.2. 1999. pp. 137−176.

93. Shutyaev V.P. Iteration methods for evolution data assimilation problem // Integral Methods in Science and Engineering, v.2. Pitman Research Notes in Maths. Series No 375. Harlow: Longman. 1997, pp. 196−199.

94. Sleijpen G.L.G., Fokkema D.R. Bi-CGSTAB for linear equation involving unsymmetric matrices with complex spectrum. Tech. Report 772, University of Utrecht, Department of Mathematics, Utrecht, The Netherlands, 1993.

95. H. van der Vorst, Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsvmmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. v. 13. 1992. 631−644.

96. Zou X., Navon I.M. Le Dimet F.X. Incomplete observations and control of gravity waves in variational data assimilation // Tellus A. 1992. V. 44A. P. 273−296.

Заполнить форму текущей работой