Математическое моделирование некоторых термических процессов в металлургии

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Теоретическая физика
Страниц:
143


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

1. В настоящее время метод математического моделирования физических процессов на ЭВМ широко применяется и при решении технологических задач организации производства i~7j • Если составлена математическая модель процесса, то математический эксперимент позволяет воспроизвести его на ЭВМ, что даст возможность решать задачи управления.

Математическое моделирование предполагает, что технологический процесс может быть описан системой уравнений с известными краевыми условиями и параметрами, что не всегда возможно. В последнем случае часто можно воспользоваться методом обратных задач, алгоритмы решения которых доставляет теория регуляризации. Так, в работах [8~12j использование метода обратных задач позволило провести моделирование конкретных процессов в целом.

2. Кафедра математики физического факультета МГУ, на которой выполнена настоящая диссертационная работа, развивает интенсивное сотрудничество с АВТО-ЗИЛ. В ходе этого сотрудничества в работах f 5″, iZ~l?J решен ряд задач, касающихся конкретных технологических процессов.

Настоящее исследование связано с проектированием на ЗИЛе непрерывного технологического цикла. Речь идет об организации процессов разливки и термической обработки стальных заготовок таким образом, чтобы утилизовать отходы производства и свести к минимуму энергетические потери при переключении элементов технологического цикла. Такое направление работы, отвечающее директивам ХХУТ съезда КПСС, а также примыкающее к широко развиваемой проблематике математического моделирования, определяет ее актуальность.

В диссертации в рамках подходящих математических моделей решен ряд вопросов, относящихся к организации такого цикла.

Поскольку задачи управления процессом литья достаточно подробно изучены в специальной научной литературе [1, 2 ,

2 i J «они в наст0Я1Дей работе не затрагиваются. Задачи химико-термической обработки /закалка, цементация/ также изучены, в частности, в работах[14, {7, 22 ~25]. В настоящей диссертации рассматриваются вопросы, связанные с экономией энергии в процессах транспортировки и первичной термообработки заготовок. Необходимо отметить, что вопросами снижения потребления энергии в процессе непрерывного литья стали в последнее время занимаются и за рубежом /см., например, [26]/• Тем не менее, эти вопросы еще не достаточно хорошо разработаны, и новизна возникающих здесь задач определяет и новизну полученных в диссертации результатов.

Научная достоверность конкретных результатов подтверждена точным математическим анализом проблемы, либо /для результатов методического плана/ численными экспериментами, а там, где возможно, — сопоставлением с данными эксперимента физического.

3. Основное содержание диссертации изложено в трех главах.

Петэвая глава посвящена задачам контроля над внутренним температурным полем заготовки, полученной методом непрерывного литья. Такой контроль необходим для оценок степени равномерности внутренней температуры и установления на их основе времени начала очередного этапа термообработки. Целью этой части работы является обоснование и планирование физического эксперимента, предназначенного для измерений температуры некоторой части поверхности. По данным этих измерений, представляющих собой априорную экспериментально доступную исходную информацию, необходимо определить внутреннее температурное поле заготовки как решение обратной задачи.

Обоснованию постановки эксперимента служит решение проблемы единственности восстановления начального температурного распределения ^ /поскольку при заданном температура в любой момент времени t > О определяется однозначно/. Вопрос о восстановлении начального температурного поля рассматривался наряду с другими в работах [27 -2 в J. Однако постановкам задачи в [ 2 2 8 J соответствует заданное распределение температуры всюду в некоторый последующий момент времени. В [ 2 7} 2? J вопросы единственности не затрагивались. В работе [2 3J исследовалась единственность решения одномерной обратной задачи, причем в качестве дополнительной информации использовались показания датчика, движущегося равномерно по отрезку (О, i) .В отличие от этого, в §§ 3,6 Главы I минимальной экспериментально доступной информацией для доказательства единственности неодномерных обратных задач служат данные о температуре на границе области, снимаемые движущимся датчиком в течение отрезка времени О < t± ^? tz. * Проблема единственности рассмотрена нами в рамках ряда конкретных линейных моделей. Установлены, в частности, следующие теоремы.

Теорема I, Двум различным начальным температурным полям

Скч): о< ������������

��������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������

�����������������

������������������������������������������������

��Kt + Kz. <9) в Q).

Теотзема 3. Двум различным начальным ^ (%) отвечают различные Us СR, -Ь), ф^ -класс функций У, имеющих ограниченные g)* у в Q и ограниченную Jg1 f в).

Теотзема 4. Двум различным начальным f^C? ^(Z^) отвечают различные 0± 2

1,2, t^t^tz (i^ ~ класс функций у9, имеющих ограниченные У Св и ограниченную р в Q).

Теотзема 5. Двум различным начальным (

Ой У С 2 ft У ,

g? отвечают различные h-htt)^ it, At, О, 0

В Приложениях 1,2 приведены альтернативный метод доказательства единственности решения одной из рассмотренных обратных задач и некоторое обобщение Теорем 1,3,4.

Методическим результатом этой части исследования является разработка регуляризирующего по Тихонову оператора /РО/ для решения поставленных обратных задач, который заключается в нахождении решения уравнения Эйлера f[J{ Y> -t- ol/, Y*-- f [3 0j «гДе J ~ линейный интегральный оператор прямого отображения, Д* -сопряженный оператору Д, f -неточно заданная температура части поверхности, U. -параметр регуляризации, который выбирался квазиоптимальным способом.

С помощью этого алгоритма проведен численный эксперимент на ЭВМ по восстановлению начальной температуры. В результате установлена эффективность РО и даны оценки точности, с которой должна быть измерена температура поверхности для получения нужной точности прогнозирования.

Разработанная программа-датчик температурных состояний может в перспективе служить целям оперативного прогнозирования в комплексе с измерительной установкой.

В дополнение к изложенному выше следует заметить, что разработанная в Главе I методика восстановления внутреннего температурного поля детали по измерениям температуры на ее поверхности может быть эффективно использована и в других технологических задачах. Примером этого может служить, в частности, задача определения температуры конца штамповки вытяжкой [ Ъ 1~J.

Во второй главе рассматривается задача, связанная с транспортировкой заготовок квадратного сечения от места отливки к месту последующей термической обработки. Предполагается, что в целях экономии тепловой энергии заготовки помещаются в теплоизолированный контейнер. Такой контейнер, наряду с сохранением тепла заготовок, способствует выравниванию их температур, что важно для последующей обработки.

Задача состоит в том, чтобы оценить время теплообмена в контейнере fc * до установления квазиравномерного распределения и средний температурный уровень it, а также оптимальные размеры контейнера с учетом плотности упаковки заготовок, при которых стационарное поле формируется в приемлемые сроки.

Это задача решалась с помощью серии математических экспериментов. Дня этой цели разработана экономичная /точечная/ модель процесса теплообмена, позволяющая проводить расчеты трехмерной конфигурации заготовок. Процесс теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, имеющей общий вид tj-F (V), U=U (t), t> o, и (О) -- Uo, где I/= { Ui (t)} -температуры выбранной системы конечных элементов { Ti J как функции времени t

В двумерном варианте модель опробирована сопоставлением с более точной, описываемой системой уравнений в частных производных. Относительное расхождение результатов при расчетах времени теплообмена t * в обеих моделях не превосходит 24 $, что соответствует различиям в температурных полях, не выходящим за границы допуска при оценках степени равномерности нагрева? i 4 ].

Установлено, что величина? * существенно возрастает с увеличением размеров контейнера. Тем самым, малые контейнеры более экономичны. Установлена также зависимость времени теплообмена от величины воздушного зазора между заготовками § /см. Рис. 12 /. Это дает возможность выбрать оптимальную внутреннюю конструкцию контейнера. В Приложении 3 приведены также алгоритм и результаты расчетов времени теплообмена заготовок, имеющих форщу восьмигранников.

Результатом работы над этой проблемой являются также программы-датчики, предназначенные для диагностики температурного состояния системы заготовок в контейнере /Приложение 4/.

Наряду с этим во второй главе даны среднестатистические оценки уровня температуры в квазиравновесном состоянии it по ансамблю начальных распределений, поскольку последние носят статистический характер. Именно, на основании неравенства Чебышева получены вероятностные оценки вида u,(xt, ь>а) — л (Яь)1 ё 8} > Qs (Z t p{tu{% t,)-л (Я, t) Ue (a) < Sj" & ft), где (Л (t, C^i j) -температура, рассматриваемая как функция пространственных координат X — {Л& lt-}, времени и независимых случайных величин COi, ^(^t) -математическое ожидание /среднее значение/ величины U. «S -задаваемый уровень отклонения температуры от среднего значения. Рассмотрены двух- и трехмерные модели плотной упаковки заготовок.

В третьей главе изучается задача о перераспределении температурного поля заготовок, подвергаемых горячей поперечно-винтовой прокатке. Оценка соответствующего эффекта позволит уменьшить энергоемкость последующих стадий процесса термообработки.

Основные элементы теории прокатки /геометрия и кинематика процессов, напряженно-деформированное состояние металла в очаге деформации, направление и действие сил трения на контактной поверхности, расчет усилий и моментов прокатки, тепловой расчет станов/ достаточно подробно изложены как в учебной, так и в специальной технической литературе/ см., например, [32~3&J /• Для проведения инженерных расчетов имеются надежные и опробированные формулы, использующие также накопленный экспериментальный материал. Содержанием настоящего исследования является математическое моделирование на ЭВМ тепловых процессов внутри заготовки и на ее поверхности, происходящих в течение прокатки, с использованием некоторых элементов теории прокатки, а также математических методов теории пластичности.

Разработанная основная модель теплообмена заготовки цилиндрической формы с валками и с внешней средой учитывает следующие факторы: а/ перераспределение температуры по сечению заготовки вследствие теплопроводности, а также уменьшения ее радиуса, б/ тепловыделение на поверхности в результате трения с валками, в/ теплоотдача на валки в области деформации, г/ поверхностный теплообмен с окружающей воздушной средой, д/ мощность пластической деформации.

Соответственно, процесс описывается следующей совокупностью условий /см. § 3 Главы 3/:

U{7, to+& t,

T-a-ix u-T-i, т* и о* 4 1

Для численного решения этой краевой задачи составлена неявная абсолютно устойчивая конечно-разностная схема. Проведенные расчеты на ЭВМ позволили изучить зависимость температуры поверхности заготовки в момент окончания прокатки от параметров модели, характеризующих прокатный стан и реологические свойства материала заготовок. Установлено, что в указанном диапазоне изменения параметров температура поверхности повышается в среднем на 60-Ю0°С, что в принципе согласуется с известными данными физического эксперимента.

Математические эксперименты обнаружили также некоторые изменения температурного уровня вдоль оси заготовки. Этому факту дано физическое объяснение.

Изучение распределения температуры в направлении оси проведено также в рамках упрощенной модели источника тепловыделения, движущегося вдоль & quot-тонкого"- стержня. В результате расчетов установлено, что температура по длине заготовки меняется несущественно, и заметное уменьшение ее уровня наблюдается лишь в малой окрестности концов в связи с теплоотдачей в окружающую воздушную среду.

Значительное число работ в области математической физики посвящено обратной задаче об определении параметров теплового источника по тем или иным характеристикам температурного поля /см., например, /. Подобная задача представляет интерес и в связи с рассматриваемой здесь проблемой ввиду ограниченности объема априорной информации. Отличие нашей задачи от рассмотренных ранее состоит прежде всего в том, что источник движущийся.

В третьей главе изложена, в частности, реализованная в программе для ЭВМ методика определения интенсивности теплового источника по измерениям температурного поля заготовки /в рамках упрощенной модели/. Поскольку методы расчета интенсивности наталкиваются на те или иные некорректные операции, основой методики является общий регуляризирующий оператор А. Н. Тихонова /7 Ъ ОJ с квазиоптимальным выбором параметра регуляризации. На основании этой методики проведен математический эксперимент на ЭВМ по восстановлению функции источника при неточно заданном температурном поле (К, о< ������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������

�������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Показать Свернуть

Содержание

ГЛАВА I НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДИАГНОСТИКОЙ ВНУТРЕННЕГО ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ

СТАЛЬНЫХ ЗАГОТОВОК.

§ I. Общая постановка задачи

§ 2. О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по измерениям на некоторой части поверхности

§ 3. О единственности восстановления начальной температуры образца прямоугольного сечения по показаниям движущегося датчика

§ 4. О единственности восстановления начальной температуры цилиндра по измерениям на поверхности (одномерная осесимметричная модель)

§ 5. О единственности восстановления начальной температуры цилиндра конечной длины по измерениям на боковой поверхности (двумерная модель)

§ 6. О единственности восстановления начальной температуры заготовки цилиндрической формы по показаниям датчика, движущегося по боковой поверхности (трехмерная модель)

§ 7. Формулировка алгоритмов численного решения обратных задач.

§ 8? Результаты математических экспериментов на ЭВМ по восстановлению начального распределения температуры.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛООБМЕНА ЗАГОТОВОК В

ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОМ КОНТЕЙНЕРЕ

§ I. Общая постановка задачи и вопросы выбора различных моделей описания процесса

§ 2. Математические модели и алгоритмы численного решения задач

§ 3. Результаты расчетов на ЭВМ и их анализ

§ 4. О возможности статистического подхода к моделированию внутреннего теплообмена.

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ ТЕПЛОВЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ ГОРЯЧЕЙ

ПРОКАТКЕ.

§ I. Общая постановка задачи и выбор математических моделей описания процесса

§ 2. Алгоритм численного решения обратной задачи восстановления функции источника и его экспериментально-математическое обоснование

§ 3. Модель и алгоритм расчета мощности тепловыделения и температурного поля заготовки

§ 4. Результаты математического моделирования процесса прокатки и их анализ

Список литературы

1. Самойлович Ю. А., Крулевецкий С. А., Горяинов В. А., Кабаков З. К. Тепловые процессы при непрерывном литье стали. М.: Металлургия, 1982, 152 е., ил. 84.

2. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, 568с., ил.

3. Султангазин У. М., Шерышев В. П., Панкратова Н. Н. Численно-аналитическое решение задачи о распространении плоской электромагнитной волны в линейной слоистой среде на ферромагнитной подложке. Изв. АН КазССР. Сер. физ. -матем., 1982, Я 5, с. 32−36.

4. Султангазин У. М., Боль А. А., Шерышев В. П. Расчет температурного поля системы шихта-металл при индукционной наплавке. Изв. А Н Каз. ССР. Сер. физ. -матем., 1979, Jfc 5, с. 54−57.

5. Тихонов А. Н., Кулик Н. И., Шкляров И. Н., Гласко В. Б. О результатах математического моделирования одного процесса теплопроводности. Инж. -физ. журнал, 1980, т. 39, № I, с. 5−10.

6. Кулик Н. И., Гласко В. Б., Шкляров И. Н. Разработка методики и программы для расчета температурных полей в металлических образцах и их исследование с помощью ЭВМ. Отчет Jfc I, 1975.

7. Шкляров И. Н., Гласко В. Б., Кулик Н. И. Прогнозирование свойств отальных деталей после индукционной закалки моделированием процесса на ЭВМ. МиТОМ, № 9, 1980.

8. Гласко В. Б., Кулик Н. И., Шкляров И. Н. Об одном методерасчета температурных полей с использованием косвенной информации об источниках. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика, 1978, т. 19, № I, с. 36−43.

9. Гласко В. Б., Захаров М. В., Колп А. Я. О применении метода регуляризации к решению одной обратной задачи нелинейной теории теплопроводности. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, В 6, с. I607−1611.

10. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Кулик Н. И., Шкляров Н. Н. Об одной обратной задаче теплопроводности. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т. 19, $ 3, с. 768−774.

11. Гласко В. Б., Криксин Ю. А., Кулик Н. И., Трубецков М. К. Регуляризирующие операторы А. Н. Тихонова в некоторых некорректных задачах для дифференциальных уравнений. -Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, № 10, с. 1842--1850.

12. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Кулик Н. И. Об одном регуляри-зирующем алгоритме решения некоторых обратных задач теплопроводности. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ. Астрон., 1981, т. 22, № 4, с. 25−29.

13. Гласко В. Б., Булычев Е. В., Ильин М. Е., Кулик Н. И., Осипенко М. А. Изучение оптимальных режимов процессов термической обработки. Отчет $ 2, 1983.

14. Гласко В. Б., Захаров А. В., Ильин М. Е., Павещенко Ю. А. Об оптимизации равномерного нагрева металлических деталей при химико-термической обработке. Препринт ИПМатем. АН СССР. М., 1983, гё 45, 14 с.

15. Гласко В. Б., Ильин М. Е., Кондорская Е. Е. 0 единственности в некоторых обратных задачах теплопроводности и диффузии. Деп. в ВИНИТИ, 1983, № 2935−83 ДЕЛ.

16. Гласко В. Б., Ильин М. Е., Трубецков М. К. О возможности оптимизации равномерного подогрева крупногабаритных деталей в технологических процессах. Деп. в ВИНИТИ, 1983, № 2934−83 ДЕП.

17. Кулик Н. И. О математическом моделировании процесса индукционной закалки стальных цилиндрических образцов: Дис. на соискание уч. ст. канд. физ. -матем. наук. М.: Моск. гос. ун-т, 1980.

18. Манохин А. И. Получение однородной стали /теория и технология/. М.: Металлургия, 1978, 224 е., ил.

19. Вейник А. И. Теория затвердевания отливки. М.: Машгиз, I960, 435 е., ил.

20. Самойлович Ю. А. Формирование слитка. М.: Металлургия, 1977, 160 е., ил.

21. Бутковский А. Г., Малый С. А., Андреев Ю. Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972, 440 е., ил.

22. Козловский И. О. Химико-термическая обработка шестерен. М.: Машиностроение, 1970, 232 е., ил.

23. Химико-термическая обработка металлокерамических материалов. Под ред. О. В. Романа. Минск: Наука и техника, 1977, 270 е., ил.

24. Минкевич А. Н. Химико-термическая обработка металлов и сплавов. М.: Машиностроение, 1965, 491 е., т.

25. Шепеляковский К. З. Упрочнение деталей машин поверхностной закалкой при индукционном нагреве. М.: Машиностроение, 1972, 235 е., ил.

26. Реш В., Фиге I. Технология непрерывной разливки стали в Японии. Черные металлы, 1983, № 10, с. 3−7.

27. Латтес Р., Лионе Ж. -Д. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970, 335 с.

28. Музылев Н. В. 0 методе квазиобращения. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, т. 17, № 3, с. 556−561.

29. Атаманов Э. Р. Единственность и оценка устойчивости решения одной задачи для уравнения теплопроводности с подвижным датчиком. В кн.: Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978, с. 35−45.

30. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, 288 е., ил.

31. Азаркевич Н. Н. Определение температуры конца штамповки вытяжкой. В кн.: Контактные и циклические задачи теплопроводности. Куйбышев: КуАИ, КПтИ, 1977, вып. 2, с. Ю1−104.

32. Суворов И. К. Обработка металлов давлением. М.: Высшая школа, 1980, 364 е., ил.

33. Смирнов B.C. Теория прокатки. М.: Металлургия, 1967, 460 е., ил.

34. Целиков А. И., Томленов А. Д., Зюзин В. И., Третьяков А. В., Никитин Г. С. Теория прокатки. Справочник. М.: Металлургия, 1982, 335 с.

35. Научно-технический отчет по теме & quot-Промышленное освоение деталей, изготовленных из металла непрерывной разливки и их применение с целью внедрения в производство& quot-.1. М.: 1981.

36. Гласко В. Б., Кондорская Е. Е. Об определении положениятеплового источника по заданному температурному полю. -Вестн. Моск. ун-та. Сер. Физ. Астрон., 1982, № 1, с. 79−83.

37. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Обратная задача с неизвестным источником. Докл. АН СССР, 1979, т. 246, № 6, с. 1302−1304.

38. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Одна обратная задача с неизвестным источником. В кн.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980, с. 53−64.

39. Гласко В. Б., Кондорская Е. Е., Бидзинов Ш. М. К вопросу о единственности определения теплового источника по косвенным данным. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон., 1982, т. 23, J& 3, с. 12−15.

40. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977, 736 е., ил. 108.

41. Тихонов А. Н. Обратные задачи теплопроводности. Инж. -физ. журнал, 1975, т. 29, В I, с. 7−12.

42. Гласко В. Б., Захаров М. В., Колп А. Я. О восстановлении теплового потока к поверхности тела для нелинейного процесса теплопроводности на основе метода регуляризации. -Инж. -физ. журнал, 1975, т. 29, В I, с. 60−62.

43. Алифанов О. М. Регуляризирующие схемы решения обратных задач теплопроводности. Инж. -физ. журнал, 1973, т. 24, В 2, с. 324−333.

44. Алифанов О. М. Граничные обратные задачи теплопроводности. Инж. -физ. журнал, 1975, т. 29, № I, с. 13−25.

45. Мандельбройт С. Ряды Дирихле. Принципы и методы. М.: Мир, 1973, 171 с.

46. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974, 432 е., ил. 47.

47. Тихонов А. Н., Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970, 304 е., ил.

48. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975, 465 с.

49. Гласко В. Б., Кондорская Е. Е. К вопросу о построении ре-гуляризирующих по Тихонову алгоритмов для неодномерных обратных задач теплопроводности. Инж. -физ. журнал, 1982, т. 43, № 4, с. 631−637.

50. Соболев C.I. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. I.: Изд-во ЛГУ, 1950, 251 с.

51. Гласко В. Б., Кондорская Е. Е. 0 некоторых стабилизирующих по А. Н. Тихонову функционалах для многомерных некорректных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, Jfc 2, с. 301−306.

52. Тихонов А. Н., Гласко В. Б., Криксин Ю. А. К вопросу о квазиоптимальном выборе регуляризованного приближения Докл. АН СССР, 1979, т. 248, Я 3, с. 531−534.

53. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергоиздат, 1981, 417 е., ил.

54. Спэрроу Э. М., Сесс Р. Теплообмен излучением. М.: Энергия, 1971, 294 е., ил.

55. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983, 328 е., ил.

56. Мучник Г. Ф., Рубашев и.Б. Методы теории теплообмена. Часть I. Теплопроводность. М.: Высшая школа, 1970, 286 с., ил.

57. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983, 616 с., ил.

58. Березин И. О., Жидков Н. П. Методы вычислений. T.I. М.: Наука, 1966, 662 с.

59. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978, 592 е., ил.

60. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964, 487 е., ил.

61. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.З. М.: Наука, 1971, 528 е., ил. 283.

62. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967, 632 с., ил.

63. Соколовский B.C. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969, 608 е., ил. 340.

64. Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1980, 456 е., ил. 177.

65. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, 512 е., ил.

66. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1978, 534 е., ил.

67. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том первый. М. -Л.: ГТТИ, 1933 г., 525 е., ил.

68. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. Применение методов регуляризации в нелинейных задачах. -Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5, В 3, с. 463−473.

Заполнить форму текущей работой