Некоторые задачи термовибрационной конвекции в плоском и цилиндрическом слоях

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Механика
Страниц:
126


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2.1. Уравнения и граничные условия. 45

2.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи. 49

2.3. Линейная задача устойчивости. 56

2.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами. 61

2.5. Осесимметричное вторичное течение. 65

Заключение. 69

3. ТЕРМОВИБРАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Введение. 70

3.1. Уравнения и граничные условия. 75

3.2. Вибрации с круговой поляризацией. Постановка задачи. 82

3.3. Линейная задача устойчивости. 85

3.4. Приближение узкого зазора между цилиндрами. 88

3.5. Узкий зазор. Монотонная неустойчивость. 93

3.6. Узкий зазор. Колебательная неустойчивость. 96

3.7. Узкий зазор. Модельные граничные условия. 96

3.8. Узкий зазор. Численный линейный анализ. 98

3.9. Конечный зазор. Численный линейный анализ. 106

Заключение. 120

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. 121

НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

Рассматриваемая в этой главе задача относится к задачам классической вибрационной конвекции [1. 1]. Основными эффектами, определяющими поведение системы, здесь являются конвекция, возникающая в поле силы тяжести из-за разности температур между различными частями границы, и вибрационное воздействие, проявляющееся через осредненный перенос неоднородно нагретой жидкости пульсациями скорости.

Отличительной чертой классической виброконвекции служит учет зависимости плотности от температуры только в массовых силах, как это делается в приближении Буссинеска при изучении конвекции в отсутствие вибраций.

Базовым понятием в рассматриваемой области является механическое квазиравновесие — состояние, в котором элемент жидкости пульсирует с частотой вибраций вблизи определенного положения, но в среднем покоится. В такой ситуации, даже в отсутствие поля силы тяжести, неоднородность температурного поля может вызвать движение, поскольку имеется специфический механизм осредненного распространения возмущения от одного элемента жидкости к другому.

Цепочка, приводящая к возможности среднего движения, такова. Разные элементы жидкости имеют разную среднюю температуру. Из-за эффекта объемного расширения они имеют так же и разную плотность и, следовательно, разные вибрационные ускорения. Таким образом, и поле пульсаций скорости является неоднородным. Температура в фиксированной точке пульсирует, поскольку в разные моменты времени в ней находятся элементы жидкости разной температуры. Пульсации ускорения и температуры происходят в фазе, так что в среднем возникает эффективная архимедова сила, которая может заставить жидкость двигаться.

Исследования различных задач устойчивости квазиравновесия в отсутствие гравитации показывают, что порог неустойчивости может как понижаться, так и повышаться, — в зависимости от взаимной ориентации градиента температуры и оси вибраций. В некоторых случаях возможна и абсолютная стабилизация квазиравновесия.

В работе [1. 2] был сделан линейный анализ устойчивости для симметричных граничных условий: прилипания — для скорости, идеально теплопроводных и теплоизолированных — для температуры и различных взаимных ориентаций градиента температуры и оси вибраций. Независимо от взаимной ориентации обнаружена монотонная неустойчивость.

Несимметричные граничные условия для температуры, напротив, обычно приводят к колебательной неустойчивости квазиравновесия, что продемонстрировано в работе в работе [1. 3].

Продольные вибрации слоя с теплоизолированными границами приводят к появлению длинноволновой моды неустойчивости [1. 4].

Обширная литература так же посвящена проблемам взаимодействия термогравитационного и термовибрационного механизмов неустойчивости. Например, работе [1. 5] детально решены линейные задачи устойчивости квазиравновесий в наклонном слое жидкости для шестнадцати возможных комбинаций направлений градиента температуры и оси вибраций, каждый из которых имел одно из направлений: вертикальное, горизонтальное, продольное и перпендикулярное слою. Определены границы неустойчивости относительно плоских, спиральных и длинноволновых возмущений.

Результаты экспериментальных исследований вибрационной конвекции в горизонтальном плоском слое представлены в ряде работ среди которых упомянем [1. 6,1. 7]. Приведенные в цитируемых работах результаты опытов хорошо согласуются с теоретическими выводами относительно влияния термовибрационного механизма. Эксперименты проводились с различными жидкостями — дистиллированной водой, этиловым спиртом и трансформаторным маслом. Границы слоев делались из металла, так что обеспечивалось хорошее приближение к модели изотермических границ. Как свидетельствуют эксперименты, кризис теплопроводного режима в горизонтальном плоском слое, подверженном вибрациям, связан с образованием двумерных конвективных структур типа валов, с осями, перпендикулярными направлению вибраций. В случае продольных вибраций образование валов наблюдалось и при нагреве сверху, то есть при устойчивой стратификации по плотности. Тем самым, подтверждалось, что неустойчивость обусловлена термовибрационным эффектом. В случае поперечных вибраций основным качественным результатом являлась полная стабилизация равновесия при достаточно интенсивных вибрациях.

В ситуации, когда вибрации совершаются в направлении, параллельном градиенту температуры, основным состоянием жидкости является собственно равновесие, а не квазиравновесие. Жидкость вибрирует как целое в лабораторной системе отсчета и покоится в системе отсчета, связанной с сосудом, в котором она находится (предполагается, что таковой должен быть, чтобы заставить жидкость вибрировать). Если возмущения температуры малы и градиент температуры в первом приближении можно считать параллельным направлению вибраций, то термовибрационный механизм оказывает стабилизирующее влияние. Достаточно сильные вибрации способны стабилизировать равновесие, что и наблюдалось в упомянутых выше экспериментах. При умеренных вибрациях, с увеличением числа Рэлея равновесие может стать неустойчивым, и в жидкости может установиться вторичное течение. Понятно, что это течение уже существенным образом исказит линейный профиль, имевшийся в состоянии равновесия, поле градиента температуры станет неоднородным и влияние термовибрационного механизма будет зависеть от структуры самого течения. Более того, если установившееся течение окажется нестационарным, например, периодическим, то в разные моменты времени влияние будет разным. Таким образом, при изучении вторичных течений в задачах с параллельными равновесным градиентом температуры и осью вибраций следует ожидать нетривиальных нелинейных режимов.

Для описания сильно нелинейных режимов течения существует множество подходов. В случае двумерных течений основными альтернативами являются сеточный метод и метод Галеркина. Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Поскольку в данном случае преимущества одного проявляют недостатки другого, ограничимся преимуществами каждого.

Первый метод удобен для детального выяснения структуры течения, нахождения стационарных решений, переходных режимов между ними [1. 8]. Второй метод обычно ассоциируется с маломодовыми моделями, которые лишь качественным образом описывают состояния системы, зато позволяют понять причины бифуркаций, их последовательности, ведущие от порядка к хаосу (иногда обратно) [1. 9].

Однако, в последнее время возрос интерес к изучению многомодовых систем, естественным образом сочетающих точность прямого численного метода и понятийный аппарат теории динамических систем.

К пионерским работам такого рода можно отнести исследование [1. 10]. В этой работе было изучено влияние высокочастотных вибраций на нелинейные режимы термогравитационной конвекции в замкнутой области, подогреваемой снизу. Рассматривалась двумерная постановка задачи, область имела квадратное сечение. Все границы полагались твердыми- на нижней и верхней поддерживались постоянные температуры, на боковых стенках — равновесное (линейное) распределение. В качестве безразмерных параметров были выбраны число Рэлея, вибрационное число Рэлея и число Прандтля. Основное внимание уделялось определению возможных вторичных течений и областей их устойчивости. Задача решалась методом Галеркина с базисными функциями, составленными из полиномов Чебышева. В конечном счете, задача была сведена к отысканию стационарных состояний динамической системы, каждое уравнение которой описывало динамику вклада определенной составляющей вторичного течения в общую картину. Вычисления производились для чисел Прандтля 0. 02, 1.0 и 15.0. В общей сложности было обнаружено четыре качественно различных нетривиальных режима вибрационной конвекции, их можно классифицировать по симметрии, которой они обладают: инверсионная (точечная), отражения в горизонтальной плоскости, проходящей через центр квадрата, отражения в вертикальной плоскости, проходящей через центр квадрата, и несимметричное. При всех исследованных значениях числа Прандтля присутствуют области устойчивости решений первых двух типов, вторая пара решений становится устойчивой при числах Прандтля, больших единицы. Области устойчивости различных решений перекрываются, что заведомо приводит к зависимости решений от начальных условий.

В этой главе будут рассматриваться нелинейные режимы вибрационной конвекции в горизонтальном слое со свободными недеформируемыми границами под действием вертикальных вибраций (поскольку ось вибраций параллельна силе тяжести можно говорить о модуляции силы тяжести). Классическая геометрия задачи позволяет легко найти основное решение — равновесие, состояние в котором устанавливается линейное распределение температуры между границами слоя и жидкость покоится в системе координат, связанной со слоем. Известны также результаты линейного анализа устойчивости основного решения [1. 20] и результаты нелинейного анализа на основе простейшей трехмодо-вой модели, полученной из уравнений вибрационной конвекции методом Га-леркина [1. 18].

В последнем случае исследовалась картина бифуркаций, происходящих в системе при изменении управляющих параметров, в частности, возможные сценарии усложнения поведения: от тривиального решения, равновесия, до стохастических режимов.

Данная работа возникла из желания проверить, какие из обнаруженных ранее бифуркационных переходов & quot-выживут"- при увеличении числа рассматриваемых мод. При этом предполагалось, что такое увеличение должно приближать получаемые результаты к решениям системы частных дифференциальных уравнений вибрационной конвекции.

Для наиболее последовательного решения этой задачи необходимо реализовать схему построения динамической системы произвольной размерности. Тогда, рассматривая системы с возрастающим числом мод, можно надеяться, что получаемые при этом бифуркационные диаграммы будут сходиться.

Дальнейшее изложение организовано следующим образом. В первом разделе приводится постановка задачи, обсуждается выбор безразмерных параметров. Во втором разделе определяется симметрия решений, которые будут рассматриваться, и описывается применение галеркинской процедуры. В третьем разделе, в целях дальнейшего сравнения с результатами исследования многомодо-вой системы, воспроизводится картина бифуркаций стационарных состояний для триплета [1. 18]. В четвертом анализируются общие свойства бесконечномерной динамической системы и производится линейный анализ устойчивости состояния равновесия. В пятом, шестом и седьмом разделах описываются схема численного исследования многомодовой системы и полученная на ее основе диаграмма бифуркаций стационарных состояний.

1.1 Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный плоский слой жидкости, подогреваемый снизу. Слой находится в поле силы тяжести и совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. Будем полагать, что частота колебаний со много больше, чем характерные гидродинамические частоты: (й «v/h2» h2 (h — толщина слоя, %- теплопроводность жидкости, v = ri/p0- кинематическая вязкость, определенная по динамической вязкости г|и характерной плотности жидкости р0). Амплитуду колебаний, а будем считать малой по сравнению с характерным размером задачи Ъ: а & laquo-И.

Будем также полагать, что жидкость изотермически несжимаема, что можно делать, если характерный размер задачи мал по сравнению с длиной звуковой волны:

Будем далее считать границы слоя свободными и недеформируемыми. Это, в частности, означает, что в отсутствии нагрева жидкость двигалась бы как твердое тело в лабораторной системе координат и покоилась бы в системе координат, связанной со слоем. Таким образом, в данной постановке неоднородность пульсационного поля скорости возникает только из-за неизотермичности, то есть имеет место классическая вибрационная конвекция [1. 11].

Предположения, сделанные выше, дают возможность различать два характерных временных масштаба: осцилляционный (1/ш) и диссипативный (к2 / гили к2 /%). Это позволяет выделить осциллирующие и осредненные составляющие динамических переменных, описывающих движение жидкости, и, используя метод многих масштабов, получить уравнения для осредненных полей.

Уравнения вибрационной конвекции записываются для осредненных и пуль-сационных полей, в системе координат, связанной со слоем. Они описывают движение жидкости в сосуде, совершающем высокочастотные поступательные вибрации, и имеют следующий вид [1. 12]: й, +(й-У)и = -Ур/р0 +уА й + & sect-рт +

1.1. 1)

V • Я = О,

Ух й = УГ х п,

Т (+(й-У)Т = ХАТ, где введены следующие обозначения:

1.1. 2)

1.1. 3)

1.1. 4)

1.1. 5) й, р, Т — осредненные поля скорости, давления и температуры соответственно-

Й- соленоидальная часть поля Тп, пропорциональная амплитуде пульсаци-онной составляющей скорости- п — единичный вектор, задающий направление вибраций-

3 — коэффициент температурного расширения- вектор ускорения свободного падения.

Выберем в качестве единиц измерения длины -к, времени — к2 / %, скорости — %/к, давления — р%2 /к2, температуры — & reg-/Яа, где (c) — разность температур между нижней и верхней границами слоя, & Яа = g$®k2 / - число Рэлея. В безразмерной форме уравнения (1.1. 1−1.1. 5) примут вид (для безразмерных переменных сохраняем прежние обозначения): и,+(й-У)и = -Ур + РгАи + РгТу + ' { 7 у г (1.1. 6)

У-м = 0, (1.1. 7)

У-й = 0, (1.1. 8)

V хй = УГхй, (1.1. 9)

Т (+(й-У)Т = АТ (1.1. 10)

В системе (1.1. 6−1.1. 10) кроме числа Рэлея присутствуют еще два безразмер /2 Л2 .2 ных параметра: Рг = > /%- число Прандтля и ?> = & mdash-Рг 2 асо V у у — вибрацией к онный параметр. Ограничим рассмотрение двумерными движениями и поместим декартову систему координат (х, г) в вертикальном сечении слоя, направив ось х вдоль слоя (рис. 1). I л х

Т=0

Рис. 1.1. Геометрия задачи

Сформулируем граничные условия для уравнений (1.1. 6−1.1. 10). Поскольку границы предполагаются свободными и недеформируемыми, на осредненную скорость необходимо наложить условия непротекания и отсутствия касательных напряжений. Амплитуда пульсационной составляющей, входит в уравнения под знаком первой производной, так что для нее достаточно поставить одно условие — непротекания. Температура на границах поддерживается постоянной. Таким образом, приходим к следующим граничным условиям:

Т1−0=*& quot->- Т1=1=0& gt- (1ЛЛ2) где вектора осредненной скорости и амплитуды пульсаций скорости (#) расписаны покомпонентно: й = (их, и2), м& gt- = (м?х, м> 2). Здесь и далее для обозначения частных производных мы используем обозначения: — = дх,~ = д2, — = д1. дх дг

Задача (1.1. 6−1.1. 10) вместе с граничными условиями (1.1. 11−1.1. 12) допускает стационарное решение, отвечающее механическому равновесию (теплопроводному режиму): и0= 0, (1.1. 13) и& gt-0=0, (1.1. 14)

Т0 =Яа (-г), (1.1. 15) р0 =Яа (2-г2 /2) (1.1. 16)

Сформулируем задачу устойчивости равновесия в терминах функций тока. Для этого определим возмущения основного решения: их=~д2цг, и2=дху, (1.1. 17) м>х -~Кад2ц>, ы2 =Кадх (р, (1.1. 18)

Г = Г0+3 (1.1. 19)

Подставляя выражения (1.1. 17−1.1. 19) в уравнения (1.1. 6−1.1. 10) и исключая давление, приходим к следующей нелинейной постановке задачи о возмущениях равновесного состояния: а, Д|/ + J (\fЛцf) = РгОКа^(дх ($> ,&) — РгОКа2д2ху + Рг11адх& + сА2 |/ (1−1. 20) = + (1.1. 21) = (1.1. 22) где использовано обозначение: 3(а, Ь) = (дха)(д2Ь)-(дхЬ)(д2а). Граничные условия (1.1. 11−1.1. 12) в терминах функций тока принимают следующий вид:

1.0., =°> П. 1. 24)

Обсудим некоторые свойства системы (1.1. 20−1.1. 24). Прежде всего, отметим, что уравнения, которые будут изучаться, содержат как частный случай при И = 0 (в отсутствие вибраций), хорошо изученные уравнения двумерной конвекции Рэлея-Бенара [1. 13]. Это позволяет производить эффективное сравнение результатов. Кроме того, для задачи Рэлея-Бенара хорошо известны диапазоны параметров, в которых конвективное движение остается двумерным [1. 14]. Исследования будут производиться именно в этой области параметров, без захода за границы устойчивости двумерной конвекции.

Во-вторых, отметим, что существует несколько способов обезразмеривания системы (1.1. 1−1.1. 5). Выбор, сделанный нами, основан на двух обстоятельствах.

Первое: при таком способе переменные, описывающие конвекцию Рэлея-Бенара, в широком диапазоне демонстрируют слабую зависимость от числа Прандтля и, напротив, чувствительны к изменению числа Рэлея. На этом основании дальнейшее изложение, в основном, ведется для фиксированного значения числа Прандтля (Рг = 6. 8).

Второе: даже в рамках выбранных единиц измерения остается свобода в выборе безразмерного параметра, содержащего характеристики вибраций, амплитуду и частоту. Легко видеть, что вибрационный параметр И везде входит в уравнения вместе с квадратом числа Рэлея. Это означает, что вместо пары параметров (В, Яа) можно использовать пару (, Яа), где

Ка = Яа2 В = вибрационное число Рэлея. Однако такой выбор смешивает вибрационное и тепловое воздействие на систему, поэтому интерпретация собственно вибрационного влияния становится затруднительной.

Заключение

В третьей главе:

— исследовано влияние пульсационного транспорта и вибрационной силы на осредненное течение вязкой слабо неизотермической жидкости в зазоре между двумя бесконечными цилиндрами с разными температурами, из которых внешний покоится, а внутренний совершает вибрации с круговой поляризацией без смены ориентации-

— численно решена линейная задача устойчивости основного среднего течения, генерируемого шлихтинговским механизмом,

— определены опасные значения параметров и тип соответствующих возмущений-

— в пределе узкого зазора между цилиндрами детально исследованы механизмы, порождающие монотонную и колебательную неустойчивости, получены асимптотические оценки характеристик опасных возмущений.

В качестве перспектив дальнейшего исследования отметим следующие задачи:

— слабонелинейный анализ вблизи порога неустойчивости основного решения, в отличие от изотермической постановки второй главы следует ожидать нетривиальных бифуркационных переходов, сопровождаемых сменой типа неустойчивости)

— исследование трехмерных (неосесимметричных) вторичных течений.

ПоказатьСвернуть

Содержание

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В

ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

1.1. Постановка задачи.

1.2. Галеркинская процедура.

1.3. Результаты для триплета.

1.4. Общие свойства многомодовой модели.

1.5. Схема численного анализа многомодовой модели.

1.6. Результаты численного анализа многомодовой модели.

1.7. Анализ двух бифуркаций коразмерности 2.

Список литературы

1. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибраций высокой частоты на порог зарождения конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, 5, с. 51−55

2. Gershuni G.Z., Zhuhovitskii Е.М., 1981, Convective instability of a fluid in a vibrational field under conditions of weightlessness, Fluid Dyn., 16, pp. 498−504

3. Braverman L., Oron A., 1994, On the oscillatory instability of a fluid layer in a high frequency vibrational field in weightlessness, Eur.J. Mech., B/Fluids, 13, 115 128.

4. Крылов Д. Г. Конвективная неустойчивость слоя жидкости в вибрационном поле для общего случая температурных граничных условий. Конвективные течения, ПЛИ, Пермь, 1991.

5. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholantsev I.V. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer// Int. J. Heat Mass Transfer, 1996, v. 39, № 9, pp. 1979−1991.

6. Заварыкин М. П., Зорин C.B., Путин Г. Ф. Экспериментальное исследование вибрационной тепловой конвекции. III, Всесоюзный семинар по гидромеханике и тепло-массообмену в невесомости. Тезисы. Черноголовка, 1984, с. 34−36.

7. Заварыкин М. П., Зорин С. В., Путин Г. Ф. О термоконвективной неустойчивости в вибрационном поле. Доклады А Н СССР, 1988, 299(2), с. 309 312

8. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Издательство Иркутского университета. 1990.

9. Шустер Детерминированный хаос. М. Мир, 1988.

10. Гельфгат А. Ю. Развитие и неустойчивость стационарных конвективных течении в квадратной области, подогреваемой снизу в поле вертикальных вибраций. Известия А Н СССР, МЖГ, 1991,2, с. 9−18

11. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur.J. Mech, B/Fluids. 1995, Vol. 14, pp. 439−458.

12. Гершуни Г. З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989, с. 109−118.

13. Veronis G. Large-amplitude Benard convection//J. Fluid. Mech. 1966. Vol. 26. P. 49−68.

14. Curry J.H., Hering J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order and disorder in two-and three-dimensional Benard convection// J. FluidMech. 1984. Vol. 147. P. 1−38.

15. Clever R.M., Busse F.H. Transition to time-dependent convection// J. FluidMech. 1974. Vol. 65, part 4. P. 625−645.

16. Rucklidge A.M. Chaos in magnetoconvection// Nonlinearity. Vol. 7. 1994. P. 1565−1591.

17. Rucklidge A.M., Matthews P.C. Analysis of the shearing instability in nonlinear convection and magnetoconvection// Nonlinearity. Vol. 9. 1996. P. 311−351

18. Закс M.A., Любимов Д. В., Чернатынский В. И. О влиянии вибрации на режимы надкритической конвекции// Известия А Н СССР. ФАО. 1982. С. 312 314

19. Lyubimov D.V., Zaks М.А. Two Mechanisms of Transition to Chaos in Finite-Dimensional Models of Convection// Physica 9D. 1983. P. 52−64.

20. Гершуни Г. З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972.

21. Вольфсон Д. Н. Дипломная работа. Руководитель: Любимов Д. В. Перм. ун-т. 1994.

22. McLaughlin J.B., Orszag S.A. Transition from periodic to chaotic thermal convection//J. FluidMech. 1982. Vol 122. P. 123−142.

23. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука. 1984. С. 21

24. Moore D.R., Weiss N.O. Two-dimensional Rayleigh-Benard convection// J. FluidMech. 1973. Vol 58. P. 289−312.

25. Numerical Recipes in Fortran 77. Section 9. http: //nr. harvard. edu/nr/

26. Programm CONLES. http: //gams. nist. gov

27. Kubichek M., Marek M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag. 1983.

28. Rheinboldt W.C., John Burkardt. DPCON, 6.1. The University of Pittsburgh, USA, 1991.

29. Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag. New York. 1995.

30. Kuznetsov Y. Explicit normal form coefficients for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODEs// Report MAS-R9730. October 31. 1997.

31. Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques. Ed. John Wiley & Sons. 1981.

32. Арнольд В. И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления// ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С. 31−35.1. К главе 2

33. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves. // Trans. Camb. Phil. Soc., 1847, 8, pp. 441−455.

34. Schlichting H. Berechnung ebener periodisher Grenzschichtstromungen// Phys. Z., 33(1932), p. 327

35. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves// Phil. Trans. Roy. Soc., London, 1953, Vol. 245, pp. 545−581.

36. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in the boundary layer at a free oscillatory surface// J. Fluid. Mech., 1960, 8, pp. 293−306

37. Schlichting, H. Boundary Layer Theory, McGraw Hill, 6th edn, 1966. pp. 441 445.

38. Гершуни Г. З., Жуховицкий E.M. О параметрическом возбуждении конвективной устойчивости// ПММ, 1963, 27 N5, 779

39. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибраций высокой частоты на возникновение конвекции// Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, N5, с. 65

40. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M. Vibration-Induced Thermal Convection in Weightlessness//Fluid Mech. Soviet Res., 1986, 15, pp. 95−119.

41. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur. J. Mech., B/Fluids, 1995, 14(4), pp. 439−458

42. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, p. 254.

43. Nayfeh A.H. Introduction to Perturbation Techniques. Wiley, New York, 1981.

44. Batchelor G.K., An Introduction to Fluid Dynamics. Cambrige University Press, 1970.

45. G. loss, M. Adelmeyer. Topics in Bifurcation Theory and Applications. World Scientific, 1992. P 91.

46. Brenier В., Bontoux P., Roux В., 1986, Comparaison des methodes Tau-Chebyshev et Galerkin dans l’etude de stabilite des mouvement de convection naturelle. Problemes des valeurs propres parasites// J. Mec. Th. et Appl., 5, pp. 95 119.

47. Nagata M. Bifurcations in Couette flow between almost co-rotating cylinders// J. Fluid. Mech., 1986, 188, 585−598.

48. Reid W.H., Harris D.L. Streamlines in Benard convection cells// Phys Fluids, 1959, 2,716−726

49. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Vibrational Flows in the Gap Between Two Infinite Cylinders// Eur. J. Mech., 1997, B/Fluids, 16, N5, pp. 705−724.

50. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Roux В., Volfson D.N. Stability of Couette-Taylor Flow Generated by the Schlichting Mechanism. 10th International Couette-Taylor Workshop. Paris, France. 1997. pp. 113−1151. К главе 3

51. Козлов В. Г. О вибрационной тепловой конвекции в сосуде совершающем высокочастотные качательные вибрации// Известия А Н СССР, МЖГ, 1988, 3, с. 138−144

52. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Ру Б., Черепанов А. А. Течение, индуцированное колеблющейся нагретой сферой//МЖГ, 1,1996, с. 31−39

53. Lyubimov D.V., Lyubimova Т.Р., Roux В. Mechanisms of vibrational control of heat transfer in a liquid bridge// Int. J. Heat Mass Transfer. 1997, Vol. 40, pp. 4031−4042.

54. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, pp. 322−331

55. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, p. 254

56. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high frequency vibrations// Eur. J. Mech., B/Fluids, 1995, 14(4), pp. 439−458

57. Schlichting, H. Boundary Layer Theory, McGraw Hill, 6th edn, 1966. pp. 441 445.

58. Batchelor G.K., An Introduction to Fluid Dynamics. Cambrige University Press, 1970.

59. G.Z. Gershuni & D.V. Lyubimov, Thermal Vibrational Convection. John Wiley & Sons, 1998, pp. 261−292

60. Brenier В., Bontoux P., Roux В., 1986, Comparaison des methodes Tau-Chebyshev et Galerkin dans l’etude de stabilite des mouvement de convectionnaturelle. Problemes des valeurs propres parasites// J. Mec. Th. et Appi, 5, pp. 95 119.

61. G. loss, M. Adelmeyer. Topics in Bifurcation Theory and Applications. World Scientific, 1992. P 91.

62. Kubichek M., Marek M. Computational Methods in Bifurcation Theory and Dissipative Structures. Springer-Verlag. 1983.

63. Rheinboldt W.C., John Burkardt. DPCON, 6.1. The University of Pittsburgh, USA, 1991.

64. Г. З. Гершуни, E.M. Жуховицкий. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. M. Наука, 1972. С. 221

65. D.A. Nield. The THermohaline Rayleigh-Jeffreys Problem// J. Fluid. Mech. 1967, Vol. 29, part 3, pp. 545−558.

Заполнить форму текущей работой