Неравномерные усреднения в эргодической теореме

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
58


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Центральное место в эргодической теории занимает хорошо известная теорема Биркгофа-Хиичина, которая состоит в следующем. Для всякой интегрируемой функции / на измеримом пространстве X с конечной мерой, инвариантной относительно полугруппы Tt измеримых преобразований X, существует конечный предел средних при Т -> +оо для почти всех х 6 X. Индивидуальная эргодичсская теорема была установлена Г. Биркгофом1 в 1931 году для более специального случая динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений па гладких многообразиях. Аналогичное утверждение, сформулированное в терминах унитарных операторов, сопряженных с динамической системой, было получено Дж. Нейманом2. В отличие от теоремы Г. Бирхгофа, в эргодической теореме Дж. Неймана речь идет о сходимости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости почти всюду.

В 2003 году В. В. Козловым и Д. В. Трещевым была представлена новая форма эргодических теорем Г. Биркгофа и Дж. Неймана (см. работы3'4). Ими было установлено, что для всякой вероятностной меры v на [0, +оо) с плотностью относительно меры Лебега и всякой ограниченной измеримой функции / на измеримом пространстве X средние

1Birkhoff G.D. Proof of the enjodic theorem. Pioc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1931. V. 17, N. 12. P. G5G-GG0.

Neumann J.V. Proof of the quasi-ergodic hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sci. 1932. V. 18, N. 1. P. 70−82.Kozlov V.V., Treschev D.V. On new forms of the crgodic theorem. J. Dynam. Contiol Syst. 2003. V. 9, N 3. P. 449−453.

Козлов В.В., Трещев Д. В. Эволюция мер в фазовом пространстве нелинейных гамилътоновых систем. Теор. и матем. физ. 2003. Т. 136, N 3. С. 49G-50G. при Т -> +оо сходятся к тому же пределу, что и средние из теоремы Бирхгофа-Хинчина. В первой главе диссертации продолжено изучение этого вида усреднений. Здесь выяснено, что для неограниченных функций / это утверждение теряет силу, однако при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и плотности меры и имеются положительные результаты. Также здесь введены некоторые новые объекты, связанные с указанными усреднениями, приводящие к вопросу о слабой сходимости мер на фазовом пространстве.

Среди различных обобщений индивидуальной эргодической теоремы следует особо выделить классический результат Н. Винера и А. Винтне-ра (см. работы0'6 и монографию И. Ассани7). С середины прошлого века возникло целое направление развития весовых эргодических теорем, современное изложение этих результатов дано в монографиях У. Кренгеля8 и К. Петерсена9 (см., также работу А. Белов и В. Лозерт10).

Идеи теории полугрупп оказались весьма плодотворными при изучении марковских процессов. Эргодическая теория таких процессов впервые изложена в монографии Дж. Дуба11. Современное развитие этой теории изложено в работах А.В. Скорохода12 и X. Куниты13.

В диссертационной работе рассматривается аналог эргодической теоремы в форме Козлова-Трещева для диффузий. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.

Рассматривая эргодическую теорему в новой форме, предложенной В. В. Козловым и Д. В. Трещевым, следует упомянуть о другого рода

Wiener N., Wintrier A. On the ergodic dynamics of almost periodic systems. Amer. J. Math. 1941. V. G3. P. 794−824.

Wiener N., YVintner A. Harmonic analysis and ergodic theory. J. Math. Phys. 1939. V. G3. P. 415−426.

Assani I. Wiener Wintner ergodic theorems. World Scientific, Singapoie, 2003.

Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin, 1985.

Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1983. l^Below A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the Individual ergodic theorem along subsequences. Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 288, N 1. P. 307−345.

Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ. 195G

1 9

Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Наукова Думка, Киев, 1987

Kunita II. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge University Press, 1990. обобщениях, полученных сравнительно недавно. Речь идет о проблеме унификации мартингальных и эргодических средних. Задача изучения их общего поведения ставилась и обсуждалась в работе С. Какутани14 и упомянутой выше монографии Дж. Дуба. С тех пор было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, однако в 1998 году А.Г. Качуровским10 была предложена дискретная мартингально-эргоди-ческая теорема, содержащая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, дающая унифицирующую структуру и унифицированную формулировку теорем сходимости мартингалов и эргодических средних. Аналог этой теоремы для непрерывного случая рассмотрен в работе16.

Цель работы. Исследовать сходимость неравномерных эргодических средних в форме Козлова-Трещева для неограниченных функций. Исследовать слабую сходимость мер, соответствующих этим усреднениям. Обобщить теорему Козлова-Трещева на случай операторных полугрупп и диффузий.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана поточечная эргодическая теорема в форме Козлова-Трещева с вероятностной плотностью q для неограниченных функций / при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и д. Построен пример, показывающий, что отказаться от дополнительных условий нельзя.

2. Доказана слабая сходимость семейства мер, порожденных усреднениями в форме Козлова-Трещева, на вполне регулярных пространствах с метризуемыми компактами. Установлена равномерная плотность указанного семейства мер на суслинских пространствах.

14Kakutani S. Ergodic theory. Proc. Int. Congr. of Math. 1950. V. 2. P. 128−142

Качуровский А.Г. Мартингалъно-эргодическая теорема. Мат. заметки, 1998. V. G4, N. 2. С. 311−314

Подвигин И.В. Мартингально-эргодические и эргодико-мартингалыше процессы с непрерывным временем. Матем. сб., 2009. V. 200, N. 5 С. 55−70

3. Доказано обобщение теоремы Козлова-Трещева для усреднений с операторной полугруппой и получена максимальная оценка для неравномерных средних в LP. Установлена поточечная теорема сходимости эр-годических средних в форме Козлова-Трещева и слабая сходимость связанных с ними семейств мер для случая диффузионных процессов. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полугруппового свойства по времени.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, эргодической теории, элементы теории стохастических процессов, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, теории вероятностей и теории динамических систем.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре & bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика& quot- под руководством В.И. Бо-гачева, Н. А. Толмачева и С. В. Шапошникова (2004−2009 гг.), на международном семинаре & bdquo-Бесконечномерный стохастический анализ& quot- в университете города Билефельда (Германия, 2005−2008 гг.), на семинаре в университете города Лулео (Швеция, 2010 г.) и на международной конференции & bdquo-Стохастический анализ и случайные динамические системы& quot-, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова (Львов, Украина, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора (две из них в соавторстве), из них 4 в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [32]- [34] из перечня ВАК- сообщения сделаны в работах [35], [36]. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих б параграфов, и списка литературы из 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

ПоказатьСвернуть

Содержание

ГЛАВА 1. Усреднения в форме Козлова-Трещева.

1.1. Примеры.

1.2. Слабая сходимость мер

1.3. Сходимость для функций из пространства Орлича и из

ГЛАВА 2. Усреднения для операторных полугрупп и стохастических уравнений.

2.1. Неравномерные усреднения для операторных полугрупп

2.2. Неравномерные усреднения для стохастических потоков

2.3. Сходимость в If и теорема Винера-Винтнера.

Заполнить форму текущей работой