Об автомодельных решениях интегральных уравнений теории конвекции над точечным источником тепла

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
83


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Настоящее исследование связано с построением точных автомодельных решений интегральных уравнений теории конвекции Буссинеска, соответствующих струйным конвективным течениям над точечным источником тепла в нейтральной и устойчиво стратифицированной среде. Рассмотренная задача представляет прикладной интерес, как для расчета распространения примесей, сопутствующих развитию конвективной струи, так и для независимого определения мощности источника тепла по наблюдениям в атмосфере.

В естественно-природных условиях конвективные струи наблюдаются как в атмосфере — над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами и при извержении вулканов, так и в водной среде — при таянии льда в пресной и океанической воде. Конвективные струи в атмосфере, имеющие естественное происхождение, подразделяют на & laquo-спонтанные»- и & laquo-вынужденные»-, см. Гутман Л. Н. (1969). & laquo-Спонтанные»- конвективные струи зарождаются в неустойчивом однородном приземном слое атмосферы при нагревании подстилающей поверхности солнечными лучами. Существенно, что, & quot-спонтанные"- струи черпают энергию из неустойчивого приземного слоя, поэтому поток тепла в них стремится к нулю при приближении к подстилающей поверхности. & laquo-Вынужденные»- конвективные струи возникают в ситуациях, когда подстилающая поверхность носит существенно неоднородный характер. При этом определенные участки земли нагреваются значительно сильнее своего окружения, порождая над собой восходящие струйные движения. Существенно, что & quot-вынужденные"- конвективные струи черпают энергию из внешнего источника тепла, поэтому поток тепла в них при приближении к подстилающей поверхности стремится к некоторому положительному значению. Подобные струи наблюдаются над каменистыми участками пустыни, асфальтированными дорогами, проложенными по степи и т. д.

Вынужденные& raquo- конвективные струи в водной и воздушной среде могут иметь не только естественное, но и искусственное происхождение. Известно, что некоторые типы повреждений подводных газопроводов сопровождаются дозвуковыми утечками природного газа Чисхолм Д. (1986) — Сафонов B.C., Одишария Г. Э., Швыряев А. А. (1996). Существенно, что в окрестности повреждений образуется облако, состоящее из множества мелких пузырьков, подъем которых на поверхность определяется действием архимедовых сил. Поэтому описание & laquo-пузырькового режима& raquo- утечки газоконденсата может быть реализовано в рамках теории нестационарных конвективных струй. Другим примером реализации плавучей струи в водной среде служит локальный выброс на поверхность водоема более тяжелой жидкости. & laquo-Вынужденные»- искусственные струи в атмосфере, как правило, связаны с промышленными тепловыми источниками, типа коллекторов сгорания, и часто сопровождаются выбросами пассивных примесей, позволяющих визуализировать струю.

Гидродинамическое описание струйных течений в атмосфере может быть реализовано в рамках общих уравнений газовой динамики. Однако, полная система уравнений газовой динамики применима для описания очень широкого класса физических явлений. В частности, эти уравнения позволяют рассчитывать звуковые волны. Очевидно, что вклад звуковых волн в сравнительно медленное движение конвективной тепловой струи ничтожно мал, поэтому фильтрация звуковых волн кажется физически естественной.

В теоретических работах по динамическому распространению струйных течений традиционно используются приближенные уравнения, практически идентичные системе уравнений Буссинеска Boussinesq J.K. (1903). Эти уравнения были предложены для описания конвективных движений в несжимаемых жидкостях. Однако термодинамические свойства газа и жидкости существенно различны, поэтому вопрос о применимости системы уравнений Буссинеска для конвективных процессов в идеальном газе, т. е. классической модели атмосферного воздуха, требовал дополнительного обоснования. Эти исследования были проведены в работах Spiegel Е. A., Veronis G. А. {I960), Ogura Y., Phillips N.А. (1962), Asai, Naka-sujil (1970).

Система уравнений Буссинеска рассматривает движение, происходящее на фоне покоящегося слоя атмосферы, с произвольным профилем фоновой температуры. Эта система уравнений не содержит звуковых волн, при соответствующих граничных условиях обладает интегралами сохранения импульса, вихря, энтропии, энергии и квадратичной энергии, но применима только к тонкому слою атмосферы толщиной порядка 2 км.

Для описания движений в более мощных слоях атмосферы порядка 10 км в работах Batchellor G. К. (1953), Ogura Y, Phillips N.A. (1962), Dut-ton J., Fitchl G. (1969), Gough D. O. (1969), Wilhelmson R. В., Ogura Y. (1972), были предложены несколько вариантов систем уравнений, учитывающих фоновую сжимаемость воздуха, каждая из которых фильтрует акустические волны, а в тонком слое атмосферы либо идентична системе уравнений Буссинеска, см. работы Button J., Fitchl G. (1969), Gough D. O. (1969), Wilhelmson R. В., Ogura Y. (1972), Вулъфсон A. H. (1981), либо сводится к ней с помощью замены переменных, подробнее см. работы Batchellor G. К. (1953), Ogura Y., Phillips N.A. (1962). Системы уравнений глубокой конвекции нашли широкое применение при описании высокотемпературных конвективных струй.

Аналитические методы исследования нелинейных уравнений конвекции используются в задачах со специально заданными начальными и граничными условиями. Частные решения различных задач проникающей конвекции рассмотрено в работах Малъбахов В. М. (1972), Кио Н. L., San W.J. (1976), Овсянников J1.B. (1979) Малъбахов В. М., Гимелъштейн С. Ф. (1989).

Мощным практическим инструментом исследования уравнений конвекции являются численные методы. Особо следует упомянуть ставшие классическими работы Ogura Y., Charney J. G. (1960) — Lax P.- WendroffB. (1960) — ПрессманД. Я. (1965) — Марчук Г. И. (1967, 1982), Lilly D.K. (1964, 1969) — Рихтмайер Р., Мортон К. (1972) — Годунов С. К., Рябенький B.C. (1972).

Современные экономичные схемы решения уравнений Буссинеска изложены в работах Ogura Y, Takahashy Т. (1973), Пастушков Р. С. (1973), Пушистое П. Ю. (1980), Пушистое П. Ю. и др. (1980, 1988), Киселъникова В. З., Пекелис Е. М., ПрессманД. Я. (1981) — Ogura Y. (1985), Гостинцев Ю. А., Солодовник А. Ф. (1987) — Махвиладзе Г. М., Якуш С. Е. (1990) — Андру-щенко В. А., Шевелев Ю. Д. (1997 а, б).

Современное численное моделирование невозможно без сопоставления с лабораторными и натурными экспериментами. Сопоставления такого рода были выполнены в работах Васкевич Л. А., Пушистое П. И. (1988), Кононеко С. М., Малъбахов В. М. (1986) — Гостинцев Ю. А., Солодовник А. Ф. (1987) — Махвиладзе Г. М., Мелихов О. М., Якуш С. Е: (1989).

Экспериментальные методы исследования проникающей конвекции обстоятельно изложены в лабораторных экспериментах Тарасов В. Ф., Якушев В. И. (1974), Oshima Y. Asaka S. (1977), Заславский Б. И (1982) — Заславский Б. И., Юрьев Б. В. (1987) — Заславский Б. И., Щербаков И. С., Юрьев Б. В. (1997).

Влияние проникающей конвекции на крупномасштабные атмосферные процессы пограничного слоя атмосферы и средней тропосферы исследовалось в работах Кононеко С. М., Малъбахов В. М. (1978) — Пушистое П. Ю., Малъбахов В. М., Кононенко С. М. (1984) — Пушистое П. Ю., Малъбахов В. М., Васкевич Л. А. (1988) — Малъбахов В М., Леженин A.A. (1988) — Малъбахов В. М., Перое В. Л. (1993).

Следует также упомянуть работы, связанные с изучением турбулентности, сопутствующей восходящим потокам проникающей конвекции, см. например Онуфриев А. Т. (1967), Онуфриев А. Т., Христианович С. А. (1976) — Конюхов А. В., Мещеряков М. В., Утюжников С. В. (1994, 1995).

Проблемы распространения примеси, связанные с задачами проникающей конвекции исследовались в работах Луговцов Б. А. (1970), Берлянд М. Е. (1974) — Вызова Н. Л. (1974) — Пушистое П. Ю., Малъбахов В. М., Кононеко С. М. (1982), Махеиладзе Г. М., Якуш С. Е. (1990), Самарская Е. А., Сузан Д. В., Тишкин В. Ф. (1997), Бородин О. О. (1999), Колдоба А. В., По-вещенко Ю. А., Самарская Е. А., Тишкин В. Ф. (2000).

Многие задачи техногенного характера описываются уравнениями теории конвекции над тепловым источником, сравнительно малых геометрических размеров, который можно стилизовать как точечный. Классическим гидродинамическим упрощением уравнений теории конвекции над точечным источником служит приближение вертикального пограничного слоя, см. работы Schlichting Н. (1955), Гутман Л. Н. (1969).

Приближенным методом решения уравнения вертикального пограничного слоя в практике инженерных расчетов является интегральный метод Кармана-Польгаузена, см., например, Schlichting Н. (1955), позволяющий строить интегральные модели конвективных струй. Этот метод допускает построение амплитудных уравнений для вертикальной скорости и температуры на оси струи. Сравнительная легкость численной реализации и хорошее соответствие с экспериментальными данными позволили интегральным моделям струй получить широкое распространение в практике научно-технических расчетов.

Интегральная теория стационарных плавучих турбулентных струй, основанная на системе уравнений конвекции Буссинеска, была заложена в работах Morton B.R., Taylor G.I., Turner J.S. (1956), Schmidt F.H. (1957), Priestly C.H.B. (1964).

Более сложные интегральные модели стационарных высокотемпературных струй были разработаны в Morton B.R. (1965), Smith R.K. (1967), Murgai М.Р., Emmons H.W. (1960), Varma R.K., Murgai M.P., Childyal C.D. (1970), Шипилов О. И. (1974), Вулъфсон H.H., Левин JI.M. (1981). Эти модели эффективно использовались при описании тепловых конвективных струй значительной вертикальной протяженности, возникающих при лесных и нефтяных пожарах Morton B.R. (1965), Smith RK. (1967), Murgai M.P., Emmons H.W. (1960), Varma R.K., Murgai M.P., Childyal C.D. (1970). Соответствие результатов моделей и натурного эксперимента наблюдалось при расчете мощных напорных конвективных струй специальных установок — метеотронов, способных оказывать локальное воздействие на погоду и климат Шипилов О. И. (1974), Вулъфсон Н И., Левин Л. М. (1981). Существенно, что форма уравнений высокотемпературных конвективных струй в ряде ситуаций оказывается идентичной форме уравнений глубокой конвекции, см., например, Murgai М.Р., Emmons H.W. (1960).

Интегральные модели развития нестационарной конвективной струи в нейтральной атмосфере, над точечным источником тепла, были построены сравнительно недавно, см. работы ВеНсксйзШ М.А. (1979) и Нощ-1ещ Уи. (1990). Эти модели основывались на уравнениях Буссинеска, причем для замыкания системы уравнений использовалось эвристическое дифференциальное уравнение переноса для радиуса струи. В моделях ВеИскМ-5705 М.А. (1979) и Hong-Zeng Уи. (1990) для источников тепла, мощность которых изменяется во времени по степенным законам, показано существование класса автомодельных решений. Проведенные Hong-Zeng Уи. (1990) эксперименты над коллекторами сгорания для струй показывают довольно хорошее согласие полученных автомодельных решений и экспериментальных данных.

В настоящей работе предложена несколько иная интегральная гидродинамическая модель развития нестационарной конвективной струи в нейтральной и устойчиво стратифицированной атмосфере, над точечным источником тепла. Форма струи предполагается конической, для основания конуса, соответствующего плоской верхней границе струи, выводится универсальное уравнение распространения конвективного фронта, подобное приведенному в статьях Вулъфсон А. Н. (1998, 2000). Это уравнение связывает интегральную временную зависимость мощности точечного источника плавучести с переменной высотой струи. Выполненные для устойчиво-стратифицированной среды исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла: а) асимптотический режим на малых временах, соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере, Бородин О. О., Вулъфсон А. Н. (2000) — и б) асимптотический режим на больших временах, соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере Вулъфсон А. Н., Бородин О. О. (1999), Бородин О. О. (1999).

Показано, что предложенная новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта, содержит класс известных автомодельных решений, соответствующих мгновенным и степенным источникам тепла. Кроме того, аналитические результаты работы позволяют расширить класс автомодельных решений на случай экспоненциальных и мгновенных источников тепла. Построены аналитическое и численное решения автомодельных уравнений. Выполнено сопоставление численных расчетов с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи.

Выводы

Выполненные исследования в устойчиво-стратифицированной среде позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла. Асимптотический режим на малых временах соответствует развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере. Асимптотический режим на больших временах соответствует развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.

Результаты расчетов по стационарной конвективной модели в устойчивой среде позволяют однозначно определить высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и атмосферной стратификации. Показано, что развитие стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере характеризуется универсальными функциями, зависящими от безразмерной высоты струи, и не зависящими ни от атмосферной стратификации ни от мощности теплового источника. Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика. Приведенные результаты весьма существенны при практическом исследовании температурных техногенных выбросов. Полученные соотношения позволяют вычислить мощность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта.

Заключение

Настоящая диссертация была выполнена в соответствии с рабочим планом кафедры математического анализа Московского государственного института электроники и математики. В результате выполнения работы была создана нестационарная интегральная гидродинамическая модель распространения конвективной струи над точечным источником тепла в нейтрально и устойчиво стратифицированной атмосфере. Выполненные исследования позволяют выделить два асимптотических режима развития конвективной струи над точечным стационирующим источником тепла: а) асимптотический режим на малых временах, соответствующий развитию нестационарной конвективной струи в нейтрально стратифицированной атмосфере- б) асимптотический режим на больших временах, соответствующий развитию стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.

Кроме того, разработаны конечно разностные методы решения соответствующих асимптотических режимов.

Сформулируем основные результаты настоящей работы: • Для нейтрально стратифицированной среды предложена новая интегральная модель нестационарной вертикальной конвективной струи, включающая универсальное уравнение распространения верхней границы конвективного фронта, содержащая класс известных автомодельных решений, соответствующих мгновенным и степенным источникам тепла. Кроме того, аналитические результаты работы позволяют расширить класс автомодельных решений на случай экспоненциальных и мгновенных точечных источников тепла. Выполненные численные расчеты обеспечивают вполне приемлемое

72 соответствие с известными экспериментальными данными о профилях вертикальной скорости и температуры на оси струи.

• Для устойчиво стратифицированной среды в условиях стационирующе-го источника предложена интегральная модель стационарной вертикальной конвективной струи. Результаты расчетов по стационарной конвективной модели однозначно определяют высоту струи в зависимости от мощности теплового источника и стратификации среды. Полученные соотношения позволяют вычислить мощность теплового источника по значениям температуры на заданном расстоянии от промышленного объекта. Показано, что развитие стационарной конвективной струи в устойчиво стратифицированной среде носит автомодельный характер. Численно получены универсальные автомодельные профили вертикальной скорости и температуры вдоль оси струи, а также аналитически построена их асимптотика. Приведенные результаты весьма существенны при практическом исследовании высокотемпературных техногенных выбросов в водную и воздушную среду.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Глава 1. Конвективная струя в нейтрально стратифицированной атмосфере над точечным источником тепла.

§ 1 Задача о конвективной струе над точечным источником тепла.

§ 2 Интегральные уравнения вертикального пограничного слоя и понятие конвективного фронта.

§ 3 Экспериментальные данные о скорости и температуре конвективной струи.

§ 4 Интегральная модель конвективной струи над точечным источником тепла.

§ 5 Универсальное уравнение распространения конвективного фронта.

§ 6 Квазистационарные уравнения, как асимптотика решения вблизи источника.

§ 7 Уравнения распространения конвективной струи в нормированной по высоте переменной.

§ 8 Автомодельные режимы распространения конвективного фронта.

§ 9 Класс автомодельных решений нестационарной интегральной модели конвективной струи над точечным источником тепла.

§ 10 Автомодельные уравнения для случая степенного и экспоненциального источника тепла.

§ 11 Автомодельные уравнения для случая мгновенного источника тепла.

§ 12 Преобразование уравнений для численного решения автомодельных уравнений развития конвективной струи.

§ 13 Конечно-разностная схема.

§ 14 Результаты расчетов и сопоставление их с экспериментальными данными.

Выводы.

Глава 2. Конвективная струя в устойчиво стратифицированной атмосфере над точечным источником тепла.

§ 1 Задача о турбулентной струе над точечным источником тепла.

§ 2 Интегральная модель конвективной струи над точечным источником тепла.

§ 3 Асимптотика решения на малых временах.

§ 4 Асимптотика решения на больших временах.

§ 5 Стационарная струя в нейтрально стратифицированной атмосфере.

§ 6 Конечно-разностный метод описания автомодельного режима развития конвективной струи в устойчивой атмосфере.

§ 7 Результаты расчетов стационарной струи в устойчиво стратифицированной атмосфере.

§ 8 Аналитический метод решения амплитудных уравнений стационарной струи в устойчивой атмосфере.

Выводы.

Заполнить форму текущей работой