Анализ товарооборота с помощью математических функций

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

  • 1 Задание
    • Решение
  • 2 Задание
    • Решение
  • 3 Задание
    • Решение
  • 4 Задание
  • Решение
  • 5 Задание
  • Решение
  • 6 Задание
  • Решение
  • 7-8 Задание
  • 1 Задание
  • Рассчитать цепные и средние абсолютные приросты и темпы роста. Сделать вывод о виде приемлемой модели для предварительного прогноза (прямая или парабола).
  • 1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    120

    180

    250

    240

    290

    235

    420

    378

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    254

    443

    440

    397

    256

    340

    286

    Решение

    Цепной абсолютный прирост исчисляется по формуле:

    где -абсолютный прирост;

    — текущий уровень;

    — предшествующий уровень ряда.

    180−120= 60,0 тыс. руб.

    250−180= 70,0 тыс. руб.

    240−250= -10,0 тыс. руб. и т. д. в таблице 1, гр. 3

    Таблица 1. Динамика товарооборота

    Месяцы (t)

    Товарооборот, тыс. руб. (у)

    Цепной абсолютный прирост ()

    Темп роста цепной ()

    1

    2

    3

    4

    1

    120

    -

    100,0

    2

    180

    60

    150,0

    3

    250

    70

    138,9

    4

    240

    -10

    96,0

    5

    290

    50

    120,8

    6

    235

    -55

    81,0

    7

    420

    185

    178,7

    8

    378

    -42

    90,0

    9

    254

    -124

    67,2

    10

    443

    189

    174,4

    11

    440

    -3

    99,3

    12

    397

    -43

    90,2

    13

    256

    -141

    64,5

    14

    340

    84

    132,8

    15

    286

    -54

    84,1

    Исчислим темпы роста цепные по формуле

    =150,0%

    =138,9%

    =96,0% и т. д. таблица 1 гр. 4

    Исчислим средний абсолютный прирост по формуле:

    =8,14 тыс. руб.

    В среднем в год товарооборот увеличивался на 8,14 тыс. руб.

    Исчислим среднегодовой темп роста по формуле:

    =

    Рассчитанные значения цепных абсолютных приростов варьируют значительно, что позволяет предположить характер динамики товарооборота как линейный, так и по кривой второго порядка.

    2 Задание

    Сгладить исходный временной ряд по методу скользящей средней для периодов сглаживания g=3; g=5. Построить график исходного временного ряда и сглаженных рядов.

    Решение

    Метод скользящей средней применяется для характеристики тенденции развития и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.

    Прежде всего, устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитывают три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней — пятичленной и т. д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал увеличивают. Если волны следует сохранить, то число членов уменьшают.

    Скользящие средние исчисляют по формуле средней арифметической простой:

    где — i-й уровень ряда;

    m — число членов скользящей средней.

    Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания. Исчислим скользящую среднюю для периода сглаживания равном g=3

    =183

    =223

    =260 и т. д. таблица 2, гр. 3

    Таблица 2. Динамика товарооборота

    Месяцы (t)

    Товарооборот, тыс. руб. (у)

    Сглаженные средние

    1

    2

    3

    4

    1

    120

    -

    -

    2

    180

    183

    -

    3

    250

    223

    216

    4

    240

    260

    239

    5

    290

    255

    287

    6

    235

    315

    313

    7

    420

    344

    315

    8

    378

    351

    346

    9

    254

    358

    387

    10

    443

    379

    382

    11

    440

    427

    358

    12

    397

    364

    375

    13

    256

    331

    344

    14

    340

    294

    -

    15

    286

    -

    -

    Исчислим скользящую среднюю для периода сглаживания равном g=5

    =216

    =239

    =287 и т. д. таблица 2, гр. 4

    Рис. 1 Графики исходного и сглаженного рядов

    На рис. 1 показаны графики исходного и сглаженного товарооборота, где четко видны различия в динамике, полученной сглаживанием по простой скользящей средней.

    3 Задание

    Рассчитать параметры кривых роста для линейной и параболической модели, записать аналитический вид данных моделей и определить расчетные значения временного ряда по полученным моделям для заданных временных точек. При выполнении данного пункта использовать метод переноса шкалы времени.

    Решение

    Удобным средством описания одномерных рядов является их выравнивание с помощью функций. Кривая роста позволяет получить теоретические значения уровней динамического ряда.

    Полином первой степени

    На графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

    Нахождение параметров уравнения производится по методу наименьших квадратов (МНК). Строится система нормальных уравнений число которых соответствует числу параметров.

    Для линейного тренда система нормальных уравнений следующая:

    При переносе шкалы времени в центр ряда динамики, система нормальных уравнений примет вид:

    Исчислим параметры уравнения прямой:

    ==301,9 ~ 302

    == 12,4

    уравнение прямой линии примет вид:

    последовательно подставляя в уравнение значения (t) получим

    = 218

    = 230

    = 242

    = 254

    = 266

    = 278

    =290

    = 302

    = 314

    = 326

    = 338

    = 350

    = 362

    = 374

    = 386

    теоретические, расчетные уровни по уравнению прямой линии представлены в таблице 3 графа 6.

    Таблица 3. Расчет параметров уравнений

    Для линейного уравнения

    Для параболы

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    1

    120

    -7

    49

    -840

    218

    2401

    5880

    295

    2

    180

    -6

    36

    -1080

    230

    1296

    6480

    274

    3

    250

    -5

    25

    -1250

    242

    625

    6250

    259

    4

    240

    -4

    16

    -960

    254

    256

    3840

    248

    5

    290

    -3

    9

    -870

    266

    81

    26 100

    243

    6

    235

    -2

    4

    -470

    278

    16

    940

    242

    7

    420

    -1

    1

    -420

    290

    1

    420

    247

    8

    378

    0

    0

    0

    302

    0

    0

    256

    9

    254

    1

    1

    254

    314

    1

    254

    271

    10

    443

    2

    4

    886

    326

    16

    1772

    290

    11

    440

    3

    9

    1320

    338

    81

    3960

    315

    12

    397

    4

    16

    15 800

    350

    256

    6352

    344

    13

    256

    5

    25

    1280

    362

    625

    6400

    379

    14

    340

    6

    36

    2040

    374

    1296

    12 240

    418

    15

    286

    7

    49

    2002

    386

    2401

    14 014

    463

    16

    4529

    280

    3480

    9352

    94 902

    Полином второй степени

    Применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.

    Оценка параметров моделей осуществляется методом наименьших квадратов.

    Параболическое выравнивание динамического ряда — это нахождение плавного уровня ряда в предположении его изменения по параболе, т. е. кривой n-го порядка. Уравнение кривой 2-го порядка:

    +

    Выравнивание сводится к нахождению параметров, , уравнения. Для этого по методу наименьших квадратов (МНК) решают систему нормальных уравнений:

    При переносе шкалы времени в центр ряда динамики, а система нормальных уравнений примет вид:

    подставим исчисленные значения в уравнения:

    отсюда

    280 = 3480, == 12,43

    для нахождения параметров, составим систему нормальных уравнений:

    умножим первое на 18,7 (280: 15), получим

    вычтем первое из второго, получим

    4125 = 10 210, откуда ==2,475

    подставим значение в первое уравнение, получим

    15 + 280Ч2,5 = 4529

    15 = 3836

    =256

    уравнение параболы примет вид:

    последовательно подставляя в уравнение значения (t) и получим

    = 295

    =274

    =259

    = 248

    = 243

    = 242

    = 247

    = 256

    = 271

    = 290

    = 315

    = 344

    = 379

    = 418

    = 463

    Рис. 2 Аналитическое выравнивание по прямой и по параболе

    4 Задание

    товарооборот прирост модель прогноз

    Сделать точечный прогноз рассматриваемого показателя на один шаг вперед (на один месяц, год).

    Решение

    Исходя из предположения, что тенденция, выраженная уравнением прямой линии сохранится точечный прогноз на 16 период составит:

    = 398

    Следовательно, товарооборот в 16 месяце, если сохранится данная тенденция, составит 398 тыс. руб.

    Исходя из предположения, что тенденция, выраженная уравнением параболы сохранится, точечный прогноз на 16 месяц составит:

    = 512

    Следовательно, товарооборот в 16 месяце, если сохранится данная тенденция, составит 512 тыс. руб.

    5 Задание

    Сделать интервальный прогноз рассматриваемого показателя по полученным моделям на один шаг вперед (на один месяц, год) при надежности прогноза 90% (т.е. при доверительной вероятности 0,9).

    Решение

    На основе уравнения тренда дается точечная оценка прогноза. Однако более надежный прогноз предполагает оценку его в интервале, т.к. полное совпадение фактического и прогнозируемого уровней маловероятно. Даже если выбор формы уравнения тренда удачен, фактическая реализация развития события может отличаться от прогнозируемой, т.к. тренд характеризует лишь тенденцию, а уровни временного ряда содержат случайную компоненту (е), т. е.

    Возможная ошибка параметров тренда учитывается в доверительном интервале прогноза.

    В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит показатель вариации уровней динамического ряда относительно тренда (). Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности. Вариация уровней динамического ряда относительно тренда исчисляется по формуле:

    где — фактические уровни динамического ряда;

    — расчетные значения уровней динамического ряда по уравнению тренда;

    n — длина динамического ряда;

    m — число параметров в уравнении тренда (без свободного члена)

    Таблица 4. Исчисление показателя вариации уровней ряда динамики

    Для линейного уравнения

    Для параболы

    -

    (-)

    -

    (-)

    1

    120

    218

    -98

    9604

    295

    -175

    30 625

    2

    180

    230

    -50

    2500

    274

    -94

    8836

    3

    250

    242

    8

    64

    259

    -9

    81

    4

    240

    254

    -14

    196

    248

    -8

    64

    5

    290

    266

    24

    576

    243

    47

    2209

    6

    235

    278

    -43

    1849

    242

    -7

    49

    7

    420

    290

    130

    16 900

    247

    173

    29 929

    8

    378

    302

    76

    5776

    256

    122

    14 884

    9

    254

    314

    -60

    3600

    271

    -17

    289

    10

    443

    326

    117

    13 689

    290

    153

    23 409

    11

    440

    338

    102

    10 404

    315

    125

    15 625

    12

    397

    350

    47

    2209

    344

    53

    2809

    13

    256

    362

    -106

    11 236

    379

    -123

    15 129

    14

    340

    374

    -34

    1156

    418

    -78

    6084

    15

    286

    386

    100

    10 000

    463

    -177

    31 329

    16

    Итого

    89 759

    181 351

    Для линейного уравнения

    =83,09

    Доверительный интервал для линейного уравнения тренда

    , Р=0,9, =1,65, n=15, m=2−1=1, — по таблице.

    ±1,65Ч83,09

    386−137??386+137

    249??523

    товарооборот по линейному тренду и уточненному прогнозу в 16 месяце будет находиться в интервале от 249 до 523 тыс. руб.

    для уравнения параболы:

    =123

    Доверительный интервал для уравнения параболы

    , Р=0,9, =1,65, n=15, m=3−1=2

    ±1,65Ч123

    463−203??463+203

    260??666

    товарооборот по линейному тренду и уточненному прогнозу в 16 месяце по параболе будет находиться в интервале от 260 до 666 тыс. руб.

    6 Задание

    Проверить модели на точность.

    Для проверки модели на прочность используем метод серий.

    Решение

    Метод серий заключается в том, что ряд динамики представляется как последовательность типов (А и В), типы определяются на основе медианы: тип, А — значения товарооборота меньше медианы, тип В — значения товарооборота больше медианы, () количество серий.

    Таблица 5

    Месяцы (t)

    Товарооборот, тыс. руб. (у)

    Ранжированный ряд

    типы

    1

    2

    3

    4

    1

    120

    120

    А

    2

    180

    180

    А

    3

    250

    235

    А

    4

    240

    240

    А

    5

    290

    250

    В

    6

    235

    254

    А

    7

    420

    256

    В

    8

    378

    286

    В

    9

    254

    290

    А

    10

    443

    340

    В

    11

    440

    378

    В

    12

    397

    397

    В

    13

    256

    420

    А

    14

    340

    440

    В

    15

    286

    443

    А

    В ранжированном ряду определим медиану, которой соответствует значение, находящее в середине ряда, =286.

    Фактическое количество серий равно 9.

    =8

    =1,87

    Фактическое число серий находится в интервале, следовательно закономерности в ряду динамики нет.

    7−8 Задание

    Проведенный анализ товарооборота показал, что в анализируемом периоде товарооборот изменялся неравномерно, так наибольший абсолютный прирост наблюдался в 189 тыс. руб. в 10 месяце и 185 в 7 месяце, а наименьший абсолютный прирост наблюдался в 13 месяце — 141 тыс. руб. и 124 тыс. руб. в 9 месяце.

    В среднем товарооборот увеличивался на 8,14 тыс. руб. в месяц.

    Для определения тенденции динамического ряда проводилось сглаживание на основе простой скользящей средней по 3 и 5 интервалам, Это позволило предположить, что изменение товарооборота можно описать линейной моделью и параболической моделью.

    Представляется, что парабола точнее описывает данный динамический ряд, т.к. величина товарооборота зависит от множества факторов, в том числе от внедрения новой техники, которые могут приводить к увеличению затрат.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой