Биномиальные коэффициенты

Тип работы:
Курсовая
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Содержание

Введение

1. Сочетания

1.1 Число Ckn

1.2 Свойства

1.3 Упражнения

2. Бином Ньютона

2.1 Треугольник Паскаля

2.2 Свойства

2.3 Алгоритм вычисления биномиальных коэффициентов

2.4 Упражнения

3. Комбинаторные тождества

Заключение

Список литературы

Введение

Как известно, биномиальные коэффициенты изучаются в разделе комбинаторика.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоёв тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр — вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с теорией вероятностей.

Целью моей работы является проектирование содержания темы «Биномиальные коэффициенты» как элемента стохастической линии в курсе школьной математики.

Задачи при достижении этой цели ставятся следующие:

— разработать содержание темы «Сочетания и число сочетаний»;

— разработать содержание темы «Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов».

1. Сочетания

1.1 Числа Сkn

Пусть X — множество, состоящее из n элементов. Любое подмножество Y множества X, содержащее k элементов, называется сочетанием k элементов из n; при этом, разумеется, k? n.

Число различных сочетаний k элементов из n обозначается Сnk. Одной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа Сnk:

Её можно записать после очевидных сокращений следующим образом:

В частности,

Это вполне согласуется с тем, что в множестве X имеется только одно подмножество из 0 элементов — пустое подмножество.

Приведём доказательство формулы (2). Пусть Y — какое-либо подмножество множества X, содержащее k элементов. Составив всевозможные перестановки из этих элементов, получим k! различных строк длинной k. Если указанную операцию проделать с каждым подмножеством Y, содержащим k элементов, то получим всего Cnk · k! различных строк длинной k. Но очевидно, что таким путём должны получиться все без исключения строки длиной k без повторений, которые можно составить из элементов множества X. поскольку число таких строк равно Ank, то имеем соотношение Cnk · k! = An, из которого следует Cnk =Akn, т. е. формула (2).

1.2 Свойства

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1), но более содержательными являются доказательства, опирающиеся на теоретико-множественные рассуждения.

1. Справедлива формула

Сnk = Сn-kn, (3)

Вытекающая из (1) очевидным образом. Смысл формулы (3) состоит в том, что имеется взаимно-однозначное соответствие между множеством всех k-членных подмножеств из X и множеством всех (n — k)-членных подмножеств из X: чтобы установить это соответствие, достаточно каждому k-членному подмножеству Y сопоставить его дополнение в множестве X.

2. Справедлива формула

С0n + С1n + С2n + … + Сnn = 2n. (4)

Поскольку сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества X (C0n есть число 0-членных подмножеств, C1n — число 1-членных подмножеств и т. д.), то для доказательства формулы (4) достаточно сослаться на уже известный читателю факт: число различных подмножеств n-членного множества X равно 2n.

3. При любом k, 1? k? n, справедливо равенство

Ckn = Cn-1k + Cn-1k-1. (5)

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1). В самом деле,

Вывод формулы (5), основанный на теоретико-множественных соображениях. Укажем, что для этого следует выделить какой-то определённый элемент, а є X и все k-членные подмножества разбить на две группы: подмножества, содержащие, а, и подмножества, не содержащие а.

4. Арифметический треугольник Паскаля.

Равенство (5) позволяет вычислять значения Cnk, если известны Сn-1k и Сk-1n-1. Иными словами, с помощью этого равенства можно последовательно вычислять Сnk сначала при n = 1, затем при n = 2, n = 3 и т. д. Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

в (n + 1) строке которой по порядку стоят числа С0n, С1n, …, Сnn. При этом крайние числа строки, т. е. С0n и Сnn, равны 1, а остальные числа находяться по формуле (5). Поскольку Сk-1n-1 и Сkn-1 распологаются в этой таблице строкой выше, чем число Сkn, и находяться в этой строке слева и справа от него, то для получения числа Сkn надо сложить находящиеся слева и справа от него числа предыдущей строки. Например, число 10 в шестой строке мы получаем, сложив числа 4 и 6 пятой строки. Указанная таблица и есть как раз «арифметический треугольник Паскаля».

5. Задача. Пусть n и k — два целых числа, при чём n > 0, k ?0. сколько существует различных строк длиной n, состоящих из букв, а и b, с условием, что в каждой из этих строк буква, а встречается k раз. (и, следовательно, b-n-k раз)?

Решение. Пусть (x1, x2, …, xn) — одна из строк указанного вида. Рассмотрим все номера i, такие, что xi = а. Совокупность таких номеров является подмножеством множества М = {1, 2, …, n}, состоящим из k элементов. Обратно, если Y — любое подмножество множества М, состоящее из k элементов, то, положив xi = а для всех i є Y и xi = b для всех i є Y, получим строку (x1, x2, …, xn) требуемого вида. Значит, число указанных в задаче строк равно числу k-элементных подмножеств в n-элементном множестве М, т. е. равно числу Сnk.

1.3 Упражнения

I. Вычислите C83.

Решение.

Ответ: 56.

II. Вычислите С94.

Решение.

Ответ: 126.

III.

a) По какой формуле вычисляется Сn2?

b) Вычислите С172 — С152.

c) По какой формуле вычисляется Сnk?

d) Вычислите С173 — С154.

Решение.

где (n)k — убывающий k-факториал от n, т. е. произведение k убывающих натуральных чисел, начиная с n:

Ответ: b) 31; d) -685.

IV. Решите уравнение:

а) Cx3 = 2•Cx2;

b) Cxx-2 = 15;

c) Cx2 + Cx+12 = 49;

d) C8x = 70.

Решение.

а) Сx3 = 2•Cx2;

x — 2 = 6;

x = 8.

b) Cxx-2 = 15;

Cxx-2 = Cxx-x+2 = Cx2;

x•(x — 1) = 30 = 6•5;

x = 6.

c) Cx2 + Cx+12 = 49;

x•(x — 1) + (x + 1)•x = 98;

x2x = 98;

x2 = 49; x € N;

x = 7.

d) C8x = 70;

x = 1; C81 = 8? 70;

x = 4; C84 = 8•7•6•5 = 2•7•5 = 70.

Искомое значение x = 4.

Ответ: а) 8; b) 6; c) 7 d) 4.

2. Бином Ньютона

Из школьного курса читателю известны формулы:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая обычно формулой бинома Ньютона:

(a + b)n = C0n a0bn + C1n abn-1 + C2n a2bn-2 + … + Cn-1n an-1b + Cnn anb0. (6)

В этой формуле может быть любым натуральным числом.

Вывод формулы (6) несложен. Прежде всего запишем:

(a + b)n = (a + b)(a + b) … (a + b), (7)

где число перемножаемых скобок равно n. Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (7) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм, а + b умножается на любое слагаемое второй суммы a +b, на любое слагаемое третьей суммы и т. д. Hапример, при n = 3 имеем:

(a +b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb.

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для (a + b)n соответствуют (взаимно-однозначно) строки длиной n, составленные из букв, а и b. Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв а. Но число строк, содержащих ровно k раз букву а, равно Сkn. Значит, сумма всех членов, содержащих букву, а множителем ровно k раз, равна Сnk akbn-k. Поскольку k может принимать значения 0, 1, 2, …, n-1, n, то из нашего рассуждения следует формула (6).

Заметим, что (6) можно записать короче: (a + b)n = ?Ckn akbn-k. (8)

Хотя формулу (6) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта ещё до Ньютона (например, её знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашёл обобщение этой формулы на случай не целых показателей.

Числа С0n, C1n, …, Cnn, входящие в формулу (6), принято называть биномиальными коэффициентами, которые определяются так:

Из формулы (6) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая, а =1, b = 1, получим:

2n = C0n — C1n + C2n — C3n + … +Cnn,

т.е. формулу (4). Если положить, а = 1, b = -1, то будем иметь:

0 = С0n — C1n + C2n — C3n + … + (-1)nCnn или С0n + C2n + C4n + … = C1n + C3n + + C5n + ….

Докажем формулу (8). Рассмотрим функцию f (x) = (1 + x)n. Это многочлен n-ой степени, то есть

(1 + x)n = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0.

Найдём коэффициенты an, an-1, …, a1, a0, вычислив значения функции и всех её производных от 1-го до n-го порядка при x = 0. Получим, что производная k-го порядка с одной стороны равна

f (k)(x) = (1 + x)(k) = n (n — 1)· … ·(n — k + 1)(1 + x)(n-k).

С другой стороны, она равна

f (k)(x) = n (n — 1)· … ·(n — k) anxn-k + … + k! ak,

При x = 0 получим равенство

n (n — 1)· … ·(n — k + 1) = k! ak

отсюда

При всех k = 1, 2, …, n.

Тогда

(1 + x)n = C0 nxn + C1n xn-1 + … + Ckn xn-k + … + Cnn x0

или короче

(1 + x)n = ?Ckn xn-k,

Отсюда

2.1 Треугольник Паскаля

Коэффициент в разложении (a + b)n при an-kbk обозначается k. Это обозначение в 1778 г. Ввёл Л. Эйлер. Таким образом, можно записать разложение бинома так:

Соответственно,

Разумеется, можно вычислить все биномиальные коэффициенты для любого n путём непосредственного перемножения n множителей (a + b), раскрытия скобок и приведения подобных членов. Правда, математикам древности и среднековья сделать это мешало отсутствие алгебраической символики. Например, в одном средневековом математическом тексте, имевшем хождение в Западной Европе в XV в. и, по-видимому, восходящем к арабам, биномиальные коэффициенты вычисляются очень наглядно путём возведения в степени числа 10 001 и приводятся в виде таблицы.

Таблица 1. степень числа 1001 воспроизводит биномиальные коэффициенты.

Ат-Тутси (XIII в.) располагал таблицей биномиальных коэффициентов до n = 2 и, что важнее, привёл общее правило для их получения, которое в современных обозначениях может быть выражено так:

Доказательство:

Благодаря данному правилу можно вычислять биномиальные коэффициенты последовательно для всех больших степеней n: а именно, k-й коэффициент бинома степени n равен сумме k-го и (k-1)-го коэффициентов степени (n-1). К этому следует добавить, что в биноме степени n первый (точнее, нулевой, k = 0) и последний (k = n) коэффициенты — т. е. коэффициенты при an и при bn — оба равны 1(при перемножении n множителей (a + b) член an получается единожды, а именно, при перемножении n раз чисел a; то же верно и для члена bn).

Если записать биномиальные коэффициенты n в виде таблицы со строками n и столбцами k, то каждая строка будет начинаться и заканчиваться единицей, а каждое промежуточное число строки будет равняться сумме двух чисел предыдущей строки — того, что стоит непосредственно над ним, и то, что стоит левее:

Таблица 2. Биномиальные коэффициенты.

Не трудно видеть, что каждая строка данной таблицы симметрична: n = n, т.к. коэффициенты при akbn-k и an-kbk в разложении бинома совпадают. Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Таблицы биномиальных коэффициентов были известны и предшествующим математикам — китайским, арабским и европейским (П. Аппиан, 1527 г.; М. Штифель, 1544 г.; Н. Тарталья, 1556 г.). Однако именно благодаря работе Паскаля «Тракт о арифметическом треугольнике», опубликованной уже после смерти автора (в 1665 г.), свойства биномиальных коэффициентов получили широкую известность. Правда сам Паскаль (и многие его предшественники) рисовали этот треугольник несколько иначе, с «повышенными» столбцами и прямым углом при вершине:

Таблица 3. Треугольник Паскаля.

В такой таблице числа, соответствующие разложению бинома степени n, стоят не вдоль одной и той же строки, а вдоль одной и той же восходящей диагонали. Все восходящие диагонали, а значит, и вся таблица симметрична относительно главной нисходящей диагонали — «биссектрисы прямого угла». Каждое число в таблице (кроме единиц, находящихся на верхнем и левом краях), равняется сумме двух чисел, стоящих от него сверху и слева.

Вот ещё несколько свойств таблицы 3, доказанных Паскалем:

Интересно свойство делимости чисел, составляющих треугольник Паскаля. Если обозначить одним цветом числа, делящиеся нацело на какое-нибудь натуральное число, а другим — делящиеся с остатком, получается неожиданные узоры. Некоторые из них составлены из равных разноцветных треугольников — это результат деления на простые числа. Другие же похожи на фракталы. Почему? Числа, стоящие вдоль одной и той же строки (столбца) на таблице, так же интересны. То, что в нулевой строке и нулевом столбце стоят единицы, очевидно. Очевидно и то, что на первой строке и первом столбце стоят подряд все натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т. д.

А вот что за числа стоят на второй строке (столбце)? Оказывается, эти числа имеют своё название, причём носят его с глубокой древности — это треугольные числа. А числа на третьей строке (столбце) — пирамидальные числа, равные сумме треугольных.

Треугольные и пирамидальные числа

Если обратиться к форме треугольник Паскаля, представленный в таблице 2, и рассмотреть её столбцы и нисходящие диагонали, то это рассмотрение ничего не даст: фактически, столбцы у таблиц 2 и 3 одни и те же, а нисходящие диагонали таблицы 2 совпадают со строками таблицы 3. Строки же таблицы 2 совпадают с восходящими диагоналями таблицы 3. Последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), полученная при разборе восходящих диагоналей: 1; 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 1+3 = 5, 1+3+1 = 5; 1+4+3 = 8 и т. д., обладает тем свойством, что каждое число в ней равно сумме двух предыдущих. Эти числа носят название чисел Фибоначчи и обладают многими интересными математическими свойствами, возникая в самых неожиданных задачах.

Гораздо проще вопрос о том, чему равны суммы чисел, стоящих на каждой из строк таблицы 2 (и ли на каждой из восходящих диагоналей таблицы 3).

Ещё один вопрос — чему равна сумма:

в которой все биномиальные коэффициенты степени n>0 c нечётными номерами взяты со знаком плюс, а с чётными — со знаком минус?

Ответ:

Чрезвычайно важное свойство биномиального разложения связано с тем, что его коэффициенты n, оказывается, представляют собой не что иное, как числа сочетаний по k элементов из множества с n элементами.

Приведём одно из свойств, связанных с делимостью биномиальных коэффициентов. Рассмотрим таблицу 2. Легко видеть, что все числа её 5-й строки, кроме крайних единиц, делятся на 5; все числа 7-й строки, кроме крайних единиц, делятся на 7. Очевидно, у 2-й и 3-й строки есть такое же свойство. А у остальных, легко видеть, такого свойства нет. Что объединяет числа 2, 3, 5 и 7 и отличает их от других чисел первого десятка? Верно, все они простые. Можно доказать, что, действительно, все числа n-ой строки треугольника Паскаля (в форме таблицы 2), кроме крайних единиц, делятся на n тогда и только тогда, когда n простое.

Еще одно красивое свойство треугольника Паскаля (в форме таблицы 2) связано с вопросом, сколько нечётных чисел содержит n-я строка. Оказывается, число этих нечётных чисел всегда равно 2k, где k — число единиц в двоичной записи числа n.

И наконец приведём сравнительно недавно, в общем, то, случайно обнаруженное свойство треугольника Паскаля, связывающее его с простыми числами (Г.В. Манн, Д. Шенкс, 1972 г.). запишем строки треугольника Паскаля (в форме таблицы 2), каждый раз сдвигая строки в право на две позиции.

Таблица 4. Связь ряда простых чисел и треугольника Паскаля.

Числа, стоящие в таблице, выделены, если они делятся на номер строки. Числа в нижней строке, нумерующие столбцы, выделены, если в этом столбце все числа выделены. Выходит, что выделенные номера столбцов в точнсти соответствуют простым числам.

2.2 Свойства

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n.

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n.

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойства следует из соотношения: Ck = Cn-k.

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2n-1.

Для доказательства воспользуемся биномом: (1 — 1)n = 0n = 0. здесь чётные члены имеют знак «+», а нечётные — «-». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: 2n: 2 = 2n-1, что и требовалось доказать.

2.3 Алгоритмы вычисления биномиальных коэффициентов

· Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы, если на каждом шаге хранить значения при. Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном n. Алгоритм требует O (n) памяти (O (n2) при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и O (n2) времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

· Второй способ основан на тождестве. Он позволяет вычислить значения при фиксированном k. Алгоритм требует O (1) памяти (O (l) если нужно посчитать l последовательных коэффициентов с фиксированным k) и O (k) времени.

2.4 Упражнения

I.

a) Проверьте, что (а + b)2 = C20a2b0 + C12a1b1 + C22a0b2.

b) Проверьте, что (а + b)3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.

c) Используя равенство (а + b)4 = (a + b)3·(a + b), выведите формулу сокращённого умножения для суммы двух чисел в четвёртой степени.

d) Проверте, что (a + b)4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.

Решение:

a) (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2b0 + C 12a1b1 + C22a0b2.

b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.

c) (a + b)4 = (a + d)3·(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 b3)·(a + b) = a4+4a3b + + 6a2b2+ 4ab3+ b4.

d) (a +b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.

Решённые примеры являются частными случаями бинома Ньютона.

II.

a) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке k от 0 до 5, во второй строке — числа Ck5.

b) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа Ck5?

c) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы.

d) Отметьтье на координатной плоскости точки (k, Ck5).

Решение.

а) Вторая строка в таблице будет пятой строкой в треугольнике Паскаля:

k

0

1

2

3

4

5

Ck5

1

5

10

10

5

1

b) Наибольшее значение Сk5 получается при двух значениях k =2 и k = 3, т. е. при [5/2] и при [5/2]+1 (в квадратных скобках записываем целую часть числа, т. е. наибольшее целое, не превосходящее 5/2). В данном случае n = 5 — нечётное число.

c) Сумма чисел во второй строке составленной таблицы равна 32 = 25 (свойство биномиальных коэффициентов? Сkn = 2n).

d) Точки (k, Ck5) на координатной плоскости:

Ответ: c)2; 3; d) 32.

III. Решите уравнения:

а) 14 Cnn-2= 15A2n-3;

b) 6Cnn-3= 11A2n-1;

c) 13C2nn+1= 72n+1n-1;

d) 21C2nn+1= 11C2n+1n-1.

Решение:

а) 14Сnn-2= 15Ann-3; n є N.

Поскольку Сnn-2= Cnn-n+2= Cn 2, то

14Cn2= 15A2n-3;

7·n·(n -1) = 15·(n -3)·(n -4);

4n2 — 49n + 90 = 0;

b) 6Cnn-3 = 11A2n-1; n є N

6C3n = 11A2n-1

n·(n — 1)·(n -2) = 11·(n — 1)·(n -2);

n = 11.

c) 13C2nn+1 = 7Cn-12n+1; n є N.

13C2nn-1 = 7C2n+1n-1

Сокращая получаем:

13·(n + 2) = 7·(2n + 1),

отсюда n = 19.

d) 21C2nn+1 = 11Cn-12n+1;

сокращая, получаем:

21·(n + 2) = 11·(2n + 1),

Отсюда n = 31.

Ответ: а) 10; b) 11; c) 19 d) 31.

Замечание. Расписывая факториалы, мы воспользовались формулой:

Поэтому С2n+1n-1 преобразуется аналогично.

IV. Вычислите.

C272 — C262;

a) C115 + C116;

b) C52 + C72 + C92;

c) Числа Cnk при n = 1, 2,3,4 и 0 < k < n.

Решение:

Числа Сnk при заданных n и k удобнее всего записать в виде треугольника Паскаля:

Ответ: a) 26; b) 9; 2;4; c) 67; d) 14 чисел в треугольнике Паскаля.

Замечание. В условие варианта d) должно быть 0? k? n, т.к. при

0 < n < k и n = 1 нет значений k (k€N).

3. Комбинаторные тождества.

Рассмотрим некоторые тождества, связанные с биноминальными коэффициентами.

арифметический биномиальный комбинаторный тождество

·

· (правило симметрии)

·

·

·

·

· (свёртка Вандермонда)

· Мультисекция ряда (1 + x)n дает следующее тождество, выражающее суммы биномиальных коэффициентов с произвольным шагом s в виде замкнутой суммы из s слагаемых:

Применим последовательно формулу сложения:

получили тождество

?Cn+km = Cn+mm,

Cn0 + Cn+11 + Cn+22 + … + Cn+m-1m-1 = Cn+mm

Применим формулу сложения иначе (пусть m? n):

Cn+mm+1 = Cn+m-1m + Cn+m-1m+1 = Cn+m-1m + Cn+m-2m + Cn+m-2m+1 = Cn+m-1m + Cn+m-2m-1 + Cn+m-3m + Cn+m-3m+1 = … = Cn+m-1m + Cn+m-2m-1 + … + Cnm

получили тождество? Cn+km = Cn+mm,

Cnm + Cn+1m + Cn+2m + … + Cn+m-1m = Cn+mm

в частности,

C11 + C21 + C31 + … + Cn1 = Cn+12

то есть,

Заключение

При создании специальных программ для осуществления факультативов можно использовать данную тему моей работы как одну из тем изучения комбинаторики, так как она в современной школе выделяется отдельным разделом.

Список литературы

1. Комбинаторика / автор — составитель Н. Я. Виленкин. — М., 1969 г.

2. Комбинаторика / автор — составитель Н. Я. Виленвин. — изд. «Наука». — М., 1969 г.

3. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7−9 кл./ автор — составитель В. Н. Студенецкая. — изд. 2-е., испр., — Волгоград: Учитель, 2009 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой