Аркфункции

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример № 1. Исследовать функции arcsin (1/x) и arccos (1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin (1/x)

Д (f): | 1/x |? 1 ,

| x |? 1 ,

(- ?; -1 ] U [ 1; + ?)

Функция нечетная

(f (x) убывает на пр. [0; 1], f (y) убывает на пр. [0; р/2])

Заметим, что функция y=arccosec (x) определяется из условий cosec (y)=x и y є [-р/2; р/2], но из условия cosec (y)=x следует sin (y)=1/x, откуда

y=arcsin (1/x). Итак, arccos (1/x)=arcsec (x)

Д (f): (- ?; -1 ] U [ 1; + ?)

Пример № 2. Исследовать функцию y=arccos (x2).

Решение:

Д (f): [-1; 1]

Четная

f (x) убывает на пр. [0; 1]

f (x) возрастает на пр. [-1; 0]

Пример № 3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos (x), тогда y = z2

f (z) убывает на пр. [-1; 1] от р до 0.

f (y) убывает на пр. [-1; 1] от р2 до 0.

Пример № 4. Исследовать функцию y=arctg (1/(x2-1))

Решение:

Д (f): (- ?; -1) U (-1; 1) U (1; +?)

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0; 1) и (1; +?)

X

0

< x <

1

< x <

+?

u=1/(x2-1)

-1

?

+ ?

— ?

?

0

y=arctg (u)

— р/4

?

р/2

— р/2

?

0

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x

(справедливо только для x є [-1; 1])

tg (arctg (x)) = x, ctg (arcctg (x)) = x

(справедливо при любых x)

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin (arcsin (x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент

функция

arcsin (x)

arccos (x)

arctg (x)

arcctg (x)

sin

sin (arcsin (x))=x

cos

x

tg

x

1 / x

ctg

1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ц = arcsin (x)

Перед радикалом следует взять знак «+», т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой), на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

Из тождества следует:

Имеем

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример № 1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу, имеем:

Пример № 2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

Пример № 3. Пользуясь …

Пример № 4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

Пример № 5. Положив в формулах

, и

, получим:

,

Пример № 6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:

Перед радикалами взят знак «+», т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода — соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

Соотношения второго рода — соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай № 1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга б, заключенная в интервале (-р/2; р/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinб и заключена, так же как и б, в интервале (-р/2; р/2), следовательно

Аналогично можно дугу б представить в виде арктангенса:

А если бы дуга б была заключена в интервале (0; р), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

Выражение через арктангенс.

Пусть, тогда

Дуга, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-р/2; р/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-р/2; р/2).

Следовательно,

(1)

(в интервале (-1: 1)

Выражение через арксинус.

Т.к., то (2)

в интервале

Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество

(3)

Случай № 2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -р/2 до 0, либо промежутку от р/2 до р и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть, если, то. Дуга имеет косинус, равный, а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень, т. е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X< 0

При отрицательных значениях Х имеем Х< 0, а при положительных X> 0, и

Таким образом, имеем окончательно:

если, (4)

, если

График функции

Область определения есть сегмент [-1; 1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

, если

, если

Аналогично установим, что при имеем:

, если же, то

Таким образом:

, если (5)

, если

Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

при имеем:

Если же х< 0, то

Итак,

, если (6)

, если

Выражение арккосинуса через арктангенс. Если, то

При имеем:

Итак,

, если (7)

, если

Выражение арктангенса через арккотангенс.

, если х>0 (8)

, если x< 0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x< 0, то

.

Выражение арксинуса через арккотангенс.

, если (9)

, если

Выражение арккотангенса через арксинус.

, если 0<x (10)

, если х< 0

Выражение арккотангенса через арктангенс.

, если x>0 (11)

, если x< 0

Примеры:

Пример № 1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0, если x> 0

-р, если x< 0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример № 2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений, второе — для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к., то получаем

,

откуда:

на сегменте [0; 1]

Пример № 3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

, если

, если

получим:

y = 0, если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y — есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

и

Областью определения функции служит интервал, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=р/6 имеем:

но при х=5р/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2р, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-р/2; 3р/2] величиной 2р.

Если значение х принадлежит сегменту [-р/2; р/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [р/2; 3р/2], то в этом случае дуга р-х принадлежит сегменту [-р/2; р/2]; и, так как

, то имеем y=р-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=р-х. Если значение х принадлежит сегменту [3р/2; 5р/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2р

Если значение х принадлежит сегменту [-3р/2; -р/2], то

y=-р-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5р/2; -3р/2], то

y=х+2р

Вообще, если, то

y=х-2рk

и если, то

y=(р-х)+2рk

График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2р. Если значение Х принадлежит сегменту [0; р], то y = x. Если х принадлежит сегменту [р; 2р], то дуга 2р-х принадлежит сегменту [0; р] и, поэтому:

Следовательно, на сегменте [р; 2р] имеем y = 2р — x

Если х принадлежит сегменту [2р; 3р], то y = x — 2р

Если х принадлежит сегменту [3р; 4р], то y = 4р — x

Вообще, если, то y = x — 2рk

Если же, то y = -x + рk

Графиком функции является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (…) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример № 1. Преобразовать в арксинус сумму

Решение: эта сумма является суммой двух дуг б и в, где

;

В данном случае (т.к., а следовательно,), а также, поэтому.

Вычислив синус дуги г, получим:

Т.к. сумма г заключена на сегменте [-р/2; р/2], то

Пример № 2. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

Откуда

Пример № 3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга г оканчивается во второй четверти, т.к., а. Вычисляем

В рассматриваемом примере, так как дуги г и заключены в различных интервалах,

, а

В данном случае

Пример № 4. Представить дугу г, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

Обе дуги г и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть б и в — две дуги, заключенные в промежутке от 0 до р/2 (первая четверть):

, и

Сумма б + в заключена в верхней полуокружности, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т. е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;

Разность б — в заключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; р/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

Преобразуем в арккосинус, где и

Имеем:

Откуда

Аналогично

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

Выразить сумму через арксинус

По определению арксинуса

и ,

откуда

Для дуги г возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при и, имеем:

, и ,

откуда

При x > 0, y > 0 для дуги г имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив, получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т. е. или

Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов —x и -y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т. е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги г и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса), следовательно в случае 1;

в случае 2 и в случае 3.

Итак, имеем окончательно:

, или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y < 0, и

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на —x получим:

, или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1: если, то

Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0; р] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно,, откуда

Случай 2:. Если, то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если, а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1, в случае 2, следовательно,

,

, (3)

4. Аналогично

,

, (4)

пример:

5.

; xy < 1

; x > 1, xy > 1 (5)

; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

; xy > -1

; x > 0, xy < -1 (6)

; x < 0, xy < -1

7.

;

; (7)

;

8.

; (8)

;

9.

;

; x > 1 (9)

; x < -1

10. (10)

(11)

, если (12)

, если

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой