Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения второго порядка

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
114


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вопросы, связанные с сингулярными дифференциальными уравнениями давно привлекают математиков. Книга И. Т. Кигурадзе [25] положила начало в изучении сингулярных уравнений. Им систематически исследованы вопросы существования и единственности решения и зависимость решения от начальных данных и параметров для задачи Коши-Николетти, для задачи Балле Пуссена и для периодической задачи в сингулярном случае.

Теории сингулярных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) посвящено большое количество исследований. Отметим, в частности, работы Г. А. Бессмертных [12], Н. И. Васильева, Ю. А. Клокова [17], Р. Г. Гра-бовской [18], И. Т. Кигурадзе [25], И. Т. Кигурадзе, Б. Л. Шехтера [26], А. И. Шиндяпина [47], [48], С. М. Лабовского [36], [37], Н. В. Азбеле-ва, Л. Ф. Рахматуллиной [52] и Е. И. Бравого [13], [14], [15]. В работах Пермского Семинара были завершены основы нового раздела Анализа, получившего название & quot-Теория абстрактного функционально-дифференциального уравнения& quot-. Большинство результатов этих исследований систематизированы в монографии [52] и обзорных статьях [1], [6], [8], [49], [50]. Эта теория открыла новые возможности изучения широкого класса сингулярных уравнений как обыкновенных дифференциальных, так и фу нкционально-д иф ф еренциа льных.

В рамках теории ФДУ к этим задачам возможно применение единого подхода, основанного на построении специального пространства Б решений, в котором данная сингулярная задача становится регулярной [52]: к ней становится возможный применить стандартные приемы и методы исследований ФДУ. Такой подход был впервые использован в работах С. М. Лабовского [36], [37], А. И. Шиндяпина [47], [48], Е. И. Бравого [13], [14]. В предлагаемой диссертации развиваются идеи упомянутых работ.

Прежде чем перейти к описанию полученных результатов, сформулируем некоторые положения теории абстрактного ФДУ, которые положены в основу нашей работы. Центральным понятием теории АФДУ является понятие банахова пространства D функций х: [0,1] -R1, изоморфного прямому произведению В х Rn, где В — банахово пространство функций г: [0,1] -> R1. Если В = Lp, п = 2 и изоморфизм J =f {Л, Y}: LpxR2 -> D определяется равенством

Az)(t) М j (t — s) z (s) ds, (Y0)(t) M ?31 + (5l — *), о то элемент x 6 D имеет представление t x (t) = J (t — s) z (s) ds + (31 + /3 1 — t), 0

C и мы имеем дело с соболевским пространством D = Wp — традиционным при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общая схема регуляризации сингулярных задач для ФДУ

Сх — f выглядит следующим образом. Выберем такое банахово пространство В функций, чтобы при любых ^ G В и, а Е R^ краевая задача

Cqx = Z, lx = а для линейного & quot-модельного"- уравнения Cqx = z имела единственное решение ж, которое записывается в виде формулы Грина (см. [7], [51], [52]) х = Wz + Ua.

Пространство функций D определяется равенством D = WB (& UHN. Если оператор С действует из пространства D в пространство В, причем оператор CW: В -> В обратим или хотя бы фредгольмов, то уравнение Сх — f перестает быть сингулярным. Отметим, что свойство фредгольмовости & quot-главной части& quot- (стр. 13) характеризует важные внутренние особенности уравнения. Условия, при которых справедлива альтернатива Фредголь-ма для двухточечной краевой задачи с сингулярными точками на концах отрезках, сформулированы для линейного ОДУ в работах И. Т. Кигура-дзе [25], И. Т. Кигурадзе и Б. JI. Шехтера [26], А. Г. Ломтатидзе [38], а для линейного ФДУ в статье И. Т. Кигурадзе и Б. Пужа [55]. Фредголь-мовость различных видов линейных функционально-дифференциальных операторов с сингулярными точками на концах отрезка установливалась в работах С. М. Лабовского [36], [37] и А. И. Шиндяпина [47], [48].

А. И. Шиндяпин [47] изучал уравнение

Сх = х — Sx — Кх — Ах (а) = f с неограниченным оператором S: L -> Li внутренней суперпозиции (стр. 41) и неограниченным интегральным оператором К: Li -> Li. Таким образом, в пространстве абсолютно непрерывных функций это уравнение сингулярное. А. И. Шиндяпин строит пространство В, более узкое, чем Li таким образом, что оба оператора S и К в этом пространстве ограничены. С. М. Лабовский [36], [37] изучает уравнение

Cx)(t) М /(1 — t) x (t) + p (t)(Shx)(t) = f (t), t G [0,1], с измеримым h и суммируемыми p, /. Если рассматривать это уравнение в пространстве Wf, то главная часть оператора С не является даже нёте-ровым оператором. С. М. Лабовский строит специальное пространство D ~ Li х R2. При таком выборе пространства D оператор С: D -> Li становится нётеровым.

В теории ОДУ хорошо известна теорема Штурма о разделении нулей [41, с. 167−169], [44, с. 135] решений линейного однородного уравнения и теорема Балле Пуссена [53] о дифференциальном неравенстве. Часть диссертации посвящена исследованию условий однозначной разрешимости и знакоопределенности функции Грина краевой задачи Штурма-Лиувилля для сингулярных ФДУ второго порядка. Указанные вопросы изучены и освещены в журнальной и монографической литературе в случае задачи Балле Пуссена для некоторых типов уравнений с отклоняющимся аргументом, а также более общих ФДУ (напр., [2], [37]).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе получены условия сохранения знака функции Грина для сингулярного ФДУ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Остановимся здесь на некоторых возможностях дальнейшего развития полученных в диссертации результатов.

Следуя работе [52], сингулярным линейным ФДУ второго порядка назовем любое уравнение вида

C0x)(t) — (Tx)(t) = /(/), f€[0,l], где линейный оператор Cq: W2 -> Lp не является нётеровым оператором, а линейный оператор Т: W* -> Lp (или оператор Т: С -> Lp) ограничен. В качестве модельного уравнения представляется интересным выбрать сингулярное ОДУ вида

C0x)(t) = ?ai (l — t) a2x (t) + b (t)x (t) + c (t)x (t) = z (t), t e [0,1].

При этом, если степень сингулярности а& gt-1 + Ot-I выше единицы, то можно воспользоваться аналогами пространств В^'& quot-, а также пространством LJ.

В качестве модельного уравнения можно брать ФДУ вида (Cox)(t) тг (t)x (t) — (Sx)(t) = z (t), t e [0,1], где

Sx)(t) =? bk (t)xhk (t), k=1 bk, hk: [0,1] -^ R1 — измеримые функции. Системы ФДУ аналогичного вида были изучены в работах А. И. Шиндяпина [47], [48]. Представляется интересным исследовать свойства оператора S в случае пространств В^'& quot-.

Представляется интересным и важным распространение идей и результатов диссертации, а также результатов А. И. Шиндяпина, С. М. Лабов-ского, Е. И. Бравого и других авторов на сингулярные линейные ФДУ выших порядков.

Было бы интересно применить другие методы исследования на разрешимость квазилинейных сингулярных краевых задач для ФДУ. Упомянем, например, принцип Лерэ-Шаудера, технику монотонных (по Минти-Брауэру) операторов, топологические методы.

ПоказатьСвернуть

Содержание

Основные обозначения

ГЛАВА I. МОНОТОННОСТЬ ОПЕРАТОРА ГРИНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 1.1. Пространство Б^'6.

§ 1.2. Условия сохранения знака функции Грина сингулярных краевых задач с изотонными операторами.

§ 1.3. Условие & quot-А"- в исследовании монотонности операторов Грина сингулярных краевых задач в общем случае.

§ 1.4. Операторы Грина модельных задач.

§ 1.5. Пространство

ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСУММИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ

§ 2.1. Сингулярная краевая задача в пространстве Теоремы вида теоремы

Балле Пуссена.

§ 2.2. Пространство

§ 2.3. Критерии компактности в пространстве В^.

§ 2.4. Сингулярная краевая задача в пространстве 1)^'". Теоремы вида теоремы

Балле Пуссена.

ГЛАВА III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 3.1. Теорема вида теоремы Нагумо для сингулярной задачи в пространстве Б^'

§ 3.2. Об одной сингулярной краевой задаче в пространстве

§ 3.3. О задаче, возникающей в теории химического реактора.

§ 3.4. Об одной нелинейной задаче с несуммируемой особенностью в пространстве

Список литературы

1. Азбелев Н. В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1994. № 6. С. 8−19.

2. Азбелев Н. В., Дейфт В. А. Условия неосцилляции и необращения в нуль вронскиана для уравнения с запаздывающим аргументом // Труды ин-та химического машиностроения. Тамбов, 1971. № 6. С. 28−29.

3. Азбелев Н. В., Домошницкий А. И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах. I // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 376−384.

4. Азбелев Н. В., Домошницкий А. И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 6. С. 923−931.

5. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. № 3. С. 417−427.

6. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. К абстрактной теории линейного уравнения // Функц. -дифференц. уравнения: Сб. научн. тр. / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1989. С. 15−27.

7. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина JI. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

8. Азбелев Н. В., Рахматуллина JI. Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 5. С. 771−797.

9. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. Об оценке спектрального радиуса линейного оператора в пространстве непрерывных функций // Изв. вузов. Математика. 1996. № 11. С. 14−22.

10. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф., Терентьев А. Г. «У-метод в исследовании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тр. Тамбовск. ин-та хим. машиностроения. ТИХМ. Тамбов, 1970. Вып. 4. С. 60−63.

11. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель 3. Г. Функциональный анализ. Киев: & quot-Выща школа& quot-, 1990. 600с.

12. Бессмертных Г. А. Несколько замечаний к вопросу о существовании решения у сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференц. уравнений. Киев, 1964. Вып. 2. С. 23−32.

13. Бравый Е. И. О выборе области определения сингулярной дифференциальной операции // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм-ПИ. Пермь, 1991. С. 12−19.

14. Бравый Е. И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 1. С. 26−34.

15. Бравый Е. И. Линейные функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями: Дис. канд. физ. -матем. наук. Пермь, 1996. 107 с.

16. Васильев А. В., Ермаков А. Е., Колосов С. В., Колосов А. И. Об одной задаче теории химических реакций // Математическая физика и нелинейная механика.: Киев. 1987. № 8. С. 35−39.

17. Васильев Н. И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: & quot-Зинатне"-, 1978. 184 с. и

18. Грабовская Р. Г., Диблик И. О сингулярных уравнениях п ого порядка, не разрешенных относительно производной // Функц. анализ инекоторые вопросы качественной теории дифференц. уравнений. Саранск, 1976. С. 103−105.

19. Гризанс Г. П. Об одной краевой задаче для уравнения с несуммируе-мой особенностью // Лат. мат. ежегодник. 1985. Вып. 29. С. 22−35.

20. Данфорд П., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 896 с.

21. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 448 с.

22. Исламов Г. Г. Об оценке спектрального радиуса линейного положительного вполне непрерывного оператора // Функц. -дифференц. уравнения и краевые задачи матем. физики: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т, Пермь, 1978. С. 119−122.

23. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

24. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полупорядоченных пространствах. М.: Государств, изд-во тех. -теоретич. лит-ры, 1950. 548 с.

25. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1975. 352 с.

26. Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнении // Итоги науки й техники. Со-временные проблемы математики: Новые достижения. 1987. Т. 30^ С. 105−201.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

28. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 394 с.

29. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

30. Красносельский М. А., Стеценко В. Я. О некоторых задачах, имеющих много решений // Сиб. матем. журн. 1963. Т. IV, № 1. С. 120−137.

31. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

32. Функциональный анализ / Под общей ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. 544 с.

33. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интегральные линейные операторы. М.: Наука, 1978. 400 с.

34. Кудрявцев Л. Д. Функциональные пространства со степенным весом // Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, № 6. С. 1317−1322.

35. Кухта Г. М. Замечание по поводу условий Ь* и Ь** Н. В. Азбелева // Ученые записки Кишинёвского ун-та / КГУ. Кишнев, 1957. Т. XXIX (физ. -матем.). С. 49−52.

36. Лабовский С. М. Положительные решения двухточечной краевой задачи для линейного ФДУ // Функц.- дифференц. уравнения и краевые задачи матем. физики: Межвуз. сб. науч. тр. Перм. политехи, ин-т, Пермь, 1985. С. 39−45.

37. Лабовский С. М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, N° 10. С. 1695−1704.

38. Ломтатидзе А. Г. Об одной краевой задаче для нелинейного обыкно-венногодифференциального уравнения с сингулярностями // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 3. С. 416−426.

39. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 519 с. 41

Заполнить форму текущей работой