Аналитическая математика

Тип работы:
Контрольная
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Задача № 1

Пусть. Найти:.

Решение.

Задача № 2

Исследовать функцию и построить ее график:.

Решение.

1) Область определения данной функции — вся числовая ось, т.к. дискриминант знаменателя, то он не обращается в нуль ни при каких значениях x.

2) Исследуем функцию на четность:, т. е., т. е. данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

— точка пересечения с осью , — с осью.

4) Асимптоты.

Т.к. функция определена на всей числовой прямой, то- вертикальных асимптот нет.

— наклонных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:

— горизонтальная асимптота при

5) Экстремумы, промежутки возрастания и убывания.

Исследуем ее на возрастание и убывание на каждом промежутке:

-20

0

-

0

+

0

-

6) Промежутки выпуклости, точки перегиба.

Уравнение не имеет рациональных корней. Корни ищем приближенно. Подбирая первый корень, получим, что при остаток равен 0,5 385, т. е. практически равен нулю.

Разделим трехчлен на:

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

Вычислим значение функции в каждой полученной точке и округлим полученные значения:

Устанавливаем промежутки выпуклости графика функции и находим точки его перегиба.

-29,77

-2,71

2,48

-

0

+

0

-

0

+

-0,02

0,33

0,4

Выпукла вверх

Точка перегиба

Выпукла вниз

Точка перегиба

Выпукла вверх

Точка перегиба

Выпукла вниз

Схематичный график данной функции:

Задача № 3

Найти пределы.

Решение.

а)

т.к.

б)

т.к.

Задача № 4

Найти производные.

Решение.

Задача № 5

Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой и осью.

Решение.

Данная кривая является параболой с вершиной в точке, осью симметрии и пересекает ось в точках.

Чтобы найти площадь, выразим сначала y через x:

Площадь найдем как удвоенный интеграл по верхней части кривой:

.

Ответ: Площадь фигуры ограниченной кривой и осью равна.

Задача № 6

Вычислить интегралы.

Решение.

Задача № 7

Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение.

Задачу решим по формуле Бернулли.

У нас:.

Значит.

Ответ. Вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы, равна 0,2304.

Задача № 8

Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.

Решение.

а)

б).

в).

г).

Задача № 9

Используя данные распределения по возрасту лиц, осужденных за тяжкие телесные преступления, вычислить следующие характеристики вариационного ряда: объем совокупности, относительные частоты, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, максимальное и минимальное значение ряда, вариационный размах.

Таблица 1.

Возраст в годах, X

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

28

30

Число осужденных, m

3

5

8

10

8

6

5

4

3

2

4

2

1

Решение.

Объем совокупности равен 61, максимальная величина — 30, минимальная — 16, вариационный размах: 30 — 16 = 14.

При нахождении остальных характеристик, результаты вычислений будем заносить в таблицу 2. Чтобы найти относительную частоту, делят частоту данной варианты (графа 1) на объем совокупности, т. е. на. Результаты заносим в графу 3. Сумма относительных частот равна 1.

Таблица 2.

x

m

Относительные частоты

Среднее значение,

k

Дисперсия

1

2

3

4

5

6

16

3

0,4 918

0,786 885

0,234 614

1,119 226

17

5

0,81 967

1,393 443

0,309 057

1,165 296

18

8

0,131 148

2,360 656

0,363 343

1,6 639

19

10

0,163 934

3,114 754

0,290 245

0,513 876

20

8

0,131 148

2,622 951

0,101 048

0,77 857

21

6

0,98 361

2,65 574

0,22 575

0,5 181

22

5

0,81 967

1,803 279

0,100 779

0,123 909

23

4

0,65 574

1,508 197

0,146 197

0,325 948

24

3

0,4 918

1,180 328

0,158 828

0,512 937

25

2

0,32 787

0,819 672

0,138 672

0,586 516

26

4

0,65 574

1,704 918

0,342 919

1,793 295

28

2

0,32 787

0,918 033

0,237 033

1,713 632

30

1

0,16 393

0,491 803

0,151 303

1,396 456

У

61

1

20,7705

2,59 661

10,34 077

Дисперсию находим по формуле. Для этого в графу 6 заносим квадраты разностей отклонений, умноженные на соответствующие частоты и поделенные на объем совокупности. (Разность графы 1 и среднего значения возводим в квадрат, умножаем на графу 2 и делим на 61). Например, первая строка:. Затем суммируем по столбцу и получаем значение дисперсии:.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, у нас.

Коэффициент вариации найдем по формуле:. В графу 5 будем заносить результаты деления на объем совокупности абсолютной величины отклонения, умноженную на соответствующую частоту. (Абсолютную величину разности графы 1 и среднего значения умножаем на графу 2 и делим на 61). Например, первая строка:.

Получили

Ответ. Объем совокупности равен 61, максимальная величина — 30, минимальная — 16,

вариационный размах — 14, относительные частоты — графа 3 таблицы 2, дисперсия ,

среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой