Представление целых функций рядами экспонент с показателями на конечном числе лучей

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
109


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

В работе будут изложены результаты, относящиеся к представлению во всей плоскости целых функций (ъ) порядка рядами экспонент V f^)-ак е (1)

К-1 с учетом роста функции 2 R?> lJ

А.Ф. Леонтьевым [II установлены следующие формулы для представления целых функций рядами (I). ос '

Пусть Ск? К ~ Челая Функция j к=о

СЮ (К-2) К& mdash-1

K-l

JU? оо р Vv-0

Г — замкнутый контур, на котором, а? лежит внутри Г).

По определению rWL), если оо

LlCKKlf'^oM+liwf ?0M±+|jMKlfW|)4oo

K=V

Доказано, что если ft& GCflyl) (4(i) имеет порядок или меньше J3 или равный J3, но тогда тип меньше 6, а LMGCPtAl, где ±

Pi то f (VigML). При условии имеет место основная (|о?мула:

0 оо о. ч 1 г ujlWT) е, , V" V, А imJ й^ c, Jv|=-2 f co) AM (a.

Также имеет место теорема о разложении. Приведем ее для случая f (2)6 ["Pi^ j LW^tPij& il, при выполнении условий (4).

Будем предполагать, что у функции вее нули простые.

Теоремаор, а з л о ж е ни и& raquo- Пусть функция удовлетворяет условиям

К-* со ЮкI имеются окружности = с*3 такие, что dim j wii> i|LMl= + < *> (б)

К-юо гк Тогда во всей плоскости

В l установлено также, что любую целую функцию можно представить во всей плоскости рядом (I), причем показатели можно выбрать, лежащими на трех лучах (число лучей уменьшить нельзя).

В последующих работах по представлению целых функций во всей плоскости рядами экспонент А. Ф. Леонтьевым получены результаты о представлении целых функций рядами (I) с учетом роста функции (2). В [21 доказано, что если ^{Ъ) имеет порядок р, и тип 6, О ^ 6 < 00, то существуют ft к такие, что имеет место представление (I) и функция (2) имеет порядок JD и тот же тип b. В [Ъ (см. также [41) исследован следующий воп -рос: Пусть имеет порядок и индикатрису роста

ЫЦтг^) ш г- С*э ТР

Можно ли подобрать так, чтобы имело место разложение (I) и функция (2) имела порядок р и индикатрису роста ^(ф)? Дан следующий ответ: Положим к-1 предполагается, что ряд сходится во всей плоскости, и ескДML = 0, Ц (ч>)< со. h-" оо

Пусть Ар — класс функций М, Bp — класс функций ни. Тогда выполняется Bp С Ар, причем имеются функции ^(Ф)^-О, которые не являются функциями ИМ) из класса Bp, и имеет место основнаятеорема. Для данной функции ЬЦЧО^Вр, Н (Ч*)>0 я и данного ?>0 существует последовательность Лк со следующим свойством: каждая ^ (& quot-Н) с индикатрисой роста разлагается в ряд оо s С гтгд) UM > причем

00 X «3

F (-2V^laK е I

— -ir ' urn

Для доказательства этой основной теоремы А. Ф. Леонтьевым были сконструированы новые формулы. Приведем их. оо р& mdash-

Пусть LW=2. Ск^ принадлежит классу ГРь it"! к-о ^

Функция ^^(tyJVl) ассоциирована с LM по функции Ьр^(2JW1) (Функция f^^ («2: JVt») j- это функция типа Миттаг-Леффлера). Она регулярна при lt|> Обозначим индикатрису роста функции L,(h). Будем предполагать, что при всех Ч*.

Рассмотрим кривую & lt-Р L

При большом она лежит в области Itl^ Ot. Будем уменьшать величину (X до тех пор, когда кривая не соприкоснется с особенностями функции ^(t,^. Пусть соприкосновение про -изошло, когда 61"& 0-. Показывается (см. [5 стр. 335]), что если рЦ-ЧЬ^О, то К (Ч> о") = Й. Функция KW) назы -вается опорной функцией, а кривая

— опорной кривой. При нашем предположении всегда

KW = • При изменении У область З^у, ограниченная кривой (7) (области принадлежит отрезок луча = ^ от точки с 00) заметет внешность некоторой замкнутой конечной области оО. Область оО — наименьшая — выпуклая область, содержащая все особенности функции. Кривая (7) — опорная кривая области с& pound-) — - опорная функция области. Заметим, что при условии всегда.

Пусть также

ОО

W1 т=о ^ т~ о

Введем функции со

-т-о оо к + 1 к=о ^ Ак (В) взяты из формулы (3)).

Функции и регулярны вне множества cL). Обозначим через класс целых функций ^ таких, что ФШ регулярна на.

Для функций из класса f (i) положим где С — замкнутый контур, охватывающий Д, на котором и внутри которого аналитическая функция.

Для функций из класса ЕГ (1Л имеет место основная где — замкнутый контур, на котором Ц^ФО и С — замкну -тый контур, охватывающий 5), на котором и внутри которого (t1 аналитическая функция, итео? емао?азложении: Пусть у функции все нули (Ч — простые и она удовлетворяет условиям (5) и

6). Тогда для функций из класса E (L) в0 всей плоскости имеет место представление оо

Это представление и позволяет доказать основную теорему, которая была сформулирована выше.

Замечание. В [3] при условии 00 «гДе ftrgg-^' (y=i/'2,3) -лучи, удовлетворяющие условию: углы между соседними лучами меньше ТГ, установлено неравенство

2 1Йк1 е & lt-Ае 7 а < со, а < оо и отмечено, что если^^!, то на основании этого неравенства получаем, что все, начиная с некоторого, равны нулю. Этот случай неинтересен. Поэтому мы также, как в [3 будем считать, 4toJ)>1.

Приведем теперь основные результаты, содержащиеся в данной работе. Эти результаты, как отмечено ранее, относятся к представлению целых функций во всей плоскости рядами (I) с учетом роста функции (2) в случае, когда показатели расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат.

В первой главе сначала будет построено специальное беско -нечное произведение, все нули которого простые и расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат& raquo- Эти нули будут являться показателями в представлении (I). Для специального бесконечного произведения будут доказаны точные оценки сверху и снизу. Построение и оценка специального бесконечного произведения будут основаны на сравнении с линейной комбинацией функций типа Миттаг-Леффлера, для которых будет установлено распределе -ние ее нулей и доказаны точные оценки сверху и снизу.

Напомним, что под функцией типа Миттаг-Леффлера понимается функция

Ео -*-

А fco Г^) где Д& gt-0, ji/| - вообще комплексный параметр (см. [5, стр. 117]).

Распределение нулей функции fp (H-Ji/0 в случае jv|=l впервые исследовал Виман [6] - случай & mdash-О рассмотрели

М.М. Джрбашян и А. Б. Нерсесян [7] (см. также [5]).

Уточним, какую линейную комбинацию мы имеем в виду. Для этого введем понятие р^ - выпуклого многоугольника. Под Д — выпуклым многоугольником будем понимать замкнутое ограниченное множество (у, являющееся пересечением конечного числа множеств 6& quot-к • k=I где (у — замкнутое множество, ограниченное кривой Ск: i J5 т-(-йк-1 | jr ^ (8)

CoifrW-*^, Kl 2ft (Kl, t. причем отрезок [ О, (Zk^I принадлежит (ук. lVk n

Точка = (0?4/i< % ¦ 2^) является вершиной (у, если она принадлежит двум различным кривым Ск и Ск+1 (К= 1,2,., р- Cp+i'Ci). Необходимо должно выполняться условие

Vi"4/Kр+1=Ч>1 + 2?0.

Пусть fK^l. V-. P') -вершины J^ выпуклого многоугольника (у. Речь пойдет о распределении нулей функции

M (i)=Y АкЕр (ЯкЗ-^, AK+0, W

В случае р = 3 j дк = 1, ^ Pi 4 г РаспРе ~ деление нулей установлено А. Ф. Леонтьевым (см., например, [I, стр.

506−512]). ПриД = 1, JM=1 функция М[{~& pound- представляет собой квазиполином

Ак е

K=t

Этот случай также исследован А. Ф. Леонтьевым (см. [I, CTp. 5I-57j), Относительно распределения нулей функции (9) в § I первой главы будет доказана следующая теорема.

Теорема 1,1. Для функции (9) при Р^ 1 (о? Q) справедливы следующие утверждения:

1) вдали от начала координат все нули ~ простые-

К-)

2) вдали от начала координат нули Л! (2), обозначим их имеют вид б (тгМ- к= 1,2,., р) где (Х^ - ось симметрии кривой С к, проходящей через вершины m) — + ck + 0[e 1 j po, о jijf -ift^ чп

J5k=---e >0, Л

С — L /?"/ AK 3K AKtl ^

1, A LPt"KK

Vt = e —

3) имеет место оценка

М (ге1Ф)|< s v’lT", Г> Г0 где

ШЧfCoW i

4) при некотором кружки K^f '. I"?-(< о (

•< -i, 2r., рVA^fif) не пересекаются и вне кружкоз выпол няется оценка р те^ЬЪт^ гШт1 ¦ г, г..

• Ю

5) в нулях — I? m выполняется

Г)> С1? Г! ехр[М)СП. р — А/)

Как видно из теоремы I. I нули функции (9) располагаются с томностью до Ск + 0(6 ' на р — лучах, выходящих из начала координат, В теореме 1. 3, доказанной в § 3 первой главы, у построенного специального бесконечного произведения все нули ¦ простые и лежат на р ~ лучах, выходящих из начала координат. Приведем конструкцию специального бесконечного произведения и теорему 1.3. -ц/р

Пусть

— вершины некоторого j)^ - выпуклого многоугольника^ С >0. Введем точки 1 к) /2fTi< (m + cK)) fl Л. у ft ft-ft ' (к-1,2,. p w-1,2,.) где CK>0 (, P) р

Г Ск-С? при р — четном- к=1 р Ск~С + 4- при Р — нечетном К=1 точки W^ лежат на лучах-l.-.-.P j о (кось симметрии кривой (8), проходящей через вершины и Положим ^ i

Z TlwSf) mid-^er, (I0) ft1=1-к=1 ш где iPt — любой многочлен степени, если р — четное и степени, если р — нечетное- - некоторый много член степени, не превышающей [ $ =.

Положим также 9 ^ 1 I

Теорема 1.3. При подходящем многочлене ft) функция (10) удовлетворяет условиям:

Л -с

I) |jWАг е, г> т0-

2) вне непересекающихся при малом d>0 кружков К^ lU-WSfkollwD11 (K-1. 2L, — Р-, m^iAr-)

К) ^

3) в точках I? выполняется оценка

Отметим, что при L и С~0 специальное бесконечное произведение с простыми нулями на р — лучах построено А. Ф. Леонтьевым (см. fl, стр.

57−621).

Отметим, что И. С. Шрайфелем [8] для любой наперед заданной

ТГ системы лучей, угол раствора между которыми меньше -q, постро

01 ена целая функция с положительной индикатрисой и правильно рас -пределенным множеством нулей, расположенных на этих лучах и ле -жащих вне заданного множества нулей относительно меры. При этом оценки модуля роста функции сверху и снизу и модуля производной в нулях у этой функции, более грубые, чем у построенного нами специального бесконечного произведения.

Перейдем теперь к разложению целых функций в ряды экспо -нент. Результаты по разложению будут доказаны во второй главе. Отметим (см. [з!), что если все показатели Лк расположены на луче (ЗГСр = (~Ро и

Ш--р-, Г (г)=У ldK е

Г-*- со Т: к-1 то ш-р-- = 60 ч& gt-6). у-& gt- со Т& quot-^ п

Таким образом Н (Ф)= До Со$? Dp.

Сформулируем теорему, которая определяет класс целых функ ций, разложением которых в ряды (I) с учетом роста функции (2) мы будем заниматься. Эта теорема будет доказана в § I второй главы.

2Л (прямая). Пусть целая функция и

Zvv fi /V" 2 порядка Р > 1 представляется во всей плоскости рядом р СТО dm 6 } (II) где расположены на конечном числе лучей (ЗГ^З-^к f0 64"t< 4"4-?. ^ 4& gt-р<- 27 Г к=1,г,. pi) причем jl 1 и выполняется оценка л& trade- г,.. C^caV^V со

К) г I л сА — - аЛе 1& lt-Аг е, & laquo-з)

Тогда все особенности функции

•Wfl-f л t «

ИИ-О ассоциированной с ^(2) по функции Ер (^ i ^ лежат в замкнутой области, ограниченной дугами кривых I к 1 r= t (4,-4W)'Pl (K=i, 2,., P) — (14) вблизи границы при функция непрерывна вплоть до границы & lt-Э).

Замечай ие. Индикатриса роста функции (II) при условии (13) не превосходит

Если функция vpt — имеет в качестве индикатрисы роста функ -цию (15), то особенности функции (t^, ассоциированной с по функции Ер ® «лежат, как показано в [3], в замкнутой области «ограниченной дугами кривых (14) и дугами кривых J

ПИ^. кривая касается кривых и). Отсюда следует, что если особенности лежат в, и имеются особеннности, которые не лежат в 5), то функцию нельзя представить рядом

II) с условием (13). Следовательно, пользуясь понятием индикат -рисы роста, нельзя описать класс функций, которые можно разложить в рад (II) с условием (13).

ОпределениеI. Пусть J) — SH 6к, Як') — мн0 жество, ограниченное дугами кривых (14) с условием (12). Через Е (< 6,00 обозначим класс целых функций порядка, для которых выполняется:

1) все особенности функции, ассоциированной с ^(?) по функции (X) лежат в JD —

2) вблизи границы

Теперь введем класс функций определяемый по классу Е, который будет нужен для конструирования фор мул разложения целых функций в ряд экспонент, Пусть

— замкнутая область, ограниченная дугами кривых ^ с условием (12). Через EYe. c) —

2) обозна чим класс целых функций ^(S) порядка J>t i Для которых выполняется:

1) все особенности функции, J^^O f ассоциированной с по функции, лежат в (у —

2) если

— индикатриса роста LM «то выполняется уело. л -с

3) все нули Л к функции

ИХ) — простые. Отметим, что в силу условия (12) 0? (у ] и класс Е ((у, не пуст в силу теоремы 1,3.

Приведем основные формулы разложения. Пусть

Е*((г, с) оо оо vY}=0

Положим

А /4- л, Л P™ I feo Г (Uw (ju)r (Ти + м) m+i m-o t oo v/f -j г-, Ак (г)Г (1+^1)

K-0 взяты из разложения (3)). t и do

W) И ju, t, JMt) — И — ая производная функции кЛ

— П — ая производная функции

Yft.H.r. JMO. (1в)

В § 3 второй главы будет доказано, что функция (16) при

1 = [оО, + регулярна в (5″ и непрерывна вплоть до границы (J, а в § b будет доказано, что функции (17) и (18) при регулярны вне (у и непрерывны вплоть до границы (у.

Имея это в виду, положим

W. JMt^nft^lWt. (19)

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 2.2. Пусть j (K)€ Е (S", ^ • • Тогда имеет место формула т -i где C/J^fjU. f) имеет форму (19).

1Leopej

ШеЕ (g. rt и для функции ш выполняются условия

5) и (б). Тогда во всей плоскости

00 A TL

Теорема 2.2. будет доказана в § 5, а теорема 2.3 — в § б второй главы.

Отметим, что для интерполирующей функции при условии if -¦

Е (60, о0- LM^ Е ((г, О имеет место оценка, доказан -нал в § б второй главы.

Pt"1

Установлено, что если в качестве функции

LW взять функцию, построенную в теореме 1. 3, где + ^^ удовлетворяющую условиям (5) и (б), то получим обратную основ -ную теорему 2. 4, доказанную в § 7 второй главы.

Теорема 2Л (обратная). Пусть Тогда для любого Е^О существует последовательность показателей ft^j (К-1,2 Г., р, М -1,2,.-.) ^ расположенных на лучах = 1Д,. р), такая, что во всей плоскости причем ji = oCpt|p Г> Г" (к=1,2,. p).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях

121 — [Ь] •

Настоящая диссертация выполнена под руководством член-кор -респондента АН СССР А. Ф. Леонтьева, которому автор глубоко признателен за постановку задачи и обсуждение результатов.

1. Тр. МИАН. I98I, т. 157, с. 68−89.k Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами по функциям

2. Миттаг-Леффлера. — ДАН СССР, 1982, т. 264, № 5, с. I3I3- I3I5.

3. Шрайфель И. С. Построение целых функций с положительными индикатором, приложения к представляющим системам и достаточным множеством. Деп. Ростов н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1983, 43 с.

4. Библиогр. 8 назв. (рус) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 29 февраля1984 г., № II41−84 Деп.)

5. J Иванов М. С. Распределение нулей линейной комбинации функций

6. Миттаг-Леффлера. — В кн.: Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, БФАН СССР, 1982, с. 35−43.

7. Иванов М. С. Построение специального бесконечного произведенияс заданным ростом. В кн.: Вопросы аппроксимации функций ве щественного и комплексного переменных. Уфа, Б$АН СССР, 1983, с. 81−92.

8. Иванов М. С. Специальное бесконечное произведение& raquo- Деп. Башк. ун-т, Уфа, 1984, 33 с. Библиогр. 2 назв. (рус.) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 9 апр. 1984 г., № 2134−84 Деп). 1. j Иванов М. С. Представление целых функций рядами экспонент

9. ДАН СССР, 1984, т. 279, № I, с. il-liO. (Jj6a. ioc^

ПоказатьСвернуть

Содержание

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНОЕ БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

§ I. Распределение нулей линейной комбинации функций типа Миттаг-Леф^лера

§ 2. Асимптотика вспомогательной функции

§ 3. Построение и оценка специального бесконечного произведения.

ГЛАВА П. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ

§ I. Доказательство теоремы 2.

§ 2. Формулы разложения в случае fraerpitt’rIftHCpUa

§ 3. Непрерывность функции Ф^ («t, L^i вплоть до границы (у.

§ 4. Непрерывность функций ^ (jW. tj/Mt) иЛ р

И (t, ? 1 «I J^ 1) вплоть до границы (у.

§ 5. Основная формула разложения при

LW6E*(f, 0 t < >

§ б. Теорема о разложении.

§ 7. Основная теорема

Заполнить форму текущей работой