Синтез і аналіз аналогових та на цифрових регуляторов

Міністерство вищої освіти російської федерации.

Кубанський Державний технологічний Университет.

Кафедра Автоматизації виробничих процессов.

Курсова работа.

По курсу «Теорія управления».

Тема курсової роботи: «Аналіз і синтез оптимальної одноконтурной САУ під час використання безперервного і цифрового регуляторов».

Виконав студент групи 96-ОА-61 номер залікової книжки.

96-ОА-612.

…

Перевірив профессор

…

Краснодар 1999.

РЕФЕРАТ.

Курсової робота. ___ аркушів, ___ малюнків, ____таблиці, ____ джерела, ____ приложение.

Передатна функція, перехідна функція, регулятор, фіксатор нульового порядку, оптимальне управління, цифровийфильтр.

У цьому курсової запропоноване синтезувати і проаналізувати роботу одноконтурной САУ під час використання безперервного і цифрового регуляторів, що реалізують П-, ПІі ПІДзакон регулювання. Оптимізація САУ проводиться у разі критерію максимальної динамічної точності. У завершенні був цифровий фільтр, який би переклад системи вже з стану до іншого за мінімальне число періодів квантування при наявності обмеження на управляючі воздействие.

|Введение | | |1 Визначення параметрів оптимальної настройки регуляторів | | |2 Перехідні процеси в замкнутої системі під час використання | | |безперервного регулятора та його аналіз | | |3 Визначення періоду квантування цифрового регулятора та її | | |параметрів настройки | | |4 Аналіз стійкості САУ критерієм Джури і його побудова | | |перехідних процесів в цифрових системах | | |5 Розрахунок цифрового фільтра | | |6 Оптимальний управляючі поєднання реакція нею | | |наведеної безупинної частини | | |Укладання | | |Список літератури | | |Додаток, А | |.

Розвиток всіх галузей техніки на цей врамя характкризуется широкої автоматизацією різних виробничих процесів. У цьому звільняється працю людини, підвищується точність і швидкість виконання операцій, що значно підвищує продуктивність производства.

Автоматизація забезпечує роботу таких об'єктів, непосредственое обслуговування людиною неможливо через шкідливості, віддаленість чи швидкого перебігу процесса.

Нині різко зростає виробництво різного устаткування автоматизації промисловості, і навіть впроваджуються нові типи автоматичних устроиств, засновані під час останніх досягненнях науку й техніки. Ефективне використання автоматики в народному господарстві можливе лише за умови раціонального вирішення завдань всіх етапах її розробки та освоєння. Найбільш відповідальним етапом під час проектування систем автоматизації був частиною їхнього синтез, розрахунок і подальший аналіз, котрі з сьогодні базуються на теорії управління. Ця наука дозволяє як знайти параметри, у яких система працює стійко, різні якісні показники системи, але й оптимізувати систему раціональнішого використання різних ресурсов.

1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ.

Визначення оптимальних параметрів настройки П, ПІ, ПІД — регуляторів виробляємо по розширених амплитудно-фазовым характеристикам.

Розширеної амплитудно-фазовой характеристикою ланки або системи називають ставлення вектора гармонійних змушених затухали коливань на вході до вектору гармонійних затухали коливань на входе.

Існують два показника ступеня затухания:

(- відносна ступінь загасання; m — логарифмический зменшення загасання, пов’язані між собою наступним далі соотношением:

[pic], (1.1).

З попередньої формули (1.1) визначаємо значення логарифмічного декремента загасання m:

[pic], (1.2).

Система автоматичного управління володітиме необхідної відносної ступенем загасання, якщо розширена амплитудно-фазовая характеристика розімкнутої система автоматичного управління буде проходити через точку на комплексної площині (-1, j0), т. е.

Wp (m, j ()* Wo (m, j () = -1, (1.3).

или.

— Wp (m, j () = 1/ Wo (m, j (), (1.4).

Для отримання розширеній амплитудно-фазовой характеристики необхідна за передатну функцію подставить:

p = -m (+ j (= ((j-m).

Малюнок 1.1 Структура схеми безупинної САУ.

Передатна функція нашого вихідного об'єкта має наступний далі вид:

[pic], (1.5).

[pic].

[pic], (1.6).

Формула (1.6) є инверсную розширену амплитудно — фазової характеристику обьекта.

[pic].

Оскільки заданое значення (= 0.96, то формулі (1.2) визначимо значення m і підставимо їх у попередню формулу розширеній амплитуднофазової характеристики, m = 0.512.

[pic].

Перш ніж, як визначити оптимальні параметри настройки П, ПІ, ПІД регуляторів знайдемо частоту зрізу нашого обьекта.

Частота зрізу — це таке значення частоти w = wc, у якому значення амплітуди не вдома на перевищувало б 3% від амплітуди за нульової частоте.

Запишемо вираз амплитудно — фазової характеристики нашого обьекта:

[pic], (1.7).

Амплитудно-фазовую характеристику об'єкта можна знайти з такої формулы:

[pic], (1.8).

де Re (w) — речовинна частина амплитудно-фазовой характеристики;

Jm (w) — мнима частина амплитудно-фазовой характеристики.

[pic].

При нульової частоті значення амплітуди одно 3.1. Отже необхідно знайти таке w = wс, щоб [pic] = 0.03*3.1 = 0.093.

Отже необхідно расчитать уравнение.

[pic], (1.9).

Рішенням цього рівняння і те, що ми бачимо такі параметри w = 0.417, отже й wc = 0.417.

Для опреления оптимальних параметрів регулятора вирішити рівняння (1.6). Прирівнявши речові й удавані частини вчених у рівнянні (1.6), можэно отримати розрахункові формули визначення параметрів регуляторів [4, ст 250]:

— П — регулятор:

[pic].

— Пі - регулятор:

[pic].

— Під — регулятор:

[pic][pic].

де С0 = 1/Tu;

C1 = Kp;

C2 = Tg.

Для ПІД — регулятора маємо два рівняння із трьома невідомими, тоді задаємось отношением:

[pic],.

І тут розрахунок формули для ПІД — регулятора приймає наступний далі вид:

[pic].

де, а = w (m2+1);

[pic];

[pic].

Розрахунок оптимальних параметрів настройки для П — регулятора представлений наступним образом:

[pic], (1.10).

З другого рівняння системи (1.10) знайдемо w і підставимо це значення до першого рівняння системи. За позитивного рішення одержав, що w = 0.354 і оптимильными параметрами настройки П — регулятора є значення Кропт = 1.01.

Розраховуємо оптимальні значення параметрів настройки для ПІ - регулятора.

До кожного значення частота від 0 до частоти зрізу знаходь точки С1С0 і С1, відповідні необхідної ступеня загасання (. Оптимальним параметром є є точка на лінії, однаковою мірою загасання С1С0 = f (С1), лежащия праворуч від глобального максимуму. Ці параметри обеспечивают:

[pic].

Отже, запишемо далі таку систему рівнянь для Пі - регулятора:

[pic][pic], (1.11).

Таблиця 1.2.

Дані до розрахунку оптимальних параметрів настройок ПІ - регулятора.

|w |C0 |C1 |C1C0 | |0 |0 |-0.323 |0 | |0.1 |0.029 |0.117 |4.858*10−4 | |0.2 |0.073 |0.382 |0.028 | |0.3 |0.059 |0.777 |0.046 | |0.4 |-0.09 |1.228 |-0.11 | |0.417 |-0.134 |1.307 |-0.175 | |0.5 |-0.443 |1.753 |-0.777 |.

[pic].

Малюнок 1.2 — Графік звисимости С1С0 = f (C1) для Пі - регулятора.

Максимальне значення функції С1С0 = 0.048 при С1 = 0.694. Беремо точку правіше глобального максимуму С1 = 0.777, С1С0 = 0.0459. Вирішивши систему рівнянь (1.11) одержимо оптимальні параметри пастройки Кропт = 0.777, Tuопт = 16.928.

Розраховуємо оптимальні параметри настроювання для ПІД — регулятора:

[pic], (1.12).

До кожного значення частота від 0 до частоти зрізу знаходь точки С1С0 і С1, відповідні необхідної ступеня колебательности m = 0.512 вирішивши систему (1.12). Дані розрахунків представлені у таблиці 1.1 по ці даним побудуємо графік залежності С1С0 = f (С1).

Таблиця 1.1.

Дані до розрахунку оптимальних параметрів настройок ПІД — регулятора. |w |C0 |C1 |C1C0 | |0 |0 |-0.323 |0 | |0.1 |0.12 |0.097 |0.012 | |0.2 |0.2 |0.485 |0.097 | |0.3 |0.226 |0.913 |0.207 | |0.4 |0.184 |1.447 |0.266 | |0.417 |0.172 |1.556 |0.268 | |0.5 |0.113 |2.206 |0.25 |.

[pic].

Малюнок 1.3 — Графік звисимости С1С0 = f (C1).

Потрібно взяь точку, що лежить праворуч від глобального максимуму. Максимильное значення С1С0 =0.268, при С1 = 1.576. Беремо точку С1С0 = 0.2592 при С1 =1.9456. За цією значенням визначимо оптимальні параметри регулятора:

[pic].

Отже оптимильные параметри настройки для ПІД — регулятора:

[pic].

2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ У ЗАМКНУТИХ СИСТЕМАХ.

Запишемо вираз передатичной функції системі у замкненому состоянии:

[pic], (2.1).

где [pic] .

Тоді вираз (2.1) матимуть вид:

[pic][pic], (2.2).

Знайдемо передатну функию для замкнутої системи з П — регулятором, тобто. Wp (p) = Кp. Кp — оптимальне значення, знайдене у розділі, т. е. Кp = 1.01.

Предаточная функція замкнутої системи з П — регулятором має такі вид:

[pic], (2.3).

Перехідна функція замкнутої системы:

[pic], (2.4).

Знайдемо полюси фунгкции (2.4).

І тому необхідно знайти коріння наступного уравнения:

p ([pic]) = 0.

Вони равны:

p1 = 0; p2 = - 0.435; p3 = - 0.181 — j0.34; p4 = - 0.181 + j0.34.

Перехідна функція для замкнутої системи з П — регулятором буде мати наступний вид:

h (t) = 0.757−0.052e-0.424t * cos (0.254t) — 0.3857e-0.181t * sin (0.354t).

Побудуємо перехідний процес функції, зобразимо графік цього процесу малюнку 2.1.

[pic].

Малюнок 2.1 — Перехідний процес у замкнутої системі з П — регулятором.

Запишемо передатну функцію для замкнутої системи з ПІ - регулятором, т. е.:

[pic].

В ролі Кр і Тu беремо значення, отриманих у розділі, тобто. беремо Кр = 0.777 і Тu = 16.928. Тоді вираз передавальної функції має такі далі вид:

[pic], (2.5).

Запишемо предаточную функція замкнутої системи з ПІ - регулятором, для цього скористаємося формулою (2.1):

[pic], (2.6).

Перехідна функція замкнутої системи має наступний вид:

[pic], (2.7).

Знайдемо полюси фунгкции (2.7).

І тому необхідно знайти коріння наступного уравнения:

p ([pic]) = 0.

Вони равны:

p1 = - 0.421; p2 = - 0.075; p3 = - 0.149 — j0.29; p4 = - 0.149 + j0.29; p5 = 0.

Перехідна функція для замкнутої системи з ПІ - регулятором буде мати наступний вид:

h (t) = 1- 0.0609e-0.421t — 0.757e-0.148t *cos (0.29t)-0.4870.148t.

*sin (0.29t)-0.181e-0.075t.

Побудуємо перехідний процес функції, зобразимо графік цього процесу малюнку 2.2.

[pic].

Малюнок 2.2 — Перехідний процес у замкнутої системі з ПІ - регулятором.

Запишемо передатну функцію для замкнутої системи з ПІД — регулятором, т. е.:

[pic].

В ролі Кр, Тu і Тg беремо значення, отриманих у першому розділі, тобто. беремо Кр = 1.9456, Тu = 7.506, і Тg = 0.976. Тоді вираз передавальної функції має наступний далі вид:

[pic], (2.8).

Запишемо предаточную функція замкнутої системи з ПІД — регулятором, при цьому скористаємося формулою (2.1):

[pic], (2.9).

Перехідна функція замкнутої системи має наступний вид:

[pic], (2.10).

Знайдемо полюси фунгкции (2.10).

І тому необхідно знайти коріння наступного уравнения:

p ([pic]) = 0.

Вони равны:

p1 = 0; p2 = -0.405 — j0.116; p3 = -0.405 + j0.116; p4 = -0.039 — j0.192; p5 = -0.039 + j0.192.

Перехідна функція для замкнутої системи з ПІД — регулятором буде мати наступний вид:

h (t) = 1 — 0.2927e-0.404t*cos (0.1157t) — 0.032e-0.404t*sin (0.1157t) — 0.6934e;

0.038t*cos (0.1918t) — 0.2055e-0.0388t*sin (0.1918t).

Побудуємо перехідний процес функції, зобразимо графік цього процесу малюнку 2.3.

[pic].

Малюнок 2.3 — Перехідний процес у замкнутої системі з ПІД — регулятором.

3 ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРІОДУ КВАНТУВАННЯ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА І ПЕРЕРАХУНОК ЙОГО ВАРАМЕТРОВ.

Необхідно з’ясувати відповідність коефіцієнтів неопределенногои цифрового регуляторів. Для вибору періоду вимірів цифрового регулятора будуємо амплетудно — частотну характеристику замкнутої системи та визначаємо частоту зрізу, коли він значення амплетуды не вдома вбирається у три відсотки від амплітуди при нульовому значенні частоты.

І тому візьмемо передавальні функції замкнутої системи (для все типів регуляторів), хто був знайдено під другому завданні курсової работы.

Передатна функція замкнутої системи з П — регулятором:

[pic], (3.1).

Передатна функція замкнутої системи з ПІ- регулятором:

[pic], (3.2).

Передатна функція замкнутої системи з ПІД — регулятором:

[pic], (3.3).

Вислів амплетудно — частотною характеристики системі з П — регулятором матиме наступний вид:

[pic]. (3.4).

Вислів амплетудно — частотною характеристики системі з ПІ - регулятором матиме наступний вид:

[pic]. (3.5).

Вислів амплетудно — частотною характеристики системі з ПІД — регулятором матиме наступний вид:

[pic]. (3.6).

Така як частота зрізу дорівнює трьом відсоткам від нульового значення, то вирішити рівняння наступного вида:

[pic]. (3.7).

За позитивного рішення рівнянь було получено:

— частота зрізу системі має в стоем складі П — регулятор wс = 2.25;

— частота зрізу системі має в стоем складі ПІ - регулятор wс = 1.6738;

— частота зрізу системі має в стоем складі ПІД — регулятор wс = 3.8194.

Частоту вимірів приймають как:

[pic], (3.8).

где wc = 3.8194 (найбільше значення), у якому період квантування дорівнює T0 = 0.411.

Оскільки отримане значення менше заданого, то зробимо перерахунок параметров.

Загалом вигляді дискрктную передатну функцію искоиого елемента можна записати наступним образом:

[pic]. (3.9).

У нашому випадку вираз (3.9) прийме вид:

[pic], (3.10).

где [pic];

[pic];

[pic].

З урахуванням цих висловів необхідно перелічити параметри безперервних регуляторів в параметри цифровых.

Запишемо передавальні функції безперервних регуляторов:

— П — регулятор

Wp (p) = 1.01; (3.11).

— ПІ - регулятор

[pic]; (3.12).

— ПІД — регулятор

[pic]. (3.13).

Після обчислення коефіцієнтів q0, q1 і q2 дискрктные передавальні функції матимуть вид:

— П — регулятор

[pic]; (3.14).

— ПІ - регулятор

[pic]; (3.15).

— ПІД — регулятор

[pic]. (3.17).

4 АНАЛІЗ СТІЙКОСТІ СИСТЕМИ АВТОМАТИЧНОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРІЮ ДЖУРИ І ПОБУДОВУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У ЦИФРОВИХ СИСТЕМАХ.

При аналізі цифрових системам управління подають у трьох елементів: цифрового фільтра (регулятора), фіксатора і наведеної безупинної части.

где y — дискретне значення регульованої величини; f — заданий значення регульованої величини; e — помилка управління; u — котра управляє воздействие.

Малюнок 4.1 Структурна схема цифровий системи автоматичного управления.

Позаяк у системі має помсти фіксатор нульового порядку з передавальної функцією вида:

[pic], (4.1).

то з огляду на те, що z = e -pT, цю функцію можна записати наступного далі виде:

[pic]. (4.2).

Множене 1/р належать до лінійної частини, тому передатна функція наведеної безупинної частини то, можливо записана наступного виде:

[pic]. (4.3).

Так как.

[pic].

[pic],.

переходная фнукция ленейной частини системи, то z — передатну функцію лінійної частини знаходимо з такого выражению:

[pic]. (4.4).

Знайдемо вираз для передавальної функції лінійної части:

[pic]. (4.5).

Для обчислення h (t) скористаємося методом невизначених коефіцієнтів. Необхідно визначити полюси. І тому необхідно знайти коріння следйющего уравнения:

([pic])*р = 0.

Вирішивши дане рівняння ми маємо, що коріння наступного виду: p1 = 0; p2 = - 0,2; p3 = - 0,33; p4= -0,25.

Перехідна функція лінійної частини має наступний вид:

h (t) = -21,93e-0.2t -4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1. (4.6).

З урахуванням формули (4.4) получаем.

[pic].

Після розкриття скобок і приведення подібних ми маємо рівність в наступному виде:

[pic]. (4.7).

Результуючий вектор передатна функція розімкнутої системи то, можливо визначено як твір передавальної функції наведеної безупинної чати і передавальної функції цифрового фильтра:

[pic]. (4.8).

Дискретна передатна функція замкнутої системы:

[pic]. (4.9).

Визначимо значення W3(z) кожної з систем:

— система з П — регулятором. Wр (z) = 1.01, Wн.ч.(z) — определеня за такою формулою (4.7), тогда:

[pic]; (4.10).

— система з ПІ - регулятором.

[pic];

Wн.ч.(z) — визначену за формулі (4.7), тогда:

[pic]; (4.11).

— система з ПІД — регулятором.

[pic],.

Wн.ч.(z) — визначену за формулі (4.7), тогда:

[pic]. (4.12).

Потому, як одержимо вираз дискрктных передатних функцій всім систем, проаналізуємо стійкість цих систем критерієм Джури.

Критерій стійкості залежить від следующем.

Нехай заданий А (z) — характкристический полином:

A (z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.

Введемо поняття зворотного полинома, одержуваного перестановкою коефіцієнтів вихідного у протилежному порядке:

A (z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.

Розділимо A (z) на зворотної йому. У результаті отримуємо приватне від розподілу число q0 і залишок А1(z) — поліном n-1 степени.

Домножим полученый результат на z-1 получаем:

A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).

Потім ділимо залишок A1(z) на зворотний йому A10(z) і визначаємо нове q1 і A2(z).

[pic] і т.д.

Виконуючи розподіл полиномов Ai (z) на зворотні йому Ai0(z), отримуємо послідовність чисел qi = {q0, q1, q2,…, qn-2}.

Необхідною і достатня умова стійкості цифровий системи є неравенства:

А (1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;

(-1)nА (-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;

|qi|0 .

(-1)3A (-1)= -(1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817) >0.

А (z) = z3−2.7544z2+2.5359z — 0.7817.

Зворотний полином.

[pic].

Розділимо A (z) на A0(z).

|[pic] |[pic] | |-([pic]) |-0.7817=q0, |q0|0.

[pic].

Зворотний полином:

[pic].

Розділимо A (z) на A0(z).

|0.78−3.326z+5.3001z2−3.756z3+ z4 |1−3.7556z+5.3001z2−3.32z3+0.7834z4 | |-(0.78−2.943z+4.152z2−2.606z3+0.61z|0,783 447=q0, |q0|.