Формування економ-математичної моделі

Формирование экономико-математической модели.

Постановка задачи.

Нехай є п’ять підприємств-виготовлювачів і одинадцять споживачів однаковою продукції. Відомі виробничі потужності виготовлювачів й потреби споживачів. Сумарні потужності підприємств більше потреби потребителей.

Виробничі потужності виготовлювача становлять Ai. Потреба споживача продукції дорівнює Bj.

На випуск одиниці виробленої продукції виготовлювач і витрачає Ri затрат.

Відомі видатки доставку одиниці виробленої продукції із і до пункту j — Cij.

Недоліки транспорту значні повинні бути включені у цільову функцию.

Потрібна скласти такий план виробництва і постачання, щоб сумарні Витрати виробництво і транспортування були минимальны.

Математична формулювання задачи.

Задоволення всіх потребностей:

Xij = Bj.

Неотрицательность вантажних потоков:

Xij >= 0.

Дотримання обмежень мощности:

Xij.

Цільова функция:

(Ri + Cij)*Xij -> min.

Від звичайній транспортної завдання поставлена завдання особливий тим, що показник оптимальності складається з цих двох складових. Проте, загальні видатки виробництво і транспортування визначаються простим суммированием.

Отже, поставлена завдання є відкритої транспортної задачей.

Вихідні данные.

Підприємство А1 А2 А3 А4 А5.

Виробничі потужності 135 160 140 175 165.

Витрати на од. продукції рублях 119 93 81 70 62.

Споживачі В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10.

Попит споживачів 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30.

Матриця транспортних витрат, руб.

(отримана з урахуванням даних із сети).

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10.

Відправники Номери вершин 3 12 24 35 19 30 16 9 31 5.

A1 2 41 34 45 64 41 46 31 38 41 18.

A2 33 47 22 12 21 13 7 12 36 2 36.

A3 26 35 14 7 33 1 5 16 24 10 24.

A4 21 40 40 38 39 31 37 42 29 42 51.

A5 13 21 16 19 47 13 19 18 10 24 19.

Підсумовуванням витрат за виробництво і транспортних витрат у кожній клітці матриці отримуємо розрахункову матрицу.

Розрахункова матриця вартісних затрат.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10.

Отправи тели Ресурси.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81.

Оскільки транспортна завдання відкрита, то потужності перевищують потреби. Частина постачальників в оптимальному плані залишається недозагруженной. Аби вирішити завдання у матричної формі вводиться фіктивний споживач — додатковий стовпець з потребою, рівної избытку ресурсів над реальними потребностями.

Рішення транспортної задачи.

Вихідні данные.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 В10 В11.

Отправи тели Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0.

Итого775.

Решение.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11.

Отправи тели Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0.

49 44 67.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0.

45 65 30.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0.

20 87 30 38.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0.

30 45 60 30.

Разом 775.

На підтвердження правильності рішення оптимальний план, отриманий даної таблиці перевіряється методом потенціалів на дотримання умов оптимальності .

Умова оптимальності виглядає наступним образом:

Vij — Uij.

Vij — Uij = Cij, якщо Xij > 0.

Всім клітин матриці різницю потенціалів шпальти і рядки менше, або дорівнює показнику оптимальності, для зайнятих клітин точно дорівнює його значению.

Перший потенціал то, можливо присвоєно будь-який рядку чи стовпцю. У разі перший потенціал присвоєно базисної клітині, де видатки транспортування максимальні (А4 — В10).

Перевірка рішення методом потенциалов.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11.

Отправител Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0 150.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0 150.

49 44 67.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0 158.

45 65 30.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0 150.

20 87 30 38.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0 150.

30 45 60 30.

233 228 231 259 240 244 255 249 245 271 150.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11.

Отправител Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 50 48 62 74 64 65 45 51 50 35 0.

A2 160 30 10 3 5 10 0 0 30 0 27 0.

30 79 44 7.

A3 140 20 4 0 19 0 0 6 20 10 17 20.

60 45 35.

A4 175 0 5 6 0 5 6 7 0 17 19 0.

50 27 98.

A5 165 0 0 0 27 0 2 2 0 18 0 27.

30 45 60 30.

Далі йде порівняти Цільову функцію у вирішенні завдання (F1) і цільову функцію, отриману під час вирішення потенціалів (F2), якщо F1 > F2, то план оптимален.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11.

Відправите Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0.

49 44 67.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0.

45 65 30.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0.

20 87 30 38.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0.

30 45 60 30.

Цілий. Ф-ия (F1) 2490 3510 4860 5450 3690 5590 8055 8613 4180 3630 0.

Цілий. Ф-ия (F1) 50 068.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11.

Отправител Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240.

A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0.

A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0.

30 79 44 7.

A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0.

60 45 35.

A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0.

50 27 98.

A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0.

30 45 60 30.

Цілий. Ф-ия (F2) 2490 3510 5280 5450 3690 6010 8295 6993 4180 2430 0.

Цілий. Ф-ия (F2) 48 328.

Т.к. 50 068 > 48 328, то план оптимальний, тобто. умова оптимальності дотримується переважають у всіх клітинах матриці, отже завдання виконане правильно.

Вывод.

Розроблений оптимальний план забезпечує мінімальних витрат виробництво та транспортування продукції з п’яти пунктів виробництва, у десять пунктів потребления.

За підсумками рішення транспортної завдання визначені поставки кожного пункту виробництва, у пункти споживання, виробничих програм по заводам виготовлювачам і резерви виробничих мощностей.

Резерв виробничої потужності заводу А1 становить 135 одиниць (поставки фіктивному споживачеві), заводі А2 — 7 одиниць, заводі А4 — 98 одиниць, інші підприємства резервів не имеют.

Мінімальні видатки транспортування і виробництво склали 48 328 рублів. Витрати виробництва продукції складі сумарних витрат визначаються множенням витрат за виробництво одиниці виробленої продукції виробничу програму і становитимуть:

119*0+93*153+81*140+70*77+62*165= 14 229+11340+5390+10 230=41189 рублів, або 85,2%.

Витрати транспортування становлять 7139 рублів, або 14,8%. Таку частку транспортних витрат готової продукції можна вважати досить високою, хоча слідство з окремих видів дешевих масових вантажів ця частка то, можливо значно выше.

Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу.

продукції народному господарстві за 1989 рік млн.руб.).

ПромышЕлектроСільське Інші види Усього пітКінцевий Усього рас;

Галузі ленность энэргетика господарство діяльності реблено продукт пределено.

2 3 4 5 1 8 710 6 9 11 12.

Промыш- 3 252 191,1 21 954,7 45 395,5 57 176,5 376 718,0 231 120,7 607 838,7.

ленность 4.

Електро- 1 18 907,2 56 932,4 9573,1 8649,8 94 062,5 169 808,9 263 871,4.

енергетика 8.

Сільське 7 16 942,2 143 080,6 141 310,1 5660,2 306 993,1 141 847,3 448 840,4.

хоз-во 10.

Інші 6.

види 9 63 792,8 29 752,1 24 192,9 90 138,8 207 876,6 208 720,2 416 596,8.

деят-ти 11.

Усі матер. затраты 351 833,7 251 719,8 220 471,6 161 625,3 985 650,2 751 497,1 1 737 147.

Уся чист. прод-ия 256 005,7 12 151,6 228 368,8 254 971,5 751 497,6.

Усю продукцію 607 838,4 263 871,4 448 840,4 416 597,1 1 737 147.

Міжгалузевий баланс складено в грошах і складається з разделов.

У першому його розділі відбиваються міжгалузеві потоки продукції процесі поточного виробничого споживання. Цей поділ має однакову класифікацію, що забезпечує його шахову структуру. Другий розділ містить кінцевий продукт. У третьому розділі показується новостворена стоимость.

За підсумками даних звітного міжгалузевого балансу розраховуються коефіцієнти витрат розподілом величини міжгалузевих поставок на валову продукцію галузі.

Розрахунок коефіцієнтів прямих затрат.

Розрахунок коефіцієнтів прямих витрат.

ПромышЕлектроСільське Інші виды.

Галузі ленность энэргетика господарство деятельности.

2 3 4 5 1 8 710 6 9 11 12.

Промыш- 3 0,4149 0,0832 0,1011 0,1372.

ленность 4.

Електро- 1 0,0311 0,2158 0,0213 0,0208.

енергетика 8.

Сільське 7 0,0279 0,5422 0,3148 0,0136.

хоз-во 10.

Інші 6.

види 9 0,1050 0,1128 0,0539 0,2164.

деят-ти 11.

Кінцевий продукт.

Кінцевий Зростання кін. Кінцевий продукт.

продукт продукції з урахуванням прироста.

231 120,7 24% 55 468,968.

263 871,4 26% 68 606,564.

448 840,4 28% 125 675,312.

416 596,8 25% 104 149,2.

Х1 — промышленность.

Х2 — электроэнергетика.

Х3 — сільське хозяйство.

Х4 — інші види деятельности.

Система лінійних уравнений.

Х1 = 0,4149*Х1+0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55 468,968.

Х2 = 0,0311*Х1+0,2158*Х2+0,0213*Х3+0,0208*Х4+68 606,564.

Х3 = 0,0279*Х1+0,5422*Х2+0,3148*Х3+0,0136*Х4+125 675,312.

Х4 = 0,1050*Х1+0,1128*Х2+0,0539*Х3+0,2164*Х4+104 149,2.

Система лінійних рівнянь вирішується методом подстановок.

РЕШЕНИЕ:

Х1 — 0,4149*Х1 — 0,0832*Х2 — 0,1011*Х3 — 0,1372*Х4 = 55 468,968.

Х2 — 0,0311*Х1 — 0,2158*Х2 — 0,0213*Х3 — 0,0208*Х4 = 68 606,564.

Х3 — 0,0279*Х1 — 0,5422*Х2 — 0,3148*Х3 — 0,0136*Х4 = 125 675,312.

Х4 — 0,1050*Х1 — 0,1128*Х2 — 0,0539*Х3 — 0,2164*Х4 = 104 149,2.

1) 0,5851*Х1 — 0,0832*Х2 — 0,1011*Х3 — 0,1372*Х4 = 55 468,968.

— 0,0311*Х1 + 0,7842*Х2 — 0,0213*Х3 — 0,0208*Х4 = 68 606,564.

— 0,0279*Х1 — 0,5422*Х2 + 0,6852*Х3 — 0,0136*Х4 = 125 675,312.

— 0,1050*Х1 — 0,1128*Х2 — 0,0539*Х3 + 0,7836*Х4 = 104 149,2.

0,0832*Х2 + 0,1011*Х3 + 0,1372*Х4 + 55 468,968.

Х1=.

0,5851.

— 0,5 316*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55 468,968)+0,7842*Х2−0,0213*Х3−0,0208*Х4 = 68 606,564.

— 0,4 423*Х2 — 0,5 377*Х3 — 0,7 296*Х4 — 2948,885 + 0,7842*Х2 — 0,0213*Х3−0,0208*Х4 = 68 606,564.

0,7798*Х2 — 0,0267*Х3 — 0,0281*Х4 = 71 555,45.

— 0,4 763*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55 468,968)-0,5422*Х2+0,6852*Х3−0,0136*Х4 = 125 675,312.

— 0,3 964*Х2 -0,4 818*Х3 — 0,6 538*Х4 — 2642,411 — 0,5422*Х2 + 0,6852*Х3−0,0136*Х4 = 125 675,312.

— 0,5462*Х2 + 0,6803*Х3 — 0,0201*Х4 = 128 317,723.

— 0,17 937*(0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55 468,968)-0,1128*Х2−0,0539*Х3+0,7836*Х4 = 104 149,2.

— 0,14 924*Х2 — 0,18 141*Х3 — 0,24 618*Х4 — 9949,522 — 0,1128*Х2 — 0,0539*Х3+ 0,7836*Х4 = 104 149,2.

— 0,1277*Х2 — 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114 098,7.

2) 0,7798*Х2 — 0,0267*Х3 — 0,0281*Х4 = 71 555,45.

— 0,5462*Х2 + 0,6803*Х3 — 0,0201*Х4 = 128 317,723.

— 0,1277*Х2 — 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114 098,7.

0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71 555,45.

Х2=.

0,7798.

— 0,700 436*(0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71 555,45) + 0,6803*Х3 — 0,0201*Х4 = 128 317,723.

— 0,18 702*Х3 — 0,19 682*Х4- 50 120,01+ 0,6803*Х3 — 0,0201*Х4 = 128 317,723.

0,6616*Х3 — 0,0398*Х4 = 178 437,7368.

— 0,16 376*(0,0267*Х3 + 0,0281*Х4 + 71 555,45) — 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114 098,7.

— 0,4 372*Х3 — 0,4 602*Х4 — 11 717,92 — 0,0720*Х3 + 0,7590*Х4=114 098,7.

— 0,0764*Х3 + 0,7544*Х4 = 125 816,6161.

3) 0,6616*Х3 — 0,0398*Х4 = 178 437,7368.

— 0,0764*Х3 + 0,7544*Х4 = 125 816,6161.

0,0398*Х4 + 178 437,7368.

Х3=.

0,6616.

— 0,115 478*(0,0398*Х4 + 178 437,7368) + 0,7544*Х4 = 125 816,6161.

— 0,4 596*Х4−20 605,57 + 0,7544*Х4 = 125 816,6161.

0,7498*Х4 = 146 422,1830.

Х4 = 195 280,6132.

0,0398*195 280,6132 + 178 437,7368.

Х3=.

0,6616.

Х3 = 281 453,9075.

0,0267*281 453,9075 + 0,0281*195 280,6132 + 71 555,45.

Х2=.

0,7798.

Х2 = 108 435,0533.

0,0832*108 435,0533 + 0,1011*281 453,9075 + 0,1372*195 280,6132 + 55 468,968.

Х1=.

0,5851.

Х1 = 204 645,795.

Результати расчетов:

Х1 = 204 645,7949 — промышленность.

Х2 = 108 435,0533 — электроэнергетика.

Х3 = 281 453,9075 — сільське хозяйство.

Х4 = 195 280,6132 — інші види деят-ти.

Проверка:

Х1 = 0,4149*Х1+0,0832*Х2+0,1011*Х3+0,1372*Х4+55 468,968.

Х2 = 0,0311*Х1+0,2158*Х2+0,0213*Х3+0,0208*Х4+68 606,564.

Х3 = 0,0279*Х1+0,5422*Х2+0,3148*Х3+0,0136*Х4+125 675,312.

Х4 = 0,1050*Х1+0,1128*Х2+0,0539*Х3+0,2164*Х4+104 149,2.

Х1 = 84 907,1860 + 9022,0428 + 28 466,1114 + 26 801,5835 + 55 468,968.

204 645,7949=204 645,7949.

Х2 = 6365,6375 + 23 395,7444 + 6002,9943 + 4054,6087 + 68 606,564.

108 435,0533= 108 435,0533.

Х3 = 5704,0654 + 58 797,4008 + 88 611,1852 + 2653,2285 + 125 675,312.

281 453,9075 = 281 453,9075.

Х4 = 1477,6300 + 12 226,2986 +15 170,6179 + 42 252,71884 + 104 149,2.

195 280,6132 = 195 280,6132.

За результатами рішення складається плановий міжгалузевий баланс, куди спочатку заносяться інформацію про валової продукції галузей по рядку «Валова продукція» і є дані кінцевий продукті в галузях. Міжгалузеві зв’язку розраховуються множенням величини валового продукту за галуззю на коефіцієнти прямих витрат. Наприклад, щоб розрахувати розмір проміжного продукту промисловості як на сільського господарства потрібно валову продукцію промисловості за планом помножити на відповідний коефіцієнт прямих витрат. Чиста продукція окреслюється різниця валової продукції та незначною сумою проміжних затрат.

Плановий міжгалузевий баланс.

Плановий міжгалузевий баланс.

ПромышЕлектроСільське Інші види Усього пітКінцевий Валовая.

Галузі ленность энэргетик господарство діяльності реблено продукт продукция.

2 3 4 5 1 8 7 10 6 9 11 12.

Промыш- 3 84 907,2 9022,0428 28 466,1115 26 801,6 149 196,9 55 468,97 204 645,79.

ленность 4.

Електро- 1 6365,6 23 395,7 6003,0 4054,6 39 819,0 68 606,56 108 435,05.

енергетика 8.

Сільське 7 5704,1 58 797,4 88 611,2 2653,2 155 765,9 125 675,3 281 453,91.

хоз-во 10.

Інші 6.

види 9 21 477,6 12 226,3 15 170,6 42 252,7 91 127,3 104 149,2 195 280,61.

деят-ти 11.

Усі матер. затраты 118 454,5 103 441,5 138 250,9 75 762,1 435 909,1 353 900 789 815,4.

Чистий прибуток 86 191,3 4993,6 143 203,0 119 518,5 353 906,3.

Валова продукція 204 645,79 108 435,053 281 453,908 195 280,61 789 815,4 Итого.

Далі необхідно розрахувати коефіцієнти повних витрат, при цьому перетворимо формулу Х = аij*Xj + Yi наступним образом:

X — aij*Xj = Yi, вважаючи, що Xj = E*Xj.

E*Xj — aij*Xj = Yi.

X*(E — a) = Yi.

X = (E — a) * Yi.

Вислів (E — a) представляє з себе зворотний матрицу.

1-а11 0-а12 … 0-а1n.

E — a = … … … …

0-am1 0-am2 … 1-amn.

0,5851 -0,0832 -0,1011 -0,1372.

Є - а = -0,0311 0,7842 -0,0213 -0,0208.

— 0,0279 -0,5422 0,6852 -0,0136.

— 0,1050 -0,1128 -0,0539 0,7836.

Рішення системи пов’язані з матрицею (Є - а), позначимо (Є - а) =А.

А11 А12 … А1n.

А = … … … …

Аm1 Аm2 … Аmn.

Величини, А — є коефіцієнти повних затрат.

1,81 0,452 175 0,307 179 0,3339.

0,08 1,331 012 0,57 618 0,0507.

0,14 1,78 218 1,520 649 0,0802.

0,26 0,326 235 0,154 026 1,3336.

X = A*Y.

1,8 076 696 0,452 174 849 0,307 179 212 0,33 390 524 55 468,97 204 672,54.

Х = 0,826 051 1,331 012 318 0,57 617 708 0,5 073 294 * 68 606,56 = 108 423,12.

0,144 143 1,78 218 311 1,520 648 538 0,8 017 912 125 675,3 281 426,89.

0,2 638 982 0,326 234 601 0,154 025 841 1,33 364 524 104 149,2 195 275,33.

Х1(А) = 204 672,5352.

Х2(А) = 108 423,1202.

Х3(А) = 281 426,8885.

Х4(А) = 195 275,3261.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат показують як усієї потрібно було справити продукції i-той галузі для випуску сферу кінцевого використання одиниці виробленої продукції j-той отрасли.

Плановий міжгалузевий баланс.

з урахуванням повних затрат.

ПромышЕлектроСільське Інші види Усього пітКінцевий Валовая.

Галузі ленность энэргетика господарство діяльності реблено продукт продукция.

2 3 4 5 1 8 7 10 6 9 11 12.

Промыш 3 84 918,3 9021,4 994 28 463,379 26 800,9 149 203,6 55 468,97 204 672,54.

ленность 4.

Електро- 1 6366,5 23 393,2 6002,4 4054,5 39 816,6 68 606,56 108 423,12.

енергетика 8.

Сільське 7 5704,8 58 790,9 88 602,7 2653,2 155 751,6 125 675,3 281 426,89.

хоз-во 10.

Інші 6.

види 9 21 480,4 12 225,0 15 169,2 42 251,6 91 126,1 104 149,2 195 275,33.

деят-ти 11.

Усі матер. затраты 118 470,0 103 430,1 138 237,6 75 760,1 435 897,8 353 900 789 797,9.

Чистий прибуток 86 202,5 4993,0 143 189,3 119 515,2 353 900,0.

Валова продукція 204 672,54 108 423,12 281 426,89 195 275,33 789 797,9 Итого.

Розроблений міжгалузевий баланс визначає сукупний валовий продукт на плановий період, показує міжгалузеві зв’язку й обсяги проміжного продукту, виробленого кожної галуззю. У порівняні з звітним балансом плановий баланс забезпечує мінімальний приріст валової продукції, крім галузі промисловості, де приріст становить 1%. Усі дані показані в таблице:

коефіцієнт коефіцієнт РАЗНИЦА.

прямих витрат повних витрат.

Х1 (а) 204 645,795 Х1 (А) 204 672,535 -26,740.

Х2 (а) 108 435,053 Х2 (А) 108 423,12 11,933.

Х3 (а) 281 453,908 Х3 (А) 281 426,889 27,019.

Х4 (а) 195 280,61 Х4 (А) 195 275,326 5,287.

Тобто. приріст кінцевої продукції сільськогосподарської діяльності на 0,63%, забезпечується приростом валової продукції, приріст сільськогосподарської діяльності забезпечується на 0,41%. Для збільшення кінцевий продукт у сфері промисловості слід збільшити приріст валовий продукт на 0,34%, а приріст кінцевий продукт інших галузях на 0,49% забезпечується приростом валовий продукт цих галузей.