Геометричні характеристики поперечних перерізів

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Подивимося, як змінюються моменти інерції при повороті осей координат. Поклавши, дано моменти інерції деякого перерізу щодо осей x, у (не обов’язково центральних). Потрібна визначити Ju, Jv, Juv — моменти інерції щодо осей і, v, повернених щодо першої системи на кут ((рис. 3). Проектуємо замкнутий чотирикутник ОАВСО на осі й v. Оскільки проекція ламаної лінії дорівнює проекції останній, находим… Читати ще >

Геометричні характеристики поперечних перерізів (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Основи конструювання приборов.

Реферат по теме.

Геометричні характеристики поперечних сечений.

Студента групи ІУ 3−32.

Кондратова Николая.

Статичні моменти сечения.

Візьмемо деяке поперечне перетин бруса (рис. 1). Зв’яжемо його з системою координат x, у і розглянемо дві такі интеграла:

Рис. 1.

(1).

де індекс F у знака інтеграла зазначає, що інтегрування ведеться за всієї площі перерізу. Кожен із з дитинства інтегралів є суму творів, елементарних майданчиків dF на відстань до відповідної осі (x або в). Перший інтеграл називається статичним моментом перерізу щодо осі x, а другий — щодо осі у. Розмірність статичного моменту см3. При паралельному перенесення осей величини статичних моментів змінюються. Розглянемо пари паралельних осей, x1, y1 і x2, y2. Пусть відстань між осями x1 і x2 одно b, а між осями y2 і y2 одно, а (рис. 2). Поклавши, що загальна площа перерізу F і статичні моменти щодо осей x1 і y1, т. е. Sx1, і Sy1 задано. Потрібна визначити Sx2 і Sy2.

Вочевидь, х2 = x1 — а, y2 = y1 — b. Шукані статичні моменти будуть равны или.

Отже, при паралельному перенесення осей статичний момент змінюється на величину, рівну твору площі F на відстань між осями.

Розглянемо детальніше, наприклад, перше з отриманих выражений:

Величина b може бути будь-якою: як позитивної, і негативною. Тому завжди можна підібрати (причому єдиним чином) те щоб твір bF було одно Sx1. Тогда статичний момент Sx2, щодо осі x2 звертається до нуль.

Вісь, щодо якої статичний момент нульовий, називається центральної. Серед сімейства паралельних осей вона єдина, і відстань до цієї осі від деякою, довільно взятій, осі х1 равно.

Рис. 2.

Аналогічно іншому сімейства паралельних осей.

Крапка перетину центральних осей називається центром тяжкості перерізу. Шляхом повороту осей можна показати, що статичний момент щодо будь-який осі, що проходить через центр тяжкості, дорівнює нулю.

Неважко встановити тотожність даного ухвали і звичайного визначення центру ваги як точки докладання равнодействующих сил ваги. Якщо уподібнити розглянуте перетин однорідної платівці, то сила ваги платівки переважають у всіх точках буде пропорційна елементарної площі dF, а момент сил ваги щодо деякою осі — пропорційний статичному моменту. Ця деталь сил ваги щодо осі, що проходить через центр тяжкості, нульовий. У нуль звертається, отже, і статичний момент щодо центральної оси.

Моменти інерції сечения.

На додачу до статичним моментів розглянемо ще три наступних интеграла:

(2).

Через x і в є такі поточні координати елементарної майданчики dF в довільно взятій системі координат x, y. Перші дві інтеграла називаються осевыми моментами інерції перерізу щодо осей x і y відповідно. Третій інтеграл називається відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей x, у. Розмірність моментів інерції см4.

Осьові моменти інерції завжди позитивні, оскільки позитивної вважається площа dF. Відцентровий момент інерції може бути як позитивним, і негативним, залежно розміщення перерізу щодо осей x, у.

Виведемо формули перетворення моментів інерції при паралельному перенесення осей. Вважатимемо, що мені задано моменти інерції і статичні моменти щодо осей х1 і y1. Потрібна визначити моменти інерції щодо осей x2 і y2.

(3).

Підставляючи сюди х2 = x1 — чи y2 = y1 — b і розкриваючи дужки (відповідно до (1) і (2)) находим.

Якщо осі x1 і y1 — центральні, то Sx1 = Sy1 = 0. Тогда.

(4).

Отже, при паралельному перенесення осей (якщо одне з осей — центральна) осьові моменти інерції змінюються на величину, рівну твору площі на квадрат відстані між осями.

З у перших двох формул (4) слід, що у сімействі паралельних осей мінімальний момент інерції виходить щодо центральної осі (а = 0 чи И = 0). Тому зовсім неважко запам’ятати, що з переході від центральних осей до нецентральним осьові моменти інерції збільшуються і величини a2 °F і b2 °F слід до моментів інерції додавати, а під час переходу від нецентральных осей до центральним — вычитать.

При визначенні відцентрового моменту інерції по формулам (4) слід враховувати знак величин чи b. Можна, проте, й одразу встановити, у яку бік змінюється величина Jxy при паралельному перенесення осей. І тому слід пам’ятати, що коли частина площі, яка перебуває у I і III квадрантах системи координат x1y1, дає позитивне значення відцентрового моменту, а частини, перебувають у II і IV квадрантах, дають негативні значення. Тому, за перенесення осей найпростіше встановлювати знак доданка abF в відповідність до тим, які з чотирьох доданків площ збільшуються і які — уменьшаются.

ОСНОВНІ ОСІ І ОСНОВНІ МОМЕНТИ ИНЕРЦИИ Рис. 3.

u = y sin (+x co (, v = y co (— x sin (.

У висловлюваннях (3), підставивши замість x1 і y1 відповідно u і v, виключаємо u і v.

откуда.

(5).

Розглянемо два перших рівняння. Складаючи їх почленно, одержимо, що сума осьових моментів інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей залежить від кута (і за повороті осей залишається постійної. При этом.

x2 + y2 = (2.

где (— відстань з початку координат до елементарної майданчики (рис. 3). Таким образом,.

Jx + Jy = Jp.

де Jp— полярний момент инерции величина якого, природно, залежить від повороту осей ху.

Зі зміною кута повороту осей (кожна гілка величин Ju і Jv змінюється, а не сума їхніх залишається незмінною. Отже, існує (, при якому якийсь момент інерції сягає свого максимального значення, в нас саме інший момент інерції приймає мінімальне значение.

Дифференцируя вираз Ju (5) по (і прирівнюючи похідну нулю, находим.

(6).

У цьому значенні кута (одне із осьових моментів буде найбільшим, а інший — найменшим. Одночасно відцентровий момент інерції Juv при зазначеному вугіллі (звертається до нуль, що легко встановлюється з третьої формули (5).

Осі, яких відцентровий момент інерції нульовий, а осьові моменти приймають екстремальні значення, називаються головними осями. Якщо вони самі при цьому є центральними, тоді вони називаються головними центральними осями. Осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції. Для визначення цього два формули (5) перепишемо в виде.

Далі виключаємо з допомогою висловлювання (6) кут (. Тогда.

Верхній знак відповідає максимальному моменту інерції, а нижній — мінімального. Коли перетин накреслено масштабу і кресленні показано становище головних осей, неважко встановити, яку з двох осей відповідає максимальний і з якої — мінімальний момент инерции.

Якщо перетин має вісь симетрії, ця вісь завжди буде головною .Відцентровий момент інерції частини перерізу, розташованої з одного боку від осі, дорівнюватиме моменту частини, розташованої з іншого боку, але протилежний йому за знаку. Отже, Jху= 0 і осі x і в є головними. ———————————- [pic].

[pic].

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою