Лабораторна робота

У попередніх лабораторних роботах було викладено теорія многочленной апроксимації. Спробуємо тепер викласти таку теорію для апроксимації періодичних функцій рядами Фур'є. Ряд Фур'є на інтерваліN (t (N можна записати так:

[pic] де [pic](k=0, 1, 2, …).

[pic] (k=0, 1, 2, …).

-(0 (.

— 1.

Як приклад розглянемо розкладання прямокутного коливання до кількох Фур'є. Таке коливання, зване меандром, знаходить широке застосування у техніці. Отже, [pic].

Оскільки практиці ми можемо обчислити нескінченну суму, проаналізуємо, як зростання числа доданків впливає наближення. При цьому ми зіштовхуємось із явищем Гиббса.

[pic].

H (t).

0 (2(3(t.

Прямоугольная.

Розглянемо це явище з прикладу прямокутної хвилі H (t) з періодом 2(.

Если обчислити суму перших 2N членів, усі члени з косинусами будуть рівні нулю й одержуємо: [pic] ([pic].

H2n (t).

H (t).

Ѕ.

явище Гіббса (t Гіббс зазначив, що часткова сума H2n перевершує функцію певну величину. Більше точно.

H2n[pic]1,8 949…, при n ((.

Справді, H2n (t) як перевершує функцію H (t), але й має тенденцію коливатися близько H (t), коливання зменшуються повільно, коли t видаляється від разрыва.

Щоб пояснити явище, запишемо (як [pic] (де використана формула.

[pic].

З виведеної формули (ясно, що максимум і мінімум для 0(t ((досягаються в точках [pic], тобто за t=[pic], m=1, 2, …, 2n-1, що вони чередуются.

Те, що правильне з цією спеціальної функції, очевидно, правильно, і ще загальних функцій, оскільки розрив можна як що виникає з прямокутної хвилі, прибавленной до головною функции.

Справді, явище Гіббса ми можемо спостерігати та з наближенням пилообразного сигналу з допомогою рядів Фур'є. З пилообразными коливаннями найчастіше доводиться зіштовхуватися в пристроях для развёртки зображення на осциллографах.

Зауважимо, що з збільшенні кількості доданків серед Фур'є, наближення поліпшується (зменшується глибина коливань). Це наочно показують графіки, приведені в конце.

Завдання наступного етапу цієї роботи — фільтрація зашумлённого сигналу з допомогою швидких перетворень Фур'є (БПФ).

Розглянемо довільний сигнал. У разі він заданий как.

[pic].

Насправді майже мають працювати з зашумлённым сигналом. Тому накладемо на сигнал певний шум. Тепер спробуємо очистити наш сигнал від шумів. І тому застосуємо ШПФ, та був цифровий фильтр.

Отже, якщо використовувати комплексне уявлення тригонометрических функций.

[pic] одержимо [pic], де [pic].

Легко бачити, що [pic] (ak і bkкоефіцієнти розкладання до кількох Фурье).

Комплексна форма низки Фур'є зручніше у спілкуванні при теоретичних дослідженнях, але обчислення проводяться з дійсною формою. У комплексної формі є і позитивні й негативні частоти: для кожної позитивної частоти ми замінили дві функції, синус і косинус, єдиної експоненційною, але має як позитивну, і негативну частоту.

Покажемо, які уявленню рядах Фур'є періодичної функції є уявлення інтегралом Фур'є будь-який функции.

[pic], где.

[pic].

Функція F ((), говорячи згрубша, відповідає коефіцієнтам cл у низці Фур'є. Це — спектральна функція (спектральна площину); F (() описує амплітуду частоти (() у функції f (t). Кажуть, що функція F (() є перетворенням Фур'є функції f (t). Обидві функції несуть те ж інформацію, оскільки кожна можна знайти з іншої, але у різних формах:: f (t) у сфері часу, а F (() у сфері частот.

Отже, повертаючись до нашої завданню, переведём сигнал з тимчасової області в частотну. Після цього застосуємо цифровий фільтр. З допомогою цього фільтра ми відкидаємо шумові складові сигналу, залишаючи частотні складові. Але слід зазначити, що намагаючись позбудеться шумових складових сигналу, ми мимоволі відкидаємо частина частотних. що стоїть поріг фільтрації, тим менше шуму ми маємо, але водночас ми гаємо все більшу частину корисною інформації, тобто сигнал спотворюється. У цьому переконався практично. Що був поріг шуму, тим паче «гладкою» була очищена функція, але за накладення неї вихідного незашумлённого сигналу можна було в значних розбіжності. І навпаки, що нижчою був поріг шуму, тим функція була менш «гладкою», але збіг з вихідним сигналом було краще. При виборі певного порога фільтрації мушу враховувати цього факту. Щоб співаку визначити величину цього параметра передусім слід керуватися особливостями поставленої задачи.

Фурье-анализ. ak.

Як у чистої, і у прикладної математиці, зазвичай шукають інваріанти уявлення — інваріанти стосовно класу перетворень. У класі періодичних функцій перенесення осей t=t'+b нічого не винні змінювати у виставі функції те, що залежить від системи координат. Безпосередньо видно, що коефіцієнти Фур'є ak і bk що немає цією властивістю змінюються при зсуві осі, тобто змінюється початок відліку часу. Вважаючи t=t'+b і використовуючи періодичність f (t), щоб зрушити в интеграле межі получаем:

[pic].

Аналогічно [pic].

Хоча ak і bk не инвариантны, величина.

[pic] очевидно, инвариантна. Значимість [pic] називають потужністю частоти k і зображують як дискретного спектра мощности.

Наприкінці роботи ми можемо вбачати у реформі графіки двох найважливіших характеристик імпульсу: графік облямовує спектра прямокутного імпульсу і графік фазового зсуву гармоник.