Математическое моделювання за чиєї активної эксперименте

року міністерство освіти РФ.

Волгоградський державний технічний университет.

Кафедра «САПР і ПК».

Курсова робота з моделювання на тему:

«Математичного моделювання за чиєї активної эксперименте».

Виконав: студент II-го курсу групи ИВТ-263.

Б******** Ю.В.

Перевірив: Фоменков С.А.

Волгоград 2001.

Основні становища теорії планування эксперимента.

Оптимізація технологічного процесу виробництва будь-який продукції містить важливий етап — визначення (пошук) математичну модель — рівняння зв’язку вихідного показника якості вироби (цільової функції, параметра оптимізації) з параметрами цього вироби чи технологічного процесу (вхідними чинниками). Модель — це спрощену систему, відбиває окремі боку явищ досліджуваного об'єкта. Кожен изучаемый процес можна описати різними моделями, у своїй жодна модель неспроможна зробити це ніяк повно й всебічно. Проте використання спрощеної моделі, що відбиває окремі риси досліджуваного об'єкта, дозволяє ясніше побачити взаємозв'язок про причини і наслідків, входів і виходів, швидше зробити необхідні висновки, прийняти правильні решения.

Розрізняють фізичну й математичне моделювання. При фізичному моделюванні дослідження об'єкта відбувається за його відтворенні будь-якому іншому масштабі. Тут може бути кількісний перенесення результатів експерименту з моделі з оригіналом. Проте задля аналізу складних об'єктів і процесів, якими є більшість електронних схем, конструкцій і технологічних процесів виробництва радіоелектронної техніки, приладобудування, машинобудування й інших галузей, застосування фізичного моделювання важко, оскільки доводиться використовувати велика кількість критеріїв та, які можна несумісні, а й у невыполнимы.

Математичного моделювання є методом якісного чи кількісного описи об'єктів чи процесів, у своїй реальний об'єкт, процес чи явище спрощується, схематизируется і описується певним рівнянням. Найчастіше математична модель є рівняння регресії, тобто геометричне місце точок математичних очікувань умовних розподілів цільової функції. Найпростішим прикладом такий моделі є рівняння парної кореляції, де на кількох цільову функцію впливає ще один чинник. Насправді у реальному виробництві на цільову функцію впливають багато факторів, і дані рівняння регресії стає многомерным.

Є багато методів відшукання рівняння регресії, які можна умовно розділити на два класу: методи активного та художні засоби пасивного експерименту. Під активним експериментом усвідомимо експеримент, попередній план якого складено те щоб забезпечити максимальну інформацію про цільової функції при мінімальної її дисперсії і проведення мінімального числа дослідів (ефективний план). Такий план (наприклад, повний факторний експеримент) вимагає штучного одночасного варіювання усіма чинниками у досить межах. Методи активного експерименту досить добре розроблено у спеціальному розділі математичної статистики, що називається «Теорія планування експерименту » .

Під математичної теорією планування експерименту будемо розуміти науку про засоби складання ощадливих експериментальних планів, що дозволяють видобувати найбільше інформацію про об'єкті, про засобах експерименту, про засоби обробки експериментальних даних, про засоби використання отриманих результатів для оптимізації досліджуваних об'єктів (наприклад, технологічних процесів виробництва масової продукції). Математичний апарат теорії планування експерименту побудований на поєднанні методів математичної статисти та методів рішення екстремальних задач.

Нині виділяють дві основні напрями теорії планування эксперимента:

1. планування екстремальних экспериментов;

2. планування експериментів з виявлення механізму явищ. У цьому курсової роботі описуються переважно методи першого напрями. Будь-яке експериментальне дослідження містить три этапа:

1. етап постановки задачи;

2. етап планування і проведення эксперимента;

3. аналіз стану і інтерпретація результатов.

Головною труднощами на етапі постановки завдання є перехід із мови спеціальності мовою планування експерименту, мовою математики.

Побудова математичну модель технологічного процесу у залежність від поставленого завдання може переслідувати такі цілі: мінімізувати витрата матеріалу на одиницю своєї продукції при збереженні якості, зробити заміну дорогих матеріалів більш дешеві чи дефіцитних розповсюдження; скоротити час обробки цілому, або на окремих операціях, перевести окремі режими в некритичні зони, знизити трудові видатки одиницю продукції й т.д.; поліпшити приватні показники і кількість готової продукції, підвищити однорідність продукції, поліпшити показники надійності тощо.; збільшити надійність і швидкодія управління, збільшити ефективність контролю якості, створити умови для для автоматизації процесу управління і т.п.

Насамперед, необхідно вибрати залежну зміну Y, яку надалі називатимемо цільової функцією чи параметром оптимізації, за який приймають одне із показників якості продукції або за кожної технологічної операції окремо, або за всьому технологічному процесові відразу. Параметр оптимізації має відповідати наступним требованиям:

. параметр повинен вимірюватися незалежно від зміні (комбінації) режимів технологічного процесса;

. параметр може бути статистично ефективним, тобто вимірюватися із найбільшою точностью;

. параметр може бути інформаційним, тобто всебічно характеризувати технологічний процес (операцию);

. параметр повинен мати фізичний сенс, тобто мусить бути можливість досягти корисних результатів при відповідні умови процесса;

. параметр має бути однозначною, тобто має мінімізуватися чи максимизироваться лише одна властивість изделия.

За чинник приймають контрольовану величину об'єкта (вироби, процесу, операції), тобто величину, що характеризує ту чи іншу властивість об'єкта чи режим технологічного устаткування. Ця величина, числове значення вимірюється не більше (межах) зміни, має впливати на параметр оптимизации.

При визначенні величин кількісних оцінок до уваги повинні лише тих чинників, які мають чіткий метрологічний сенс (можливість виміру чинника з певною точностью).

Опис досліджуваного об'єкта не можна отримати у вигляді точної формули функції, справедливою в усьому діапазоні існування аргументів. Вона може бути лише наближеним і невеликій ділянці навколо обраної базової точки. Апроксимація шуканої математичної залежності є певний поліном — відрізок низки Тейлора, куди розкладається невідома зависимость:

|[pic] |(1| | |) |.

где:

[pic] З огляду на наявності некерованих і навіть неконтрольованих вхідних змінних Xi зміна величини Y носить випадковий, тому рівняння (1) не дає точної зв’язок між входом і виходом об'єкту і є лише умовним математичним очікуванням випадкової величини Y, тобто. рівнянням регресії. Щоб відшукати коефіцієнти рівняння регресії за результатами експериментів в N точках факторного простору (що типовою завданням регресійного аналізу), необхідним є дотримання наступних предпосылок:

1. Результати спостережень Y1, Y2,…, Yn вихідний величини в N точках факторного простору є незалежні, нормально розподілені випадкові величины.

2. Вибіркові дисперсії дослідів [pic]однородны, тобто. статистично нерозрізнимі. Це вимога означає незалежність вибіркової дисперсії від місцеположення точки факторного простору, у якій проводиться конкретний досвід (ротатабельность).

3. Незалежні перемінні X1, X2,…, Xn вимірюються з помилкою багато меншою, ніж величина можливого відхилення вихідного параметра Y під впливом неврахованих чинників. Тоді завдання відшукання коефіцієнтів рівняння регресії зводиться до вирішення системи про нормальних рівнянь: |[pic] |(2)|.

де Ygекспериментальні значення вихідного параметра, отримані в g-й точці факторного пространства;

[pic]- значення вихідного параметра, знайдені по рівнянню регресії у його ж точках;

d — кількість членів в рівнянні регресії. Вислів (2) є основним критерієм перевірки вмотивованості знайденого рівняння регресії. Щоб система нормальних рівнянь, яка то, можливо представленій у вигляді матриці, мала єдине рішення, необхідно, щоб матриця була невырожденной, тобто. щоб вектор — стовпчики були лінійно — незалежні. Щоб величини коефіцієнтів рівняння регресії не від числа членів матриці, потрібно її у накласти додаткову умову ортогональности вектор столбцов.

1. Повний факторний эксперимент.

Повним факторным експериментом (ПФЭ) називається експеримент, який реалізує всіх можливих повторювані комбінації рівнів незалежних змінних, кожна з яких примусово варіюється двома рівнях (Рис 1) |[pic] | |Рис. 1 Схема переходу в відносні координати |.

Кількість цих комбінацій N=2n визначає тип планирования.

Для гарантованого отримання єдиного рішення системи нормальних рівнянь необхідно мати ортогональную матрицю планування, що організувати неможливо забезпечити у повній системі одиниць чинників Xi, тобто тоді, коли чинники іменовані (наприклад, важко 17 кілометрів ортогональными до 12 кілограмам). Тому необхідно провести попереднє перетворення кожного чинника — його переведення у систему відносних координат. Таке перетворення легко зробити з допомогою перенесення початку координат в базову точку X* і вибору одиниці відліку ?Xi з кожної координаті Xi. |[pic] |(3| | |) |.

Це дає можливість легко побудувати ортогональную матрицю планування і значно полегшує подальші розрахунки, позаяк у цьому випадку верхні і нижні рівні варіювання Xiв і Xiн в відносних одиницях дорівнюватимуть відповідно xiв = +1 і xiн = -1.

Крок варіювання з кожної перемінної вибирається таким, щоб прирощення величини вихідного параметра Y до базового значенням Y* при реалізації кроку можна було виділити і натомість «шуму «при невеличкому числі паралельних дослідів. Якщо ні жодних указівок на величину кроку? Xi, то першому наближенні можна вибрати? Xi= 0,15X*i, тобто. б сприйняти як крок 15%-ное відхилення від базового рівня X*i. Такий крок дає достатню гарантію те, що чинник Xi викликає помітну реакцію Y, якщо зв’язок з-поміж них існує. Матриця планування має відповідати наступним условиям:

1. Ортогональность.

[pic].

2. Умова нормированости.

[pic].

3. Симетричність щодо центру экстремума.

[pic].

4. Ротатабельность, тобто. координати точок факторного простору в матриці планування підлаштовуються отже точність передбачення значення параметра оптимізації однакова однакові відстанях від центру експерименту (базової точки) та залежною від направления.

Матриця планування складається за такими правилам:

1. Кожна g-я рядок матриці є набір координат точки [pic]g, у якій виробляється эксперимент;

2. Оскільки перемінні xgi приймають лише значення +1 і -1, усі інші перемінні можуть приймати відвідувачів самі значення, що дозволяє з метою спрощення нотувати у таблицю замість +1 і -1 їх знаки + і -;

3. Перша рядок [pic]1 вибирається те щоб керовані перемінні перебували на нижньому рівні, тобто. xi1 = -1.

Наступні рядки під час упорядкування матриці планування набираються за правилом: при построчном переборі всіх варіантів частота зміни знака керованих змінних кожної наступної перемінної вдвічі нижча, ніж для попередньої (див. табл. 1) |Таблиця 1 | |Матриця планування трехфакторного експерименту | | | |g |x1 |x2 |x3 | |1 |- |- |- | |2 |+ |- |- | |3 |- |+ |- | |4 |+ |+ |- | |5 |- |- |+ | |6 |+ |- |+ | |7 |- |+ |+ | |8 |+ |+ |+ |.

Слід зазначити, що суть матриці не зміниться, якщо перший рядок [pic]1 буде обрано те щоб керовані перемінні перебували на верхньому рівні, тобто. xi1 = +1. Матриці планування іншого типу, наприклад, 24, 25 тощо. можуть отримати описаным вище способом. Оскільки зміна вихідний величини Y носить випадковий, необхідна за кожній фазі [pic]g (тобто. у точці з координатами, записаными в g-й рядку) проводити m паралельних дослідів й одержують результати спостережень Y1g, Y2g,…, Ymg усреднять |[pic] |(4| | |) |.

Розмір m може бути будь-якою, але з менше m=3. Тоді експеримент ділиться на m серій дослідів, у кожному у тому числі повністю реалізується матриця планування (тобто. експеримент проводиться в N=2n точках факторного простору). Одне з найважливіших положень сучасної теорії планування експерименту є рандомизация. План експерименту складається те щоб рандомизировать, тобто. зробити випадковими ті систематично діючі чинники, які важко піддаються обліку і контролю, у тому, щоб розглядати їх як випадкові розміру й враховувати статистично. Перед реалізацією плану на об'єкті необхідно зробити рандомизацию — з допомогою таблиці рівномірно розподілених випадкових чисел (табл.П.6) визначити послідовність реалізації матриці планування у кожному з m серій дослідів. І тому як початку вибирається будь-яке число з табл.П.6 і записується в стовпець k1 з табл. 2 цього разу місце g=1. Інші місця цього шпальти заповнюють числа від 1 до N, такі усе своєю чергою з табл.П.6 за обраним початковим. Слід брати до уваги те що вересня шпальтах табл. 2 не повторювалися двічі. Нехай, наприклад, при g=4 k14=8, це що означає, що у першої серії випробувань точка [pic]4 реалізується восьмий усе своєю чергою. Аналогічно рандомизируются випробування, у кожної які залишилися серій експериментів; порядок реалізації записується в шпальтах k2, k3,…, km. Результати експерименту у кожному з серій випробувань записуються в шпальтах Y1, Y2,…, Ym. Перевірка відтворюваності - це перевірка виконання другий передумови регресійного аналізу про однорідності вибіркових дисперсій S2g. Завдання полягає у перевірці гіпотези про рівність дисперсій ?2{Y1}'?2{Y2}'???2{YN} при експериментах відповідно точках [pic]1,[pic]2,…,[pic]g,…,[pic]N. Оцінки дисперсій перебувають за такою формулою |[pic] |(5| | |) |.

Оскільки дисперсії отримані по выборкам однакового обсягу m, то число ступенів свободи всім дисперсій однаково одно |v1 = m-1 |(6| | |) |.

Для перевірки гіпотези про однорідності оцінок дисперсій слід користуватися критерієм Кохрена, який грунтується на законі розподілу відносини максимальної эмперической дисперсії від суми всіх дисперсій, тобто. |[pic] |(7| | |) |.

Якщо розрахований значення критерію G виявиться менше табличного значення Gкр, знайденого для q%-ного рівня значимості, vзн = v2 = N — числа ступенів свободи знаменника (наприклад для q=5%; vчисл = 3 — 1 = 2; vзн=8, Gкр = 0,5157, див. табл.П.5), то гіпотеза про однорідності дисперсій приймається. У цьому всіх дисперсій S2g вважатимуться оцінкою S2{Y} одному й тому ж генеральної дисперсії відтворюваності ?2{Y}, звідки |[pic] |(8| | |) |.

Якщо перевірка на відтворюваність дала негативний результат, то залишається визнати або невоспроизводимость експерименту щодо керованих змінних внаслідок наявності флуктуацій некерованих і неконтрольованих змінних, створюють не вдома великий рівень «шуму », або наявність грубого промаху в рядку, звідки узята дисперсія max{S2g}. У першому випадку слід збільшити кількість паралельних дослідів, у другому — знайти грубий промах і замінити його за результат доброякісного виміру за відповідного комбінації чинників. Якщо це з якимось причин неможливо, те що не порушувати передумови використання критерію Кохрена, цього разу місце грубого промаху слід помістити середню арифметичну величину [pic]g даної рядки. Слід зазначити, що критерій Кохрена можна використовувати немає будь-який групі вибірок, лише до групи вибірок однакового обсягу, що саме і має місце за повної факторном експерименті. Легко помітити, що вихідний план (табл.1) містить значно більше рядків, ніж столбцев і, отже, із наслідків експерименту відповідно до умові рішення нормальних рівнянь (2) можна було одержати додаткову інформацію, тобто. розширити модель. Безумовно, це стосується середньої арифметичній всього експерименту, тобто. до відгуку у базовій точці b0, до розрахунку якого можна запровадити фіктивну зміну xод = +1 всім рядків. Решта вільними стовпчики можна використовуватиме перебування оцінок коефіцієнтів при парних взаємодію тощо. У цьому відповідні величини xixj, xixjxl виходять простим перемножением відповідних шпальт вихідного плану. Тоді математична модель об'єкта, получающаяся внаслідок ПФЭ може бути представленій у вигляді |Y = ?0 + ?0×1 + ?nxn + ?12x1x2 + ?(n-1)x1x2 + ?123x1x2x3 + |(9| |?123…nx1x2x3x3 |) |.

Проте через те, що з обмеженої кількості дослідів не можна отримати точні значення коефіцієнтів ?і, лише їх незалежні оцінки bi, вся математична модель стає оцінної |[pic]= b0 + b1x1 +…+ bnxn + b12x1x2 + b1… nx1…xn |(10| | |) |.

Приклад матриці планування, принцыпа його реалізації і наступного обробки експериментальних даних приведено у табл. 2 з урахуванням трехфакторного експерименту. У розділі «Матриця планування експерименту «включені не лише відносні перемінні xi, поєднання яких є власне справжньої матрицею планування, ні та його парні і потрійні взаємодії, знання котрих необхідно тільки етапі обробки експериментальних данных.

|Таблица 2 | |Матриця планування ПФЭ типу N=23 та обробка її результатів |.

|номе|Порядок |Матриця планування |Результати |Первичная|Проверка | |р |реализаци|эксперимента |експеримент| |адекватнос| |стро|и дослідів | |а |обра |ти | |кі | | | |ботка | | |g | | | |результат| | | | | | |вв | |.

Легко помітити, що матриця планування [pic]является ортогональної з лінійно незалежними вектор-столбцами; це означає диагональность матриці нормальної системи рівнянь, отже, і взаємна незалежність оцінок коефіцієнтів рівняння регрессии.

Слід зазначити, що отримувана модель це не дає членів типу x2ii отже, є неповної. Найчастіше це віддзеркалюється в ролі моделі, оскільки найчастіше bii=0. Однак у випадках, коли bii?0, модель стає неточною (неадекватною), тоді слід від ПФЭ переходити решти принципам планування (зазвичай, трапляється навколо приватного чи глобального экстремума цільової функции).

Після визначення оцінок коефіцієнтів регресії необхідно перевірити гіпотезу про значимість коефіцієнтів bi. Найліпше це зробити на вигляді нуль-гипотезы, тобто. гіпотези про рівність bi = 0. Якщо вона підтвердилася, то коефіцієнт bi можна припустити статистично незначущим і відкинути з шуканої моделі; якщо гіпотеза не підтвердилася, то відповідний коефіцієнт bi можна припустити значимим й реально ввімкнути в модель.

Перевірка гіпотези здійснюється з допомогою t — критерію Стъюдента, який за перевірка нуль-гипотезы формується як |[pic] |(12| | |) |.

де S2{bi}- дисперсія помилки визначення коефіцієнта bi. За повної і дробовому факторном плануванні всім і |[pic] |(13| | |) |.

Якщо розрахований величина параметра ti перевищує табличное значення tкр, знайдене для q%-ного рівня значимості і vз=N (m-1) числа ступенів свободи (наприклад для q = 5%; vз = 16; tкр = 2,199, см. табл.П.2) то нуль-гипотеза відхиляється і коефіцієнт вважається незначущим і треба відкинути, не включаючи на бажану модель. Статистична незначимість коефіцієнта bi то, можливо обумовлена такими причинами:

1. рівень базового режиму [pic]* близький до точки приватного экстремума по перемінної Xi чи з твору переменных;

2. крок варіювання ?Xi обраний малым;

3. дана змінна (чи твір змінних) немає функціональної зв’язки України із вихідним параметром Y;

4. велика помилка експерименту внаслідок наявності некерованих і неконтрольованих переменных.

Оскільки ортогональное планування дозволяє визначати довірчі кордону кожного з коефіцієнтів регресії окремо, то, якщо якийсь з коефіцієнтів виявиться незначущим, може бути відкинутий без перерахунку решти. Після цього математична модель об'єкта складається як рівняння зв’язку вихідного параметра Y і змінних xi, що включає лише значимі коэффициенты.

Щоб перевірити гіпотезу про адекватність уявлення результатів експерименту знайденому рівнянню зв’язку (інакше кажучи, щоб перевірити, наскільки знайдене рівняння відповідає експериментальним результатам), досить оцінити відхилення вихідний величини Yg, передбачене рівнянням регресії, від результатів експериментів [pic]g в точках [pic]факторного пространства.

Розсіювання результатів експерименту поблизу рівняння зв’язку, аппроксимирующего потрібну функціональну залежність, можна охарактеризувати з допомогою дисперсії неадекватності ?2ад, оцінка якої S2ад перебувають розслідування щодо формулі |[pic] |(14| | |) |.

із кількістю ступенів свободи vад = N-d, де d — членів аппроксимирующего полинома. Перевірка адекватності полягає у з’ясуванні співвідношень між дисперсией неадекватності ?2ад і дисперсией відтворюваності ?2{Y}. Якщо ?2ад не перевищує дисперсії досвіду, то отримана математична модель адекватно представляє результати експерименту, Якщо ж ?2ад> ?2{Y}, то опис вважається неадекватним об'єкту. Перевірка гіпотези про адекватність здійснюється з використанням F-критерия Фішера. Критерій Фішера дозволяє перевірити нуль-гипотезу про рівність двох генеральних дисперсій ?2ад і ?2{Y}. У зв’язку з тим, самих генеральних дисперсій ми знаємо, F-критерий формується, як ставлення |[pic] |(15| | |) |.

Якщо розрахований за такою формулою (15) значення критерію F менше табличного Fкр, знайденого для q%-ного рівня значимості, vчисл = vад = v4 = N-d числа ступенів свободи чисельника і vзн = vз = N (m-1) числа ступенів свободи знаменника, то нуль-гипотеза приймається. Інакше вона відхиляється і опис (модель) визнається неадекватним об'єкту. Деякі значення Fкр (q=5%;v4;vз) наведені у табл.П.4.

Працюючи може виникнути ситуація, коли вибіркова дисперсія неадекватності S2ад не перевершує оцінки дисперсії відтворюваності S2{Y} (тобто. коли S2ад? S2{Y}). Тоді співвідношення (15) дорівнюватиме F?1 і нерівність F 0. Кількість варіантів варіювання плану ПФЭ одно числу оцінюваних коефіцієнтів регресії рівняння зв’язку (N = d). Отже, іншого ступенів свободи (vад = 0) для перевірки нуль-гипотезы про адекватність уявлення експериментальних даних обраної формою аппроксимирующего полинома. Якщо ж деякі коефіцієнти регресії виявилися незначущі чи ними можна знехтувати з їх дрібниці, то членів проверяемого рівняння у тому цьому разі буде менше ніж варіантів варіювання (d0) залишиться для перевірки гіпотези адекватності. Якщо гіпотеза адекватності відхиляється, то модель визнається неадекватною експериментальним даним. Неадекватність моделі значить її неправильності! Неадекватність моделі означатиме, що ні весь перелік впливають чинників у увагу, або що необхідно можливість перейти до складнішою формі рівняння зв’язку, чи вибрати інший крок варіювання по одній або кільком чинникам тощо. Але всі досягнення неадекватною моделі: відсів незначущих чинників, оцінка дисперсії експерименту, і ін. залишаються у силе.

Приклад 1. Методом ПФЭ знайти математичну модель процесу напилювання резисторів. Після консультації з експертами та деяких менших попередніх досліджень було встановлено, що у величину опору напыляемых резисторів можуть впливати такі факторы:

1. Стан випарника — «чисте », тобто. порошок для напилювання сыпется в склянку випарника вперше з часів промивання його сторін, чи «брудна », тобто. порошок сыпется в випаровувач, у якому залишилося деяке його кількість від попереднього циклу напилювання; позначимо цього чинника як x1, причому величина x1 = +1соответствует «чистому », а величина x1 = -1 відповідає «брудному «стану испарителя;

2. Температура підігріву підкладки x2, причому x2 = +1 відповідає верхньої припустимою по техпроцессу температурі, а x2 = -1 — нижней;

3. Температура випарника x3, причому x3 = +1 відповідає верхньої припустимою по техпроцессу температурі, а х3 = -1 — нижньої. План експерименту, його п’ятиразова реалізація з урахуванням рандомизации і первинна обробка результатів представленій у таблице.

При первинної обробці результатів експериментів користуємося формулами (4) і (5), та був перевіряємо відтворюваність дослідів по (7).

[pic] Отже, підтверджено відтворюваність дослідів (виправдатись нібито відсутністю даних грубих промахів), що дозволяє, своєю чергою, знайти середню дисперсию малих літер вибірок (дисперсию дослідів) по (8) |[pic] |C|v3 = 8· (5−1) = 32 ступенями свободи |.

Оцінки коефіцієнтів рівняння регресії шукаються за такою формулою (11).

[pic].

[pic].

[pic] тощо. Аналогічно знаходимо b3 = -0,55; b12 = +0,61; b13 = -2,30; b23 =.

+0,26; b123 = -0,81 Перевіряємо значимість оцінок коефіцієнтів критерієм Стьюдента по формуле.

(12), попередньо знайшовши дисперсию оцінок за такою формулою (13) |[pic] |; |[pic] | |Тогд|[pic] |;|[pic] |;|[pic] | |а | | | | | |.

|далее аналогично|t12 = |;|t13 = 9,812|;|t23 = 1,109|;|t123 = 3,455 | | |2,602 | | | | | | |.

Табличное значення критерію ti (табл.П.2) tкр (5%;v3=32) = 2,046, тому все знайдені оцінки коефіцієнтів, крім b23, зізнаються значущими та мають увійти в модель [pic]= 14,90 + 1,61×1 + 0,86×2 -0,55×3 + 0,61x1x2 -2,30x1x3 — 0,81x1x2x3 Для визначення дисперсії адекватності за такою формулою (14) потрібно спочатку знайти числові значення моделі [pic]g кожної g-ой рядки матриці планування, та був підрахувати суму квадратів разностей між модельним значенням та середнім арифметичним [pic]g тієї ж строки.

[pic] Тоді критерій Фішера (15) дает.

[pic] що доводить адекватність знайденою моделі. Її можна використовуватиме управління технологічним процесом випробування резисторов.

2. Подрібнений факторний эксперимент.

Повний факторний експеримент доцільно використовувати при порівняно невеличкому числі незалежних чинників (звичайно більше 5), в іншому разі число варіантів варіювання N = 2N стає непомірно великим і реалізація експерименту не може. У той самий час у більшості практичних завдань взаємодії зовнішніх порядків, починаючи з третього (а те й другого), відсутні чи пренебрежимо малі, унаслідок чого зайве багато ступенів свободи залишається на перевірку гіпотези адекватності. Якщо заздалегідь знехтувати взаємодіями вищих порядків, те є можливість отримати математичну модель при меншому числу дослідів, реалізувавши не весь план ДФЭ, лише його частину (дробову реплику).

Експеримент, який реалізує частина (дробову репліку) повного факторного експерименту, називається дробовим факторным експериментом (ДФЭ). ДФЭ дозволяє їм отримати наближення шуканої функціональної залежності Y = f (X1,…, Xn) у певній невеличкий околиці точки базового режиму при мінімумі дослідів. Так, на вирішення трехфакторной завдання можна обмежитися чотирма варіантами (N = 4), тоді як плануванні ПФЭ типу 22 твір x1x2 прирівняти до третьої незалежної перемінної x3. Таке планування, представлене матрицею табл 3, дозволяє оцінити вільний член b0 і трьох коефіцієнта регресії при лінійних членах b1, b2,b3 (з чотирьох дослідів не можна отримати чотирьох коефіцієнтів). |Таблиця 3 | |Полуреплика від ПФЭ типу 23 | |(планування типу 23−1) |.

аналогічно b2 = -1,44; b3 = 0,05. Перевірка значимості отриманих оцінок починається з визначення їхніх СКО.

[pic] звідки |[pic] |;|[pic] |;|[pic] |.

Табличні значення критерію tкр (5%;16) = 2,131, отже, модель знайдено в виде.

[pic]= 14,09 + 1,88×1 — 1,44×2. Перевірка адекватності моделі дає |[pic] |, |[pic] |,| | |откуд| | | | |а | | |.

тобто. модель визнається адекватної експериментальним данным.

Порівняння моделей прикладу 1 і прикладу 2 показує, що вони мають цілком різний вид, а, по деяким чинникам — протилежні по змісту оцінки коефіцієнтів. Звідси можна зробити кілька загальних висновків, і рекомендацій (без докладного обгрунтування), придатних від використання в рамках теорії планування экспериментов:

1. з одних і тим самим експериментальним даним можна побудувати кілька математичних моделей, кожна з яких буде адекватна для свого набору оцінок коефіцієнтів регрессии;

2. із усіх моделей найкращою визнається та, що має менше членів і від критерій Фішера (чи, якщо хочете, менше дисперсія адекватности);

3. при великому числі чинників роботу з математичному моделюванню слід розпочинати з ДФЭ можливо більшої дробности. Якщо модель вийшла неадекватною, завжди можна добудувати до наступній репліки до ПФЭ. Це заощадить кількість дослідів, час, витрати й т.п.

Заключение

.

Застосування описаних вище методів математичного моделювання повністю виправдала себе за умов з гаком числом чинників. Але у дуже великому числі факторів, і залучення до написання математичного описи досліджуваного об'єкта методами ПФЭ чи ДФЭ вимагатиме збільшення обсягів експериментальної роботи, що рідко може виконуватися зза економічних, технологічних та інші обмежень. Отже, виникає у попередньому отсеивании несуттєвих і виділенні тих чинників процесу, які мають найпомітніша впливом геть цільову функцію. Іншим істотним труднощами до застосування ПФЭ чи ДФЭ в виробничих умовах є метод отримання оцінок коефіцієнтів регресії. Оцінки виду (11) вважаються оптимальними себто ефективності (мінімуму дисперсії), оскільки з їхньою обчислення виходить з методі найменших квадратів, проте попереднім умовою такий оптимальності є вимоги незалежності чинників, ортогональности і симетричності плану експерименту, і навіть вимога рівності дисперсій умовних розподілів щільності ймовірності f (y/xk). Натомість симетричність плану вимагає рівного кількості спостережень, відповідних позитивним і негативним значенням k-го фактора.

Насправді в виробничих умовах вимоги симетричності плану і рівності дисперсій умовних розподілів щільності ймовірності f (y/xk) експерименту, зазвичай, порушуються, особливо у випадках, коли дослідник намагається побудувати модель за результатами, зафіксованими для випадкової системи комбінацій виробничих чинників. У цьому завжди є вибір: або порушити одна з вимог факторного аналізу, або втратити частину інформації, намагаючись вибрати з її тільки те, що цілком узгоджується з правилами ведення ПФЭ (ДФЭ).