Решение деяких рівнянь і нерівностей з параметром

Графічне рішення рівнянь, нерівностей, систем з параметром.

(алгебра й конкуренції початку анализа).

Виконавець: Зырянов Р.Б.

Керівник: Попова Н.Б.

Єкатеринбург 1998.

I.

Введение

.

II. Рівняння з параметрами. (1. Визначення. (2. Алгоритм рішення. (3. Примеры.

III. Нерівності з параметрами. (1. Визначення. (2. Алгоритм рішення. (3. Примеры.

IV.

Список литературы

.

V. Приложения.

Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто призводить до рішенню завдань із параметрами. Деякі Вузи також включають в екзаменаційні квитки рівняння, нерівності та його системи, які часто бувають дуже складними і які вимагають нестандартного підходу до розв’язання. Бо в школі ж це одне з найбільш важких розділів шкільного курсу математики розглядається лише з нечисленних факультативних занятиях.

Готуючи цю роботу, я ставив мету глибшого вивчення цієї теми, виявлення раціонального рішення, швидко що призводить відповіді. На погляд графічний метод є зручним і швидким засобом для вирішення рівнянь і нерівностей з параметрами.

У моєму рефераті розглянуті часто які типи рівнянь, нерівностей та його систем, і сподіваюся, знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені коли аграрії здають шкільних іспитів на час вступу, а ВУЗ.

(1. Основні определения.

Розглянемо уравнение.

((a, b, з, …, (, x)=((a, b, з, …, (, x), (1) де a, b, з, …, (, xперемінні величины.

Будь-яка система значень змінних, а = а0, b = b0, з = c0, …, k = k0, x = x0, за якої навіть ліва і права частини цієї рівняння приймають справжні значення, називається системою допустимих значень змінних a, b, з, …, (, x. Нехай, А — безліч всіх допустимих значень а, B — безліч всіх допустимих значень b, тощо., Х — безліч всіх допустимих значень x, тобто. а (А, b (B, …, x (X. Якщо біля кожного з множин A, B, З, …, K вибрати і зафіксувати відповідно за одним значенням a, b, з, …, (і підставити в рівняння (1), одержимо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним неизвестным.

Змінні a, b, з, …, (, які за рішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметры.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, з, d, …, (, l, m, n, а невідомі - літерами x, y, z.

Вирішити рівняння з параметрами — отже вказати, за яких значеннях параметрів існують рішення і є они.

Два рівняння, містять одні й самі параметри, називаються рівносильними, якщо: що мають сенс при одним і тієї ж значеннях параметрів; б) кожне рішення першого рівняння розв’язує другого і наоборот.

(2. Алгоритм решения.

Находим область визначення рівняння. Висловлюємо a як функцію від x. У системі координат хОа будуємо графік функції а=((х) тим значень x, що входять у область визначення даного уравнения.

Знаходимо точки перетину прямий а=с, де з ((-(;+() з графіком функції а=((х).Если пряма а=с перетинає графік а=((х), то визначаємо абсциссы точок перетину. І тому досить вирішити рівняння а=((х) щодо x. Записуємо ответ.

(3. Примеры.

I. Вирішити уравнение.

[pic] (1).

Решение.

Оскільки х=0 перестав бути коренем рівняння, можна дозволити рівняння щодо, а :

[pic] чи [pic].

Графік функції - дві «склеєних» гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії прямий у=а.

Якщо, а ((-(;-1]((1;+()([pic], то пряма у=а перетинає графік рівняння (1) лише у точці. Абсциссу цієї точки знайдемо під час вирішення рівняння [pic] щодо х.

Отже, у цьому проміжку рівняння (1) має рішення [pic].

Якщо, а ([pic], то пряма у=а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсциссы цих точок можна знайти з рівнянь [pic] і [pic], получаем.

[pic][pic] і [pic].

Якщо, а ([pic], то пряма у=а не перетинає графік рівняння (1), отже рішень нет.

Відповідь: Якщо, а ((-(;-1]((1;+()([pic], то [pic]; Якщо, а ([pic], то [pic][pic], [pic]; Якщо, а ([pic], то рішень нет.

II. Знайти все значення параметра а, у яких рівняння [pic] має три різних корня.

Решение.

Переписавши рівняння як [pic] і розглянувши пару функций.

[pic], можна побачити, що ці значення параметра чи лише вони відповідати положенням графіка функції [pic], за яких він має точно трикрапку перетину з графіком функції [pic].

У системі координат хОу побудуємо графік функції [pic]). І тому можна уявити їх у вигляді [pic] і, розглянувши чотири виникаючих випадку, запишемо цю функцію в виде.

[pic].

Оскільки графік функції [pic] - це пряма, має кут нахилу до осі Ой, рівний [pic], і яка перетинає вісь Зу у точці з координатами (0, а), укладаємо, що три зазначені точки перетину можна було одержати лише разі, коли ця пряма стосується графіка функції [pic]. Тому знаходимо похідну [pic].

Відповідь: [pic].

III. Знайти все значення параметра а, при кожному у тому числі система уравнений.

[pic] має решения.

Решение.

З першого рівняння системи одержимо [pic] при [pic] Отже, це рівняння задає сімейство «полупарабол» — праві галузі параболи [pic] «ковзають» вершинами по осі абсцисс.

Виділимо у частині другого рівняння повні квадрати, і розкладемо її на множники [pic].

Безліччю точок площині [pic], які відповідають другому рівнянню, є дві прямые.

[pic] і [pic].

З’ясуємо де, за яких значеннях параметра, а крива з сімейства «полупарабол» має хоча б одну загальну точку з однією з отриманих прямых.

Якщо вершини полупарабол перебувають правіше точки А, але лівіше точки У (точка У відповідає вершині тієї «полупараболы», що стосується прямий [pic]), то аналізовані графіки немає загальних точок. Якщо вершина «полупараболы» збігаються з точкою Бо [pic].

Випадок торкання «полупараболы» з прямою [pic] визначимо з умови існування єдиного рішення системы.

[pic] І тут уравнение.

[pic] має один корінь, звідки знаходимо :

[pic].

Отже, вихідна система має не має рішень при [pic], а при [pic] чи [pic] має хоча одне решение.

Відповідь: а ((-(;-3] (([pic]; +().

IV. Вирішити уравнение.

[pic].

Решение.

Використавши рівність [pic], заданий рівняння перепишемо в виде.

[pic].

Це рівняння рівносильне системе.

[pic].

Рівняння [pic] перепишемо в виде.

[pic]. (*).

Останнє рівняння найпростіше вирішити, використовуючи геометричні міркування. Побудуємо графіки функцій [pic] і [pic] З графіка слід, що з [pic] графіки не перетинаються і, отже, рівняння немає решений.

Якщо [pic], то, при [pic] графіки функцій збігаються і, отже, все значення [pic] є рішеннями рівняння (*).

При [pic] графіки перетинаються лише у точці, абсциса якої [pic]. Отже, при [pic] рівняння (*) має єдине рішення — [pic].

Досліджуємо тепер, яких значеннях, а знайдені рішення рівняння (*) будуть задовольняти условиям.

[pic].

Нехай [pic], тоді [pic]. Система прийме вид.

[pic].

Її рішенням буде проміжок x ((1;5). З огляду на, що [pic], можна укласти, що з [pic] вихідному рівнянню задовольняють все значення x з проміжку [3; 5).

Розглянемо випадок, коли [pic]. Система нерівностей прийме вид.

[pic].

Розв’язавши цю систему, знайдемо а ((-1;7). Але [pic], тому при а ((3;7) вихідне рівняння має єдине рішення [pic].

Відповідь: якщо а ((-(;3), то рішень немає; якщо а=3, то x ([3;5); якщо a ((3;7), то [pic]; якщо a ([7;((), то рішень нет.

V. Вирішити уравнение.

[pic], де, а — параметр. (5).

Решение.

1. При будь-якому, а: [pic].

2. Якщо [pic], то [pic]; якщо [pic], то [pic]. 3. Будуємо графік функції [pic], виділяємо ту його частину, що відповідає [pic]. Потім відзначимо ті частини графіка функції [pic], що відповідає [pic].

4. За графіком визначаємо, яких значеннях, а рівняння (5) має рішення і яких — немає решения.

Відповідь: якщо [pic], то [pic] [pic] якщо [pic], то [pic]; якщо [pic], то рішень немає; якщо [pic], то [pic], [pic].

VI. Яким умовам повинні задовольняти ті значення параметрів [pic] і [pic], у яких системы.

[pic] (1) и.

[pic] (2) мають однакове число рішень ?

Решение.

З огляду на те, що [pic] має сенс тільки при [pic], отримуємо після перетворень систему.

[pic] (3) рівносильну системі (1).

Система (2) рівносильна системе.

[pic] (4).

Перше рівняння системи (4) задає у площині хОу сімейство прямих, друге рівняння задає сімейство концентричних окружностей з центром в точці А (1;1) і радіусом [pic].

Оскільки [pic], а [pic], то [pic], і, отже, система (4) має щонайменше чотирьох рішень. При [pic] окружність стосується прямий [pic] і система (4) має п’ять решений.

Отже, якщо [pic], то система (4) має чотири рішення, якщо [pic], то таких рішень буде більше, ніж четыре.

Якщо ж пам’ятати не радіуси окружностей, а сам параметр бо система (4) має чотири рішення на разі, коли [pic], і більше чотирьох рішень, якщо [pic].

Звернімося тепер до розгляду системи (3). Перше рівняння цієї системи задає у площині хОу сімейство гіпербол, розміщених у першій дії і другому квадрантах. Друге рівняння системи (3) задає у площині хОу сімейство прямых.

При фіксованих позитивних чи b система (3) може мати два, три, чи чотири рішення. Кількість ж рішень залежить від цього, було б пряма, задана рівнянням [pic], мати загальні точки з гіперболою [pic] при [pic] (пряма [pic] має одну точку перетину з графіком функції [pic]).

Аби вирішити цього розглянемо уравнение.

[pic], яке зручніше переписати в виде.

[pic].

Тепер вирішення завдання зводиться до розгляду дискриминанта D останнього рівняння: якщо [pic], тобто. якщо [pic], то система (3) має дві рішення; якщо [pic], то система (3) має три рішення; якщо [pic], то система (3) має чотири решения.

Отже, однакове число рішень у систем (1) і (2) — це чотири. І це має місце, коли [pic].

Відповідь: [pic].

II. Нерівності з параметрами.

(1. Основні определения.

Неравенство.

((a, b, з, …, (, x)>((a, b, з, …, (, x), (1) де a, b, з, …, (- параметри, а x — справжня змінна величина, називається нерівністю з однією невідомим, що містить параметры.

Будь-яка система значень параметрів, а = а0, b = b0, з = c0, …, k = k0, при деякою функции.

((a, b, з, …, (, x) и.

((a, b, з, …, (, x мають зміст у області дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметров.

[pic]называется допустимим значенням x, если.

((a, b, з, …, (, x) и.

((a, b, з, …, (, x приймають справжні значення за будь-якої припустимою системі значень параметров.

Безліч всіх допустимих значень x називається областю визначення нерівності (1).

Справжнє число х0 називається приватним рішенням нерівності (1), якщо неравенство.

((a, b, з, …, (, x0)>((a, b, з, …, (, x0) вірно за будь-якої системі допустимих значень параметров.

Сукупність усіх приватних рішень нерівності (1) називається загальним вирішенням цього неравенства.

Вирішити нерівність (1) — отже вказати, за яких значеннях параметрів існує спільне рішення і яким оно.

Два неравенства.

((a, b, з, …, (, x)>((a, b, з, …, (, x) і (1).

((a, b, з, …, (, x)>((a, b, з, …, (, x) (2) називаються рівносильними, якщо вони теж мають однакові спільні рішення за одного й тому самому безлічі систем допустимих значень параметров.

(2. Алгоритм решения.

1. Знаходимо область визначення даного нерівності. 2. Зводимо нерівність до рівнянню. 3. Висловлюємо бо як функцію від x. 4. У системі координат хОа будуємо графіки функцій, а =((x) тим значень x, що входять у область визначення даного нерівності. 5. Знаходимо безлічі точок, які відповідають даному нерівності. 6. Досліджуємо вплив параметра на результат. 1. знайдемо абсциссы точок перетину графіків. 2. поставимо пряму а=соnst і зрушувати її від -(до+(7. Записуємо ответ.

Це тільки одне із алгоритмів рішення нерівностей з параметрами, з використанням системи координат хОа. Можливі й інші на методи вирішення, з використанням стандартної системи координат хОy.

(3. Примеры.

I. Всім допустимих значень параметра, а вирішити неравенство.

[pic].

Решение.

У сфері визначення параметра а, певного системою неравенств.

[pic] дане нерівність рівносильне системі неравенств.

[pic].

Якщо [pic], то рішення вихідного нерівності заповнюють відрізок [pic].

Відповідь: [pic], [pic].

II. При яких значеннях параметра, а має рішення система.

[pic].

Решение.

Знайдемо коріння трехчлена лівої частини нерівності -.

[pic] (*).

Прямі, задані равенствами (*), розбивають координатну площину аОх чотирма області, у кожному у тому числі квадратний трехчлен.

[pic] зберігає постійний знак. Рівняння (2) задає окружність радіуса 2 з центром на початку координат. Тоді рішенням вихідної системи буде те що заштрихован.

іншої області з окружністю, де [pic], а значення [pic] і [pic] перебувають з системы.

[pic] а значення [pic] і [pic] перебувають з системы.

[pic].

Вирішуючи ці системи, отримуємо, что.

[pic].

Відповідь: [pic].

III. Вирішити нерівність [pic] на [pic] залежно від значень параметра а.

Рішення. Знаходимо область допустимих значень — [pic] Побудуємо графік функції у системі координат хОу. 1. при [pic] нерівність рішень немає. 2. при [pic] для [pic] рішення x задовольняє співвідношенню [pic], где.

[pic].

Відповідь: Рішення нерівності існують при [pic].

[pic], де [pic], причому при [pic] рішення [pic]; при [pic] рішення [pic] .

IV. Вирішити неравенство.

[pic].

Рішення. Знаходимо ОДЗ чи лінії розриву (асимптоты).

[pic] [pic].

[pic] Знайдемо рівняння функцій, графіки яких слід побудувати в ПСК; навіщо час торкнутися рівності :

[pic].

Розкладемо чисельник на множители.

[pic] т. до. [pic] то.

[pic].

Розділимо обидві частини рівності на [pic] при [pic]. Але [pic] є рішенням: ліва частина рівняння дорівнює правій частині і дорівнює нулю при [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

3. Будуємо в ПСК хОа графіки функций.

[pic] і нумеруем які утворилися області (осі ролі не грають). Вийшло дев’ять областей.

4. Шукаємо, яка з областей адресований даного нерівності, навіщо беремо точку з області та підставляємо в неравенство.

Для наочності складемо таблицю. |(|точка |нерівність: [pic] |висновок | |1 |[pic] |[pic] |- | |2 |[pic] |[pic] |+ | |3 |[pic] |[pic] |- | |4 |[pic] |[pic] |+ | |5 |[pic] |[pic] |- | |6 |[pic] |[pic] |+ | |7 |[pic] |[pic] |- | |8 |[pic] |[pic] |+ | |9 |[pic] |[pic] |- |.

5. Знайдемо точки перетину графиков.

[pic].

6. Поставимо пряму а=сonst і зрушувати її від -(до +(.

Відповідь. при [pic] [pic] при [pic] [pic] при [pic] [pic] при [pic] рішень немає при [pic] [pic].

1. Далингер У. А. «Геометрія допомагає алгебрі». Видавництво «Школа ;

Пресс". Москва 1996 р. 1. Далингер У. А. «Усі задля забезпечення успіху випускних і на вступних іспитах з математики». Видавництво Омського педуніверситету. Омск.

1995 р. 1. Окунев А. А. «Графічне рішення рівнянь з параметрами».

Видавництво «Школа — Пресс». Москва 1986 р. 1. Письменский Д. Т. «Математика для старшокласників». Издательство.

«Айріс». Москва 1996 р. 1. Ястрибинецкий Р. А. «Рівнянь і нерівності, містять параметры».

Видавництво «Просвітництво». Москва 1972 р. 1. Р. Корн і Т. Корн «Довідник з математики». Видавництво «Наука» физико-математическая література. Москва 1977 р. 1. Амелькин У. У. і Рабцевич У. Л. «Завдання з параметрами». Издательство.

«Асар». Мінськ 1996 г.