Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

Пошукова робота на тему:

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

План Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

Подвійний інтеграл в полярних координатах.

Обчислення подвійного інтеграла.

одержимо подвійний інтеграл.

.

1. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

. Нагадаємо, що задача про об'єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу.

(11.16).

Рис. 11.4 Рис. 11.5.

 — рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.

.

в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

.

рівняння яких:

.

. Отже, інтеграл.

маємо:

. (11.17).

.

Рис. 11.6.

її виразом (11.17), дістаємо.

або в зручнішій формі.

. (11.18).

місцями, можна вивести й формулу:

. (11.19).

З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19)) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

).

.

в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

на кілька правильних областей.

За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл.

.

обмежена лініями (рис. 11.7).

. Крива входу.

Рис. 11.7.

. За формулою (11.18) маємо:

.

). Тоді:

.

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах.

.

буде:

.

або.

.

.

. Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції.

Рис. 11.8 Рис. 11.9.

а тому, переходячи до границі, дістанемо.

. (11.20).

називається елементом площі.

.

Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

.

дістанемо.

. (11.21).

то межі інтегрування сталі за двома змінними.

. (11.22).

дістаємо.

Рис. 11.10.

(11.23).

.

тобто, якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то.

. (11.24).

Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

у полярних координатах;

;

;

;

5) обчислити повторний інтеграл.

частина кільця (рис. 11.10).

Р о з в ‘ я з о к.