Числові та степеневі ряди

Реферат на тему:

Числові та степеневі ряди.

ПЛАН.

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. Числові ряди.

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1−1+1−1+1−1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1−1)+(1−1)+… та S=1-(1−1)-(1−1)-…. Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…, an,… .

називають числовим рядом, а доданок an — загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S1=a1 ;

S2=a1+a2 ;

…

Sn=a1+a2+…+an ;

…

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду.

(9.1).

Приклади.

.

.

називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів.

).

і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

Достатні ознаки збіжності рядів.

.

.Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

. Ряд збігається.

то ряд є збіжним.

.

. Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів.

.

.

ue.

ue.

x.

E.

U.

x00F0.

th.

E.

I.

I.

x00D0.

O.

O.

U.

Ue.

TH.

a.

a.

ae.

ae.

e.

e.

x00F0.

th.

x0A00&x460B.

розбігається.

Приклади.

розбігається.

є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду.

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1−2x+3×2−4×3+5×4-… Тут cn = (-1)n ((n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших — розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|.

Приклад.

Знайти область збіжності степеневого ряду.

.

. Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При -22 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна почленно диференціювати та інтегрувати.

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад функцій у ряди.

Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f (x) є (n+1) разів диференційовною. Тоді в цьому околі функція f (x) розкладається в такий ряд.

(9.2).

де точка (належить околу точки x0 .

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)-а похідна f (n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x (x0. Отже,.

.

При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена.

(9.3).

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними, можна розкладасти в степеневі ряди.

Приклади.

Розкласти в степеневий ряд функцію f (x)=ex.

Маємо f (x)=f ((x) =f ((x) =…=f (n)(x) =…=ex. Далі f (0)=f ((0)=f ((0)=…

…=f (n)(0) =…=e0=1. Отже,.

) ряд збігається при будь-якому значенні x.

Оскільки (sinx)(=cosx, (sinx)(=-sinx, (sinx)((=-cosx, (sinx)IV=sinx, то.

…=.

і далі ln (1 = 1, ln (1 = -1!, ln ((1 = 2!,.

Радіус збіжності визначаємо відповідно до ознаки Д’Аламбера:

звідки умова |x|<1. Отже, R=1.

Формула Тейлора справджується і для функцій від багатьох змінних. Зокрема, для функції від двох змінних f (x, y) в околі точки (0;0):

(9.4).