Поняття функції від багатьох змінних. 
Лінії рівня

Реферат на тему:

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня.

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x1,…, xn.

Означення. Множина значень {x1,…, xn}, за яких вираз f (x1,…, xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f (x1,…, xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2×1+3×2-x3+7×4.

3. Функція від трьох змінних V=V (a, b, c)=a (b (c. Об'єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F (K, L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K (0; L (0}.

визначається з нерівності 100-x2-y2(0, тобто x2+y2(102. Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z.

6 8 10 y.

x.

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f (x, y) називається множина точок площин OXY таких, що f (x, y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис. 6.2).

тобто x2+y2=82. Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.

y.

6 8 10 x.

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича функція має вигляд Q=10×1+20×2 (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q (x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) — це відрізок прямої 10×1+20×2=60, а при C=40 — відрізок прямої 10×1+20×2=40 (рис. 6.3).

(Ресурс x1).

4 Q=60.

2 Q=40.

1 2 3 4 5 6 (Ресурс x2).

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10×1,20×2} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

|.

ae.

p.

r.

t.

v.

A.

A.

AE.

E.

E.

I.

x00D0.

O.

O.

Oe.

O.

Ue.

TH.

a.

".

-.

O.

Oe.

H На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

(Ресурс x1).

2 Q=80.

1 Q=40.

1 2 3 4 5 (Ресурс x2).

Рис. 6.4.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q (x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K0.6(L0.4 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).

На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки неявних функцій K0.6(L0.4=10 та K0.6(L0.4=20):

K.

Q=20.

Q=10.

L.

Рис. 6.5.

У тривимірному просторі функція Q=K0.6(L0.4 є поверхнею, що зображена на рис. 6.6.

Q.

K.

L.

Рис. 6.6.

5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=K ((L1-((0<(<1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів (та C.

При (=0,5 та C=2 маємо 2 = K0.5(L0.5, звідки K= 2L-1.

При (=0,3 та C=1 отримуємо 1 = K0.3(L0.7, звідки K= 2L-7/3.

На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень (та C.

K.

(=0,5; C=2.

(=0,3; C=1.

L.

Рис. 6.7.

6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=K ((L ((0<(,(<1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків (+(<1 та (+(>1, відповідно.

(+(<1 (+(>1.

Q Q.

K K.

L L.

а б.

Рис. 6.8.