Наближені методи розв"язування рівнянь та систем рівнянь
Етап 1. відокремлення коренів. Необхідно знайти відрізок, на якому рівняння f (x)=0 має тільки один корінь (рис. 10.1). Розглянемо рівняння з одним невідомим f (x) = 0. Точних методів відшукання всіх коренів такого рівняння немає. Зрозуміло, що другий етап наближеного відшукання кореня бажано виконувати за допомогою комп’ютера. Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь. Наближені… Читати ще >
Наближені методи розв"язування рівнянь та систем рівнянь (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Наближені методи розв’язування рівнянь та систем рівнянь.
Розглянемо рівняння з одним невідомим f (x) = 0. Точних методів відшукання всіх коренів такого рівняння немає.
Наближені методи полягають у виконанні двох етапів.
Етап 1. відокремлення коренів. Необхідно знайти відрізок [a;b], на якому рівняння f (x)=0 має тільки один корінь (рис. 10.1).
y.
[ ] x.
a b.
Рис. 10.1.
Етап відокремлення коренів виконується вручну за допомогою загальновідомих методів дослідження функцій (тема 4). На цьому етапі корисною може бути наведена нижче теорема.
Теорема. Якщо функція y=f (x) є неперервною на відрізку [a;b], причому величини f (a) та f (b) мають різні знаки, то на [a;b] рівняння f (x)=0 має хоча б один корінь. Якщо, крім того, похідна f ((x) на [a;b] не змінює знака, то цей корінь є єдиним.
Етап 2. уточнення коренів. Розглянемо один з найпростіших методів уточнення відділеного кореня — метод половинного ділення.
вибираємо ту частину інтервалу [a;b], де знаки функції f (x) є різними. Отже, інтервал, у якому є корінь, зменшився удвічі. Продовживши процес, ми звужуємо інтервал до такої величини, поки його розмір (який дорівнює абсолютній похибці) не стане меншим від потрібної нам величини.
Зрозуміло, що другий етап наближеного відшукання кореня бажано виконувати за допомогою комп’ютера.
:
<
>
B.
D.
F.
u.
ue.
th.
>
<
D.
th.
>
>
" алгоритмічної мови, можна записати так:
ввід інтервалу (a;b) та потрібної точності (().
поки |a-b| < (виконувати.
пц.
якщо f (a)(f (b) > 0.
то a:=c.
інакше b:=c.
кц.
Розглянемо систему лінійних рівнянь.
. (10.1).
Метод Жордана-Гауса (як і інші точні методи) полягає у виконанні досить багатьох дій, у тому числі й операцій віднімання. Отже, знайдені таким методом корені (x1,…, xn) насправді виявляються досить неточними.
Розглянемо один з методів уточнення коренів для систем лінійних рівнянь — метод ітерації. Згідно з цим методом систему (10.1) записують у вигляді.
. (10.2).
.
Застосовують таку обчислювальну схему:
. (10.3).
.
Загалом, на практиці досить часто застосовують такий підхід: спершу одним з точних методів відшукують наближені значення коренів, потім якимось з наближених методів поліпшують значення цих коренів до потрібного рівня точності.