Поняття про ряд Тейлора

Реферат на тему:

«Поняття.

про ряд Тейлора".

називається рядом Тейлора.

Для розкладу в ряд Тейлора діалоговому режимі діємо за схемою:

Series x2192 x=1×2192 Power Series.

Power Series.

plot 2D + Rectangular.

0 1 1,5 2.

— 2.

— 4.

— 5.

Ряд Тейлора.

Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо тепер, що функція задана, і з’ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд.

Нехай функція f (x) є сумою степеневого ряду.

(1).

в інтервалі (х0-R;x0+R). У цьому разі кажуть, що функція f (x) розкладена в степеневий ряд в околі точки х0 або за степенями х-х0. Знайдемо коефіцієнт ряду (1). Для цього, згідно з властивістю 40 послідовно диференціюємо ряд (1) і підставлятимемо в знайдені похідні значення х=х0:

Звідси знаходимо коефіцієнти.

Підставивши значення цих коефіцієнтів у рівність (1) дістанемо.

ряд.

(2).

називається рядом Тейлора функції f (x). Отже, доведено таку теорему.

Теорема 1. Якщо функцію f (x) в інтервалі (х0-R;x0+R) можна розкласти в степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

Нехай тепер f (x) — довільна нескінчене число разів диференційована функція. Складемо для неї ряд (2). Виявляється, що сума ряду (2) не завжди збігається з функцією f (x). Інакше кажучи, ряд (2) формально складено. Встановимо умови, за яких сума ряду (2) збігається з функцією f (x).

Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (2) збігався до функції f (x) в інтервалі (х0-R;x0+R), тобто.

для всіх х з цього інтервалу:

(3).

Відомо, що для функції, яка має похідні всіх порядків, справедлива формула Тейлора.

(4).

де.

(5).

— залишковий член формули Тейлора у формулі Лонгранжа.

Якщо позначити n -у частину суму ряду (2) через Sn (x), то формула (4) матиме вигляд.

(6).

Нехай f (x) — сума ряду, тобто.

.

j:

j).

j°.

>

:

" .

b.

d.

f.

'.

x0161.

x0153.

ae.

x00F0.

jx00B4.

&.

(.

<

>

V.

t.

(х0-R;x0+R).

Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею. Доведемо теорему, яка дає досить прості достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора.

Теорема 3. Якщо функція f (x) в інтервалі (х0-R;x0+R) має похідні всіх порядків та існує число М>0 таке, що.

(7).

то функцію f (x) можна розкласти в ряд Тейлора.

Відповідно до теореми 2 досить перевірити умову (3). В силу нерівностей (7) залишковий член формули Тейлора (3) задовольняє нерівність (7).

(8).

Побудуємо степеневий ряд.

. (9).

оскільки.

то за ознакою Д’Амламбера ряд (9) збіжний на всій числовій осі.

Для збіжного ряду.

тоді з нерівностей (8) знаходимо.

Вправи для самостійного розв’язання Знайти суми таких рядів:

приклад (1).

Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу в ряд розв’язку рівняння.

Шукаємо розв’язок у (х) у вигляді ряду Тейлора:

… .

Маємо.

Отже,.

Приклад 2.

у ряд Маклорена.

— Знаходимо функції і похіжні.

у ряд.

Залишковий член формули Пейнора.

тому розклад буде справедливий при будь-якому значенні х.

Контрольні запитання Що називають рядом Тейлора для функції f (x)?

Як знайти коефіцієнти ряду Тейлора?

Сформулювати і довести теорему про необхідні і достатні умови, за яких сума ряду Тейлора функції f (x) збігається з цією функцією.

Література Дубовик «Вища математика», Навчальний посібник. Київ 2001.

К.Г. Валєєв, І.А. Джаладова «Вища математика». — Навчальний посібник, Київ 2002.