Робота з економетрії

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ.

КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РОБОТА з економетрії.

Студенток 1 групи.

2 курсу ФЕМП Заморіної Наталії.

Знової Юлії.

Капітоненко Людмили Нечай Наталії.

Киів-1998.

Вступ.

Актуальність роботи.

В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію, що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.

В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.

Наукова новизна.

В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.

Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.

Практична цінність.

В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв «язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв «язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп «ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.

Апробація роботи.

Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.

Завдання 1.

На базі статистичних показників змінних X (i) та Y (i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості (=0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.

X (i) 6,15 6 6,05 6,8 7,15 6,5 7,2 6,65 7,3 7,25 7,25 7 6,9 6,9 6,7 6,9 6,75.

Y (i) 12 13,8 14 14,4 13,6 14,2 13,8 14,2 14,6 17 14,6 14,4 15,2 17,4 14,8 16 15,2.

Рішення.

1-й крок:

взяти декартову систему координат на площині;

відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,…, n;

обвести всі відкладені точки замкнутою кривою — отримати хмару розсіяння експерементальних даних;

на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.

У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді.

2-й крок:

2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:

і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;

3-й крок:

3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:

де n — довжина вибірки, m — число факторів (m=1).

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:

.

а середнє значення відносної похибки, як.

4-й крок:

4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:

де.

5-й крок:

за формулою:

де (=1-p, (=n-2(з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),.

=1.75.

5.3) обчислити дисперсію:

за формулою:

отримуємо надійну зону).

6-й крок:

6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою.

=1, 2,…, n.

6.2) визначити dстатистику за формулою.

6.4) зробити висновок про автокореляцію.

то ряд не містить автокореляцію.

7-й крок:

;

Коли Xp=15, Yp=25,88 365.

Коли Xp=17, Yp=28,61 847.

Коли Xp=20, Yp=32,7207.

7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою.

(Yp=12,318.

Коли Xp=17, (Yp=15,207.

Коли Xp=20, (Yp=19,567.

).

(13,56 565; 38,20 165).

(13,41 147; 43,82 547).

(13,1537; 52,2877).

Сума 115,5 249,2 786,7975 1696,13 249,2 1,55E-05 20,9 076 491 -9,457 8E-06 2,756 176 13,69 395 235,506 262,8939 2,379 554 35,90 415.

Таблиця 2.

Завдання 2.

На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості (=0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (tр):

t X (t).

1 9,51.

2 11,62.

3 11,22.

4 15,22.

5 13,99.

6 15,18.

7 14,98.

8 17,88.

9 16,78.

10 18,94.

11 20,98.

12 15,71.

13 20,74.

14 24,7.

15 20,78.

16 20,74.

17 19,75.

18 23,92.

k кор. 0,899 208.

Рішення:

Побудуємо графік тренду зміни Х (t).

Введемо гіпотезу про те, що зміну Х (t) розподілено за законом X (t)=btx03B1.Визначимо параметри цієї регресії:

18 18.

x03B1=(x03A3 t 1×1 (t)-18 t 1×1 (t))/(x03A3 x 1 2 (t)-18×1 2) =0.3081.

t=1 t=1.

b 1=x 1(t)-x03B1 t 1=2.2002.

Де х 1 (t)=ln x (t), t 1 =ln t, x03B1 1 = x03B1, b 1= ln b. Звідки a=0.3081,b=9.0268.

Дисперсію визначаємо за формулою:

n.

S2= x03A3(x 1-x)2/(n-p-1)=1.9044.

i=1.

Вибірковий коефіцієнт детермінації :

n n.

R=(1-(((xi-xi)2/((xi-x)2))½= 0.9095.

i=1 i=1.

Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення Fp-критерію Фішера:

Fp=(x2/S2=5.445,.

n.

де (x2= x03A3(x 1-x)2/(n-1).Оскільки Fрозр>Fтабл=1,95,то прийнята.

i=1.

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,.

(x1i=ta, kS/n½(1+(x1i-x1)2/(x12)½.

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :

Yi ((Yi=exp (Y1i ((Y1i).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n.

d= x03A3(lt-lt-1)2/x03A3lt2=2.425.

t=2 t=1.

Визначимо границі d-статистики: d1=1.16,dn=1.39.Оскільки виконується нерівність dn.

Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,.

(X1p=ta, kS/n½(1+n+(X1i-X1)2/(x12).

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

Yp ((Yp=exp (Y1p ((Y1p).

Складемо таблицю 2.

Таблиця 1.

t x (t) t1 x1 (t) x1r xr (x1 xmin xvf[.

1 9,51 0 2,2523 2,2002 9,0268 2,6461 0,6402 127,267.

2 11,62 0,6931 2,4527 2,4137 11,1757 1,8811 1,7034 73,3196.

3 11,22 1,0986 2,4177 2,5338 12,6626 1,4754 2,8958 55,371.

4 15,22 1,3863 2,7226 2,6273 13,8362 1,228 4,0522 47,2427.

5 13,99 1,6094 2,6383 2,696 14,8202 1,0767 5,0498 43,4978.

6 15,18 1,7918 2,72 2,7522 15,6771 0,9922 5,8123 42,2844.

7 14,98 1,9459 2,7067 2,7997 16,4396 0,9561 6,3193 42,7674.

8 17,88 2,0794 2,8837 2,8408 17,13 0,9541 6,5974 44,4772.

9 16,78 2,1972 2,8202 2,8771 17,763 0,9753 6,6978 47,1082.

10 18,94 2,3026 2,9413 2,9096 18,349 1,0114 6,6738 50,4487.

11 20,98 2,3979 3,0436 2,9389 18,8958 1,0568 6,5695 54,3499.

12 15,71 2,4849 2,7543 2,9657 19,4092 1,1068 6,4169 58,7071.

13 20,74 2,5649 3,0321 2,9904 19,8937 1,1598 6,2377 63,446.

14 24,7 2,6391 3,2068 3.0132 20,3532 1,2138 6,0463 68,5134.

15 20,78 2,7081 3,034 3,0345 20,7904 1,2678 5,8514 73,8702.

16 20,74 2,7726 3,0321 3,0544 21,2079 1,3212 5,6585 79,4872.

17 19,75 2,8332 2,9832 3,0731 21,6077 1,3736 5,4709 85,342.

Таблиця 2.

t xlp (t) xp (t) (xlp xpmin xpmax.

19 3.1073 22.3610 7.1463 0.0176 28 385.4.

20 3.1231 22.7172 7.1565 0.0177 29 131.4.

21 3.1382 23.0612 7.1666 0.0178 29 874.0.

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель: Yr=9.0268X0.3081.

Для tp=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для tp=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29 131,4).

Для tp=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення Xp=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29 874,0).

Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D, збережень S та заробітної плати L. Оцінить коефіцієнти детермінації, автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами. Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C, D, S, L подані у тис $).

Дано:

І С (і) D (i) S (i) L (i).

1 9,08 10,11 12,29 9.

2 10,92 12,72 11,51 8,03.

3 12,42 11,78 11,46 9,66.

4 10,9 14,87 11,55 11,34.

5 11,52 15,32 14 10,99.

6 14,88 16,63 11,77 13,23.

7 15,2 16,39 13,71 14,02.

8 14,08 17,93 13,4 12,78.

9 14,48 19,6 14,01 14,14.

10 14,7 18,64 1625 14,67.

11 18,34 18,92 16,72 15,36.

12 17,22 21,22 14,4 15,69.

13 19,42 21,84 18,19 17,5.

Рішення:

Припустимо, що між показником x0176 і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність x0176=А1Х1+А2Х2+А3Х3. Знайдемо оцінки параметрів, використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]x0101=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора x0101 отримаємо формулу:

x0101=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а 2=0,151;а3=0,859.

Складемо таблицю:

І D (i) S (i) L (i) C (i) Cроз (i) 1.

1 10,11 12,29 9 9,08 10,1954 1,1154.

2 12,72 11,51 8,03 10,92 9,4018 -1,5182.

3 11,78 11,46 9,66 12,42 10,7376 -1,6824.

4 14,87 11,55 11,34 10,9 12,3803 1,4803.

5 15,32 14 10,99 11,52 12,4768 0,9568.

6 16,63 11,77 13,23 14,88 14,1429 -0,7371.

7 16,39 13,71 14,02 15,2 15,1 -0,1.

8 17,93 13,4 12,78 14,08 14,0809 0,0009.

9 19×362Cx3107x2C34×3130×3107x2C34×3431×3107x2C34×3834×3107x2C35×3434×3831×3007×392Cx3136×0738×3107×0730×3831×362Cx0734×3631×322Cx0735×3431×362Cx0737×3431×372Cx3107x2C36×3731×3437×3107×342Cx3737×0734×3107×0731×3831×392Cx0732×3631×372Cx0732×3531×332Cx0736×3831×332Cx0734×3631×382Cx3735×0739×312Dx342Cx3238×0731×3107×0732×3132×322Cx0732×3431×342Cx3107x2C35×3936×3107x2C37×3232×3107x2C36×3239×3639x2D07x2C30×3932×3430×0707×3331×3207x2C31×3438×3107x2C38×3931×3107x2C37×0735×3931×342Cx0732×3931×302Cx3339×0739×302Dx332Cx3632×0731x0D07.

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13.

R2=1-x03A3(yi-x0177i)2/x03A3(y-x1EF3)2=0.863.

I=1 i=1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13.

d=x03A3(lt-lt-1)2/x03A3lt2=2.0531.

t=2 t=1.

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2. Розрахункове значення Х2 знаходимо за формулою:

Х2р=[n-1−1/6(2m+5)]lnx2502[X]T [X]x2502=3.1025.

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі ½m (m-1)=3 X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного, то можна вважати, що загальноі мультиколінеарності не існує.

Відповідь:

Коефіцієнт детермінації R2=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.

Завдання 4.

Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа, що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі, коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y, k та L за 12 років.

T Y (t) k (t) L (t).

1 54,24 4,41 11,89.

2 49,56 4,97 11,04.

3 52,32 6,63 11,46.

4 73,92 7,39 15,56.

5 67,2 7,44 15,67.

6 64,44 8,31 17,44.

7 80,04 8,9 15,71.

8 93,12 12,12 19,91.

9 95,4 14,77 16,52.

10 90,54 15,06 21,54.

11 116,94 14,21 17,9.

Рішення:

Виробничою функцією називають функцію, яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання, хоча б частина з яких керована. В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд: x0177=b0x1b1x2b2…xmbm, де x0177 -продуктивність; x1, x2,…, xm -впливові фактори ;b0 -нормований множник; b1, b2, bmкоефіціенти еластичності.

Припустимо, що між показником у — продуктивність праці і фактором хфондоозброєність існує стохастична залежність: x0177=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y1=Ln (y), X1=Ln (x) та b1=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y1= b1+a X1. Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:

n n n n n.

a=(nx03A3X1i Y1i — x03A3 X1i x03A3 Y1i)/(n x03A3 X 21i — (x03A3 X1i)2) =0.3695.

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1.

— ;

b1=x03A51-ax03A71=1.7655,b=exp (b1)=5.8444.

Складемо таблицю:

t Y (t) k (t) L (t) x=k/l x y y y.

1 54.24 4,41 11,89 0,3709 -0,9918 1,5177 1,39 896 4,0651.

2 49.56 4,97 11,04 0,4502 — 0,7981 1,5017 1,470 543 4,3516.

3 52.32 6,93 11,46 0,6047 -0,503 1,5185 1,579 598 4,853.

4 73.92 7,39 15,56 0,4749 -0,7446 1,5583 1,490 325 4,4385.

5 67.20 7,44 15,67 0,4748 -0,7449 1,4559 1,490 214 4,438.

6 64.44 8,31 17,44 0,4765 -0,7413 1,307 1,491 533 4,4439.

7 80.04 8,90 15,71 0,5665 0,5682 1,6282 1,555 488 4,7374.

8 93.12 12,12 19,91 0,6087 -0,4964 1,5427 1,582 051 4,8649.

9 95.40 14,77 16,52 0,8941 -0,112 1,7535 1,724 102 5,6075.

10 90.64 15,06 21,54 0,6992 -0,3579 1,4359 1,633 232 5,1204.

11 116.94 14,21 17,9 0,7939 -0,2309 1,8769 1,68 017 5,3665.

Коефіцієнт множинної детермінації.

11 11.

R2=1-x03A3(y1i-x01771i)2/x03A3 (yl1-y1)2 =0,4370.

t=1 t=1.

Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:

11 11.

d = x03A3(ltlt-1)2/x03A3 lt2 = 2,4496.

t=2 t=1.

Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.

Відповідь:

Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:

Y=5.8444*X0.3695.

Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.

Завдання 5.

Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:

.

.

де e (t) — стохастичне відхилення, похибка; C (t) — споживання; Y (t) — національний дохід; I (t) — інвестиції (всі дані у тис.$).

Дано:

t C (t) Y (t) I (t).

1 58,8 7,3 9,22.

2 67,4 9,56 13,82.

3 68,9 11,1 15,02.

4 80,1 12,04 17,08.

5 70,45 13,34 18,94.

6 84,35 13,26 20,36.

7 77,25 15,4 21,56.

8 81,4 13,98 22,2.

9 73,35 16,86 27,56.

10 77,95 15,88 30,36.

11 77,65 18,98 28,14.

12 82,35 17,18 31,46.

Рішення.

. Визначимо параметри цієї регресії:

.

Складемо таблицю:

Сумма 899,95 164,88 255,72 12 551,78 2391,066 899,95 -2,6E-05.

Відповідь:

Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:

C (t)=54,59 952+1,48 4448Y (t)+e (t).

Y (t)=C (t)+I (t).

PAGE.

PAGE 1.