Породження комбінаторних об"єктів

Реферат на тему:

Породження комбінаторних об'єктів.

Розглянемо задачі, в яких необхідно отримати всі елементи деякої множини.

1. Надрукувати всі послідовності довжини n з цифр 0,1. (P11 n).

Функція P11 викликається з одним аргументом n, аргумент lst — допоміжний.

(DEFUN p11 (n lst) (DEFUN p13 (n lst).

((ZEROP n) (PRIN1 lst) (TERPRI)) ((ZEROP n) (PRN13 lst) (TERPRI)).

(P11 (- n 1) (CONS 0 lst)) (P13 (- n 1) (CONS 0 lst)).

(P11 (- n 1) (CONS 1 lst))) (P13 (- n 1) (CONS 1 lst))).

2. Надрукувати всі послідовності довжини k з чисел 1.n. (P12 k n).

Друкуватимемо послідовності у лексикографічному порядку. За допомогою функції (GEN1 n) згенеруємо список з n елементів, кожен з яких дорівнює 1. Список lst зберігатиме поточну перестановку. Функція (NEXT lst n) знаходить перестановку, яка буде наступною після lst. Функція P12BEST є найкращим рекурсивним розв’язком цієї задачі.

(DEFUN GEN1 n) (DEFUN NEXT (lst n).

((ZEROP n) NIL) ((< (CAR lst) n) (CONS (+ (CAR lst) 1) (CDR lst))).

(CONS 1 (GEN1 (- n 1)))) ((NULL (CDR lst)) NIL).

(CONS 1 (NEXT (CDR lst) n)).

Шукана функція має вигляд: (DEFUN P12BEST (n k lst c).

(DEFUN P12 k n) ((ZEROP n) (PRIN1 lst) (TERPRI)).

(SETQ lst (GEN1 k)) (PUSH 1 c).

(LOOP (LOOP.

((< (LENGTH lst) k)) ((> (CAR c) k)).

(PRIN1 lst) (TERPRI) (P12BEST (- n 1) k (CONS (CAR c) lst) c).

(SETQ lst (NEXT lst n)) (SETQ c (CONS (+ 1 (CAR c)) (CDR c))).

))) (POP c)).

3. Надрукувати всі підмножини множини {1.n}. (P13 n).

Оскільки всі підмножини будь-якої множини {1.n} перебувають у взаємно однозначній відповідності зі всіма послідовностями з 0 та 1 довжини n, то ця задача зводиться до задачі 1.1. Функція (P13 n) наведена в 1.1. Тільки замість виведення списку з 0 та 1 необхідно виводити номери всіх елементів списку, які дорівнюють 1. Функція (PRN13 lst) виводить необхідні номери елементів.

(DEFUN PRN13 (lst).

(SETQ i 0).

(LOOP.

((NULL lst)).

(INCQ i).

(IF (= 1 (POP lst)) (PROGN (PRIN1 i) (SPACES 1))).

)).

4. З перестановки (1 2 3 … n) необхідно отримати перестановку (n … 2 1) за найменшу кількість кроків. Кроком будемо називати обмін місцями довільних двох сусідніх чисел. Наприклад, з перестановки (1 3 4 2) можна отримати одну з наступних: (3 1 4 2), (1 4 3 2), (1 3 2 4).

Нехай lst — поточна перестановка. Опишемо алгоритм, за яким будемо знаходити наступну перестановку. Для цього, переглядаючи список lst зліва направо, знайдемо такі два числа що знаходяться поруч, де перше менше за друге. Поміняємо їх місцями та викличемо рекурсивно функцію move_per над отриманим списком.

(defun move_per (lst).

(prin1 lst) (terpri 1).

(SETQ cur NIL).

(LOOP.

((ATOM (CDR lst))).

((< (CAR lst) (CADR lst)) (SETQ a (POP lst)).

(SETQ b (POP lst)).

(PUSH a lst).

(PUSH b lst).

(SETQ lst (APPEND (REVERSE cur) lst)).

(move_per lst)).

(PUSH (POP lst) cur).

)).

Обчислювані функції.

Обчислення виразів та звернення до функцій відбувається автоматично інтерпретатором muLisp. Обчислювані функції необхідні в тих випадках коли необхідно безпосередньо обчислити вираз або звернутися до функцій. Визначенням функції є список, який складається з трьох частин: імені типу функції, формальних параметрів та тіла функції.

CAR-елементом визначення функції є ім'я типу фукції — LAMBDA, NLAMBDA чи MACRO. Тип функції дає інтерпретаторові інформацію про те, як використовувати дану функцію.

Визначення функцій та їх обчислення в Ліспі основано на лямбда-численні Чорча. Лямбда вираз, який взято з лямбда числення, є важливим механізмом у програмуванні. В лямбда численні Чорча функція записується у вигляді:

lambda (x1, x2, …, xn). f.

В Ліспі лямбда вираз має вигляд:

(LAMBDA (x1 x2 … xn) f).

Символ LAMBDA говорить нам про визначення функції. Символи xi — це формальні параметри, f — тіло функції. Тілом функції може бути довільна форма, значення якої може обчислити інтерпретатор Ліспа. Функцію, яка обчислює суму квадратів двох чисел, можна визначити так:

(LAMBDA (x y) (+ (* x x) (* y y))).

Формальність параметрів вказує на те, що ми можемо замінити їх на інші символи, але від цього не зміниться сутність обчислення функції.

Лямбда вираз — це визначення обчислення та параметрів функції в чистому вигляді без фактичних параметрів або аргументів. Для застосування такої функції до певних аргументів, необхідно поставити лямбда вираз на місце імені функції:

(лямбда-вираз a1 a2 … an).

Тут ai — форми, що задають фактичні параметри. Наприклад, множення (* 3 4) можна записати з використанням лямбда виклику:

$ ((LAMBDA (x y) (* x y)) 3 4).

Наступний виклик будує список з двох аргументів:

$ ((LAMBDA (x y) (CONS x (CONS y NIL))) ‘dog ‘cat).

(dog cat).

Таку форму виклику називають лямбда викликом. Обчислення лямбда виклику відбувається в два етапи. Спочатку обчислюються значення фактичних параметрів та відповідні формальні параметри зв’язуються з отриманими значеннями. На другому етапі обчислюється форма, яка є тілом лямбда виразу. Отримане значення повертається в якості значення лямбда виклику. По завершенню обчислення формальним параметрам повертаються зв’язки, які існували до лямбда виклику. Весь цей процес називається лямбда перетворенням.

Пам’ятайте, що лямбда вираз без фактичних параметрів є лише визначення, а не форма, яку можна обчислити. Сам по собі лямбда вираз інтерпретатором не сприймається. Якщо ви введете: (LAMBDA (x y) (CONS x (CONS y NIL))), то інтерпретатор Ліспу видасть повідомлення про помилку.

Лямбда вираз є як чисто абстрактним механізмом для визначення та опису обчислення, так і механізмом для зв’язування формальних та фактичних параметрів під час виконання обчислення. Лямбда вираз є функцією без імені.

Ми вже говорили про те, як визначити нову функцію — це можна здійснити за допомогою функції DEFUN. Визначення функції викликається так:

(DEFUN <�і'мя> <�лямбда вираз>).

Для спрощення опустимо зовнішні дужки у лямбда виразі та сам атом LAMBDA. Тоді ми отримаємо знайоме нам визначення функції. Наступні визначення еквівалентні:

(DEFUN list2 (LAMBDA (x y) (CONS x (CONS y NIL)))).

та.

(DEFUN list2 (x y) (CONS x (CONS y NIL))).

Функція DEFUN з‘єднує символ з лямбда виразом, після чого символ починає іменувати обчислення, яке визначається лямбда виразом. Значенням функції DEFUN є ім'я нової функції.

За допомогою структури LET, яка визначена в common. lsp, можна утворити локальний звя’зок. Значення змінним форми LET присвоюються одночасно. Ця структура має наступний вигляд:

(LET ((m1 a1) (m2 a2) … (mN aN)) <�форма1> <�форма2> … <�формаN>),.

яка в дійсності є лямбда викликом, де формальні та фактичні параметри знаходяться разом на початку структури:

((LAMBDA (m1 m2 … mN) <�форма1> <�форма2> … <�формаN>) a1 a2 … aN).

Наступні виклики еквівалентні:

$ (LET ((x 4)(y 2))(+ x y)) $ ((LAMBDA (x y) (+ x y)) 4 2).

6 6.

Функція типу NLAMBDA називається необчислюваною. Якщо викликається необчислювана функція, то їй аргументи передаються без обчислення — так, як вони стоять в рядку виклику. Пояснимо це на прикладі. Визначимо дві функції f1 та f2, які на перший погляд однакові:

(DEFUN f1 (LAMBDA (x y) (DEFUN f2 (NLAMBDA (x y).

(+ x y))) (+ x y))).

Якщо викликати (f1 5 6) або (f2 5 6), то результат буде однаковим — 11.

Нехай змінним k та l присвоєні деякі значення: (SETQ k 5 l 6). Тоді.

$ (f1 k l) $ (f2 k l).

11 помилка: (+ k l) / а не (+ 5 6), оскільки передані аргументи не обчислені /.

Функція типу MACRO називається макро-функцією. Макроси є потужним робочим інструментом програмування. Синтаксис визначення макроса виглядає таким же чином як синтаксис визначення функції форми DEFUN:

(DEFMACRO <�ім'я> <�лямбда список> <�тіло>).

e.

x00F0.

;

J.

L.

¤.

x00AA.

n.

e.

i.

9 відбувається обчислення тіла з аргументами (як і для функції). Цей етап називається розширенням або розкриттям макроса. На другому етапі обчислюється розкрита форма, значення якої повертається в якості значення всього макровиклику. Визначимо макрос PUSH1, який працює як відома нам функція PUSH (в дійсності PUSH є вмонтованим в середовище Лісп макросом).

$ (DEFMACRO PUSH1 (x y) $ (SETQ ‘a ‘(1 2 3)) (PUSH1 6 ‘a).

(LIST «SETQ y (LIST «CONS x y))) після чого a = (6 1 2 3).

Визначимо деяку функцію P, тілом якої є макрос PUSH1:

(DEFUN p (x y).

(PUSH1 x y)).

Тепер за допомогою команди (GETD p) можна побачити, який вигляд має функця p:

(LAMBDA (X Y) (SETQ Y (CONS X Y))).

При програмуванні розкритого макроса явно не видно, тому для їх тестування існує спеціальна функція — MACROEXPAND, яка здійснює тільки розкриття макроса. Повертається макророзширення виклику, яке можна вивчати.

$ (MACROEXPAND «(PUSH1 6 s)).

(SETQ S (CONS 6 S)).

CADR-елементом визначення функції є або список формальних аргументів, або ім'я формального аргументу. Функція, яка визначена за допомогою списку формальних аргументів, в тому числі і порожнього, називається розгорнутою. При виклику такої функції фактичні аргументи прив’язуються відповідно до формальних аргументів.

Функція, яка визначена за допомогою імені формального аргумента, називається нерозгорнутою. Якщо викликається така функція, список фактичних аргументів пов’язується з іменем формального аргумента. Отже нерозгорнуті функції допускають будь-які імена фактичних аргументів.

CDDR-елементом визначення функції є список форм, який називається тілом функції. Після того як формальні аргументи функції були прив’язані з її фактичними, починає працювати неявна функція PROGN, яка обчислює тіло функції. Після обчислення тіла функції формальні аргументи знову приймають свої вихідні значення, а результат обчислення тіла функції видається як значення функції.

1. FUNCALL (<�функція> …).

Виконуються дії функції <�функція> над аргументами та повертається результат. <�Функція> повинна бути або іменем обчислюваної функції, або тілом LAMBDA. Якщо <�функція> — це ім'я макро або невизначеної функції, виникає переривання по помилці <�невизначена функція>.

$ (FUNCALL ‘CONS ‘a ‘(b c d)) $ (FUNCALL ‘(LAMBDA (n) (* n n)) 5).

(a b c d) 25.

2. EVAL <�об'єкт>

Інтерпретатор Ліспа називається EVAL, його можна як і інші функції викликати з програми. У звичайній роботі інтерпретатор викликати не має потреби, оскільки його виклик має місце неявно. Зайвий виклик інтерпретатора може зняти ефект блокування (QUOTE), або дозволить знайти значення виразу. EVAL — це універсальна функція Ліспа, яка може обчислити довільний правильно побудований лісповський вираз.

Якщо об'єкт — атом, функція повертає зміст комірки значення об'єкту.

Якщо CAR-елемент об'єкта є іменем обчислюваної функції або LAMBDA, функція обчислює кожний елемент CDR-частини об'єкта і додає CAR-елемент об'єкта до списку результатів.

Якщо CAR-елемент об'єкта є іменем необчислюваної функції, EVAL додає CAR-елемент об'єкта до CDR-елемента об'єкта без обчислення останнього.

Якщо CAR-елемент об'єкта є макрофункцією, EVAL рекурсивно обчислює результат додавання CAR-елемента об'єкта до його CDR-елемента.

Якщо CAR-елемент об'єкта не є функцією, EVAL повертає помилку «невизначена функція» та генерує переривання по помилці.

$ (SETQ a ‘b b ‘c) $ (EVAL ‘(CONS ‘A ‘(B C))) $ (EVAL ‘(PRIN1 ‘(a b c))).

$ (EVAL a) (A B C) (a b c) (a b c).

c.

$ (DEFUN a (n) $ (EVAL ‘(a 3)) $ (EVAL (LAMBDA (n) (* n n)) 7).

(+ n 2)) 5 49.

Діалог з інтерпретатором Ліспа на верхньому (командному) рівні можна описати простим циклом:

(SETQ e (READ)) введення виразу.

(SETQ v (EVAL e)) обчислення виразу.

(PRINT v) друк результата При виконанні тіла необчислювальної функції ми можемо використати функцію EVAL для обчислення аргументів.

(DEFUIN f3 (NLAMBDA (x y) (SETQ k 5 l 6) (f3 k l).

(+ (EVAL x) (EVAL y)))) 11.

3. CONSTANTP <�об'єкт>

Об'єкт є константою тоді і тільки тоді, коли (EVAL <�об'єкт>) повертає <�об'єкт>. Символ NIL, числа та списки, в яких CAR-елемент є символ QUOTE, в muLisp є константами. Якщо <�об'єкт> — константа, функція CONSTANTP повертає Т, інакше — NIL.

$ (CONSTANTP ()) $ (CONSTANTP 23.543) (DEFUN CONSTANTP (obj).

T T ((NULL obj)).

$ (CONSTANTP ‘v) $ (CONSTANTP ‘(a b c)) ((NUMBERP obj)).

NIL NIL ((ATOM obj) NIL).

$ (CONSTANTP ‘(QUOTE (a b c))) (EQ (CAR obj) ‘QUOTE)).

T.

4. APPLY <�функція> <�арг1> <�арг2> … <�арг-список>

Застосовує функцію до списку аргументів. (APPLY f x1 x2 … xN) еквівалентно (f x1 x2 … xN). Використання функції APPLY є більщ гнучким у порівнянні з прямим викликом функції. Діє як і функція FUNCALL, тільки аргументи функції приймає не окремо, а списком.

Якщо функція — ім'я визначеної користувачем функції або тіло LAMBDA, APPLY пов’язує формальні аргументи функції з фактичними аргументами, обчислює тіло функції, відтворює вихідні значення формальних аргументів і повертає значення обчислення тіла функції.

Якщо функція — не ім'я функції і не тіло LAMBDA, APPLY генерує переривання по помилці «невизначена функція».

$ (APPLY ‘CONS ‘(a (b c d))) $ (SETQ z ‘(LAMBDA (n) (* n n))).

(a b c d) $ (APPLY z ‘(4)).

5. UNDEFINED <�символ> <�форма1> … <�формаN>

Ця функція ініціює преривання по помилці «Невизначена функція». Ця функція керування помилками використовується тоді, коли намагаються обчислити форму, CAR-елемент якої є символом, який не має визначення функції.

Завдання.

1. (PL1 lst1 lst2), де lst1 — список з n чисел, lst2 — список з n — 1 знаків арифметичних дій. (PL ‘(3 6 4 1) ‘(+ * -)) — це (3+6)*4 — 1 = 35.

2. Надрукувати всі послідовності з k натуральних чисел, у яких i-ий член не перевищує i.

3. Надрукувати всі розстановки дужок в добутку множників. Порядок множників не змінюється, дужки однозначно визначають порядок дій.

Наприклад, n=4: ((a b) c) d (a (b c)) d a ((b c) d) (a b)(c d) a (b (c d)).

4. Написати програму:

а) (INTEGRATE f a b n) — інтегрування функції f від a до b; відрізок [a; b] розбити на n частин.

б) (HALFDIV f a b e) — знайти корінь рівняння f (x)=0, який лежить в інтервалі [a; b] методом половинного ділення з похибкою e.

в) (SQRT2 n е) — обчислити квадратний корінь методом ітерації з похибкою е.

г) (DIFF f x) — обчислити значеняя похідної функції f в точці x.

Відповіді.

1. $ (defun PL1 (lst1 lst2).

((NULL lst2) (car lst1)).

(PL1 (cons (funcall (car lst2) (car lst1) (cadr lst1)) (CDDR lst1)) (CDR lst2))).

2. $ (DEFUN cl (i).

(SETQ list nil).

(calc i)).

$ (DEFUN calc (i).

((ZEROP i) (RETURN (PRINT list))).

(PUSH i list).

(LOOP ((> 1 (CAR list)) (RETURN (POP list))).

(calc (- i 1)).

(PUSH (- (POP list) 1) list).

)).

4. а) $ (DEFUN INTEGRATE (function a b n) (defun f (x).

(SETQ step (/ (- b a) n) intsumma 0) (* x x).

(LOOP).

((= a b) (* intsumma step)).

(INCQ intsumma (FUNCALL function a)) Виклик: (INTEGRATE f 0 1 100).

(INCQ a step).

)).

б) (DEFUN HALFDIV (function a b eps).

(SETQ middle (/ (+ a b) 2) res (FUNCALL function middle)).

((< (- b a) eps) middle).

(IF (MINUSP (* res (FUNCALL function a))).

(HALFDIV function a middle eps) (HALFDIV function middle b eps)).

).

в) $ (DEFUN SQRT2 (n eps) г) $ (DEFUN DIFF (function x).

(SETQ s (/ n 2)) (SETQ delta 0.01).

(LOOP (/ (- (FUNCALL function (+ x delta)).

(SETQ snew (/ (+ s (/ n s)) 2)) (FUNCALL function x)) delta).

((< (ABS (- s snew)) eps) snew)).

(SETQ s snew).

)).

Вказівка: x1 = n/2, xi = (xi-1 + n/xi-1) / 2. f' (x) = (f (x + dx) — f (x)) / dx, де dx = 0.001.