Аналітична геометрія в просторі

Реферат.

на тему:

Аналітична геометрія.

в просторі.

Аналітична геометрія в просторі.

має вигляд.

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0) (2.7).

або.

Ax+By+Cz=0 (2.8).

Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z=0), OXZ (рівняння y=0) та OYZ (рівняння x=0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x0;y0;z0), (x1;y1;z1), (x2;y2;z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

(2.9).

Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M0(1;2;3), M1(2;1;2) та M3(3;3;1).

.

звідки x+4y-4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

. (2.10).

Ця площина проходить через точки (a;0;0), (o;b;0) та (0;0;c).

Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність.

2x+3y+4z=120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

.

за умов x (0; y (0; z (0 (рис .2.10).

z.

Бюджетне обмеження -.

частина площини в просторі.

y.

x.

Рис. 2.10.

Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:

.

Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині.

.

або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11).

.

y.

Бюджетне обмеження ;

40 відрізок прямої на площині.

60 x.

Рис. 2.11.

Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами.

Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь.

. (2.11).

має вигляд.

. (2.12).

Параметричне рівняння прямої є таким:

. (2.13).

Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x1;y1;z1) та (x2;y2;z2), є подібним до рівняння прямої на площині:

. (2.14).

Приклад. Пряма в просторі проходить через дві точки: M1(1;2;3) та M2(4;6;8). Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння.

.

Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння.

.

.

У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:

;

.