Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Реферат.

на тему:

Ймовірнісний зміст.

нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

(1).

то нерівність Йєнсена записують так:

(2).

. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто.

(5).

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1−5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О. Гельдером (Hoelder, 1889), а інтегральна нерівність — Й. Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

. (7).

якщо.

(9).

— лінійна функція.

диференційована в цьому проміжку.

дискретний розподіл має вигляд:

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис. 1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо шукане узагальнення.

має вигляд:

Математичне сподівання аргументу визначається так:

Математичне сподівання функції.

.

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

— об «єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

.

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

.

. (12).

стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

.

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента:

.

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко встановити, що (11) і (12) — це узагальнені означення опуклої і угнутої функції відповідно (рис.2).

.

функції:

.

неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому дискретний розподіл має вигляд:

опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

:

.

:

.

тому для опуклої функції.

.

для угнутої.

.

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього функції називають «парадоксом оцінювання «[6]. Дослідження парадоксів — кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки. Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів допомагають розвинути справжню інтуїцію, а ймовірнісні підходи сприяють зворотньому руху [7] конструктивних ідей із теорії ймовірностей до математичного аналізу та інших розділів математики.

Використана література Невяжский Г. Л. Неравенства. Пособие для учителей. — М.: ГУПИ МП РСФСР, 1947.

Каплан Я. Л. Математика. Посібник для підготовки до конкурсних екзаменів до вузів. — К.: Вища школа, 1971.

Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. № 5. — М.: Наука, 1990. — С.57−62.

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

Вороний О. Нерівність Йєнсена // У світі математики. — Т.6. — Вип.2. — К.: «ТВІМС », 2000. — С.9−13.

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — М.: Мир, 1990.

Скороход А. В. Особливий характер теорії ймовірностей в математичних науках // У світі математики. — Т.3. — Вип.2 — К.: «ТВІМС », 1997. — С.2−4.