Розклад вектора за базисом

1.5. Розклад вектора за базисом.

(і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність.

(7).

.

число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

.

лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (7), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

не дорівнює нулю.

= (1,2,2,5).

. Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

лінійно незалежні.

. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3×4 має ранг r (B)=2.

лінійно залежні.

Означення 10. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

так:

(8).

.

= (12,9,10) за цим базисом.

має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів.

лінійно незалежні. Згідно з означенням 10 базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (8) або.

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо.

Матричним методом можна знайти розвязок цієї системи.

за базисом.

будуть (3,2,-1).

тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто.

1.6. Вправи з векторної алгебри.

і побудувати вектори.

побудувати.

де М — точка перетину діагоналей.

його проекція: