Ранг матриці

Ранг матриці.

min (т, п).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-гo порядку матриці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Атхп, причому.

2) r (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли, А = 0;

3) для квадратної матриці п-го порядку ранг дорівнює п тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.

B.

'.

o.

N.

B.

'.

U.

Ue.

TH.

a.

a.

oe.

o.

u.

N.

&и, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k-l.

Приклад Знайти ранг матриці.

1.

Оскільки один з мінорів другого порядку.

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2. •.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов «язаний з обчисленням значного числа визначників. Простіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1]:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.