Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати): З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно: Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0: Визначити інтервал (-R; R), в якому залишковий член формули… Читати ще >
Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат, курсова, диплом, контрольна)
2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.
Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:
(41).
З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:
а) знайти похідні fx00B4(х), fx02DD (х), …, fп (х), …;
б) обчислити значення похідних в точці х = 0;
в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;
г) визначити інтервал (-R; R), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) x2192 0 при п x2192×221E.
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):
(42).
(43).
(44).
(45).
(46).
††x3428×2937x0D0D-x4D45×4542×2044×7145×6175×6974x6E6Fx332E†x0114×2015††††††††††††x2820×3834x0D29.
Доведемо формули (42) — (48).
Нехай f (x)=ex. Маємо:
отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (- x221E;+ x221E);
(—x221E; + x221E), а отже, і на всьому інтервалі (—x221E; + x221E). Формулу (42) доведено.
Нехай f (x) = sin x. Дістанемо.
);
);
);
…
N;
;
тобто формулу (43) доведено.
3.Нехай f (х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).
R.Маємо:
а) f'(x) =m (1+x)m-1, fn (x) =m (m-1) (1+x)m-2,…,.
N;
N;
в) 1+ mx.
опускаємо.
дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).
Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить від числа m.
Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:
;
;
.
Приймемо ці твердження без доведення.
і сума його дорівнює (1-х)-1.
6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти — х замість х, потім — х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln (1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).
Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.
Приклади.
1.Розкласти в ряд функцію f (x) = x2 ln (1-x3).
Поклавши у форму (47) — х3 замість х, маємо.