Роль математичних методів у економічному дослідженні

Роль математичних методів у економічному исследовании

Реферат для здачі кандидатського іспиту філософією виконав: здобувач ученого ступеня кандидата економічних наук Исламутдинов Вадим Фаруарович Курганская Державна сільськогосподарська академія їм. Т. С. Мальцева Курган-1997.

Введение

Есть різні погляду до процесів, які у суспільстві зараз. Але незалежно від цього як різні політичні сили сприймають ці процеси (як втрата завойованих позицій чи як прогрес, поступ), жодна їх них може заперечувати, що економічних умов життя стали намного сложнее. Стало набагато важче ухвалити будь-яке рішення, як що стосується приватних інтересів, і громадських. Ці труднощі було неможливо не викликати хвилі нового інтересу до математичним методам, що застосовуються у економіці; тобто. до тих методам, які дозволив би вибрати найкращу стратегію як у майбутнє, і на далеку перспективу. У той самий час багато людей у разі воліють звертатися до власного інтуїції, досвіду, або до чогось сверхественному. Отже, необхідно оцінити роль математичних методів в економічних дослідженнях — наскільки повно вони описують всіх можливих рішення і прогнозують найкраще, і навіть так: варто їх використати вообще?

По відношення до цього питання слід уникати двох крайніх думок: повне заперечення застосовності математичних методів у економіки та фетишизація, перебільшення тієї ролі, яку математика можуть або міг би зіграти. Обидва ці підходу засновані на незнанні реального стану справ, оскільки ця людина, хоча б частково знайомий із це питання, будь-коли поставить його руба: так чи ні; а говоритиме лише про питомій вазі математичних методів в усій системі дослідження економічних труднощів.

В цьому питанні є значний філософський аспект, пов’язані з проблемою істини. Тобто. наскільки математичні моделі економічних систем відбивають реальні закони, якими живе економіка. Повнота цього відображення залежить певною мірою і південь від мети дослідження. Для одних цілей досить рівня відповідності, й інших ж можна знадобитися детальніше описание.

Кроме того математичні методи мусять розвиватися, як і самі економічні системи. Це відбувається як слідом за змінами економіки, і по внутрішньої логіці розвитку. У цьому необов’язково, нові методи неминуче відкидають старі, може статися взаємопроникнення, включення старих теорій на нові (як окремого випадку).

На розвиток виробництва і застосування математичних методів значний вплив справила і ще надасть розвиток обчислювальної техніки. Обчислювальна техніка останніх поколінь вже дозволила практично застосувати безліч методів, описаних раніше лише теоретично чи найпростіших прикладах. До того ж розвиток систем комп’ютерного опрацювання, накопичення та зберігання інформації створює нову, дуже велику інформаційну базу, яка можливо послужить поштовхом до створення нових, раніше не відомих математичних методів пошуку миру і прийняття решений.

1.Проблема універсальної застосовності математики

1.1. Причини універсальності математики

Математику можна з’ясувати, як науку, що оперує чистими абстракціями, тобто. об'єктами, отделёнными від реальної світу. Hо ще давнини математика та про природу не поділялися. Люди сприймали числа та операції з них як закони реального світу. Лише Стародавню Грецію вперше виникла ідея у тому, що числа можна вивчати окремо (школа Піфагорійців). Щоправда погляди їх у число були майже забобонними. Hо саме вони й започаткували перші закономірності, які мають аналога у світі речей, хоч і приховали їхнього капіталу від усього світу. У такий спосіб Стародавню Грецію були належить початку розвитку математики як самостійної науки.

В Середні віки розвиток математики як такої відбувався за основному Середню Азію. У Європі ж йшов процес розвитку формальної логіки всередині церковної схоластики. Це також було позитивним моментом, оскільки застосування математики передбачає певну формалізацію знания.

Hачиная з 17 століття можливості математики починають зростати. Спочатку розвиток математики визначалося потребами вивчення та вислови об'єктивних законів. Згодом математика почала розвиватися підпорядковуючись також внутрішньої логіці розвитку та керуючись власними потреб. Hо роль математики, як апарату висловлення об'єктивних законів, анітрохи не уменьшилась.

При цьому нові закономірності, виведені суто математично, дозволяють пророкувати властивості, властиві об'єктах фізичної природы.

Математика стала проникати у всі сфери науку й тут з’ясувалося, рівняння і висловлювання, створені з метою однієї науки, найчастіше застосовні, після певній заробітчанства, в другой.

В чому ж причина такий універсальної застосовності математичних методов?

По думці Вигнера універсальність застосовності математики можна вважати чимось сверхестественным. Вчені мають просто користуватися нею, не намагаються зрозуміти причини цього. А саму математику він розглядає як науку про хитромудрих операціях, вироблених по спеціально розроблених правилам над спеціально вигаданими поняттями. Причому нові поняття виводяться того і те щоб з них можна було зробити якісь хитромудрі операції, які імпонують людському почуттю прекрасного власними силами і з одержуваним зі своїми допомогою результатам, які мають великий простотою і общностью.

Hо такий ненауковий. Причина такий універсальності математики у рівні абстрагированности математичного мови. Вже запровадження поняття числа було переходом більш високий рівень абстрагування. Числа немає смаку, запаху, ваги та інших емпіричних характеристик, будучи лише суб'єктивним судженням про кількість якогось елемента, явища. У той самий короткий час вони дозволяють визначити кількісні характеристики й стосунку практично будь-якого об'єкта. Єдина складність полягає у виборі одиниця виміру. Тобто. вимірявши об'єкт, виразивши його кількісно, потім абстрагуватися від його забезпечення і оперувати отриманими даними за всіма правилами математичного мови. Отримані в такий спосіб результати можна й потрібно перевіряти эмпирически.

Вообще, мову математики має певні переваги перед природними мовами. Він мінімально надлишковий, моносемантичен і у собі правила перетворення. Усе це дозволяє порівняно легко оперувати елементами мови: об'єднувати фрагменти в блоки, застосовувати алгоритми до блокам, та був розгортати результат системою підстановок і т.д.

Применение математичного мови, своєю чергою вимагає певного рівня формалізації. Запровадження одиниць виміру — вже часткова формалізація. Hо одиниця виміру формалізують лише кількісний бік явищ і процесів, не дозволяючи започаткувати нові методи на вирішення нових задач.

Формализация ж якісних характеристик об'єктів відбувається двома путями:

1) створення формалізованих аксіоматичних систем;

2) алгоритмизация.

Аксиоматическая система — це з способів побудови теорії з урахуванням базових положень (аксіом), із яких потім виводиться основний зміст теорії. Аксіоматичні системи під час еволюції пройшли три етапу, яким відповідають три типу аксіоматичних систем:

а) Змістовні аксіоматичні системи — коли з урахуванням основних уявлень з допомогою інтуїції описуються змістовно ясні об'єкти. Тобто. і об'єкти і аксіоми мають аналоги у світі речей. Hа на початкових етапах розвитку науки все теорії представляли з собі такі аксіоматичні системи. Такі системи не представляють цінності себто універсальності їх применения.

б) Полуформализованная аксиоматическая система передбачає завдання абстрактних об'єктів, котрим описуються змістовно ясні аксіоми. Такі системи вже у досить великою мірою універсальні, оскільки найчастіше буває, що подібність початкових умов дозволяє застосовувати стару теорію з вивчення нових об'єктів (звичайно, з певною часткою скептицизма).

в) Повністю формалізовані системи. І тут спочатку переймаються і алфавіт системи та аксіоми і правил перетворення знаків алфавіту, зберігають істинність аксіом. Такі системи можуть розвиватися за своїми внутрішніми законам. Але теорії й фізичні методи створені у межах таких формалізованих систем може вишукати несподіване використання у різних галузях наукового знания.

Но головним критерієм застосовності тієї чи іншої методу є перевірка результатів дослідження на досвіді, на практике.

Алгоритмизация, другий вид повної формалізації, передбачає створення алгоритмів — єдиних методів на вирішення цілого ряду завдань. У цьому метод рішення залежить від скоєнні якийсь послідовності заздалегідь певних дій. У цьому створення алгоритму вже передбачає універсальність. Певний час намагалися створити єдиний алгоритм на вирішення будь-яких задач.

Универсальность алгоритмів має певні обмеження. По-перше, це їхнє дискретність, тобто. розбивка на кроки, які можна пропускати; по-друге для низки завдань взагалі немає алгоритму решения.

То є слід помітити, що математика універсальна не абсолютно. При застосуванні математичних методів у різних науках спостерігається певна специфика.

1.2. Специфіка застосування математики різних науках

Специфика застосування математики різних галузях наук значною мірою визначається особливостями процесу знання з цих науках, які у свою чергу залежить від властивостей об'єкта исследования.

А властивості об'єкта дослідження, у своє чергу визначаються заборонами, які накладає на можливі руху цього об'єкта закони об'єктивну реальність. Звідси однієї із завдань науки є звуження безлічі «мислимих », чи віртуальних рухів, з’ясування принципів відбору реальних рухів із можливих. Виходячи з цього проблема математичного описи матеріального світу зводиться насамперед до пошуку описів різних механізмів відбору, що у основі причинності всіх реальних рухів матерії [6 (55)].

По Моїсєєву, опис механізмів відбору — це з суті одне із способів викладу математично-природничої грамотності. Основними принципами добору у природних науках являются:

— закон збереження, який відбиває вариационные принципи (принципи економного досягнення цели);

— другий закон термодинаміки (про неубываемости энтропии);

— принцип мінімуму диссипации енергії (принцип, яким з кількох руйнівних процесів реалізується найменш разрушающий);

— принцип стійкості (збереження лише стійких форм движения).

На цих і багатьох інших принципів добору у природних науках будуються математичні моделі феноменологічної природи. Але феноменологическая база природознавства постійно розширюється, що зумовлює ускладнення і узагальнення моделей. Основний шлях розвитку таких моделей — індуктивний, тобто. рух з більш простих до більш складним. Але дедуктивний шлях щонайменше важен.

Одним з методів, що дозволяє отримувати класи спрощених моделей, є так званий асимптотический метод, чи асимптотический аналіз [6 (68)].

Таким чином, можна дійти невтішного висновку, що систему природничонаукових методів має важливу особливість. Вона із метою використовувати феноменологію лише з мікрорівні, охопити наскільки можна ширший клас явищ, та був методами асимптотического аналізу отримати прості моделі макрорівня, як окремі випадки [7 (23)].

При перехід до складнішим рівням організації з’являються нові поняття, математичні моделі набувають інший характер, ускладнюється апарат дослідження. Так, при перехід до рівню живої матерії незмінно стає важче організація, змінюються давні листи й з’являються нові принципи отбора.

В на відміну від неживої природи, процеси живої природи неможливо знайти описані не залучаючи терміна «зворотний » .

Т.е. характер взаємодій тут визначається однієї вільної (незалежної) функцією, зазвичай званої управлінням, вибір якій у тій мірою довільний, у будь-якому разі, годі було з законів збереження (хоча, звісно не суперечить). У цьому вибір цей виробляється з прагнення досягти певну мета. А, щоб зробити правильний вибір, живому організму потрібна відповідна інформація. У цьому інформація потрібна не будь-яка, лише така, що дозволить або досягти мети принаймні, або досягти її найкраще, щонайбільше. У цьому сенсі поняття інформації відрізняється від поняття інформації, як знання про стан системи (з урахуванням поняття энтропии).

Соответственно, для описи біотичних процесів необхідно уявити про структуру зворотного зв’язку, реалізованих функціями поведінки. Але аргумент функції поведінки — цей період до гомеостатической кордону існування організму. Отже, перший необхідний крок будь-яких системних досліджень, досліджують математичні моделі - визначення кордону гомеостазису, тобто. критичних значень параметрів довкілля. Другий етап дослідження — визначення реакцію відхилення від гомеостатической кордону, тобто. визначення функцій поведінки [6 (87)].

Здесь також можливо застосування асимптотических методів і агрегирования, та ще мало зроблено цього. Це викликано тим, що біотичні системи набагато більше складні. Наприклад в описах ієрархічної структури «стадо — індивід «вчені зіштовхуються з проявом протиріч цілого і частин. Інтереси цело го не сума інтересів окремих його частин. Таким чином, аби зрозуміти природу цього рівня організації матерії, необхідно прийняти до уваги діалектичне єдність противоположенностей, породжуваних наявністю гомеостазисов і рефлексностью, тобто. дією тієї системи зворотних зв’язків, що у цьому рівні. Через систему конфліктів ці протиріччя стимулюють розвиток виробництва і ускладнення (вдосконалення) організації.

Эта внутрішня суперечливість визначає специфічну структуру відповідної системи моделей і породжує труднощі узгодження моделей різних рівнів, без подолання яких, проте, неможливо говорити про організацію (системності) безлічі моделей.

При перехід до наступному, громадському рівню організації матерії треба сказати, що методи вивчення цього рівня безсумнівно включають усе попередні методи, адже рамки об'єктивних законів природи вийти не можна. Але стосовно специфіці застосування математичних методів слід зазначити на два корінних відмінності громадських взаємодій від биологических.

Во-первых, по з розвитком праці людини як соціальної тваринного відбувається безупинне ускладнення громадської організації, з’являється велике розмаїтість гомеостатических спільностей, ускладнюються мети, прагнення і тому протиріччя. Разом із ускладненнями інфраструктури організації дедалі більше її окремих частин набуває рис організмів і, отже, структура зворотного зв’язку усложняется.

Во-вторых, при побудові моделі слід зважати на поступове розвиток інтелекту і, отже, здібності усе більшого розуміння індивідом наслідків його дій, ступеня їхнього впливу на характер гомеостатической стабільності. Саме таким чином реакції втрачають свою рефлексность, і за аналізі зворотного зв’язку стає необхідним враховувати процеси переробки інформації та прийняття решений.

Люди мають різним рівнем інтелекту, тому їх реакцію однакові ситуації можуть різнитися. Крім цього потрібно враховувати характер інформованості суб'єкта, особливості процесів прийняття рішень; тобто. всю логічний ланцюжок, яка можуть призвести до тих або іншим суб'єктам висновків. Усе це пред’являє нові вимоги до застосовуваним математичним методам.

Схематично специфіку застосування математичних методів у залежність від галузі науки можна так: метод математичних моделей лише на рівні організації неживої природи вимагає переважно використання законів збереження та найпростіших механізмів відбору. На биотическом рівні організації виникла потреба опис структури зворотний зв’язок рефлексного типу. На рівні суспільства якісно нової особливістю необхідно описувати суперечливе єдність інтересів і цілей окремих організмів, що у тому чи іншому процесі, суперечливе єдність пов’язаних між собою, ієрархічно організованих ланцюжків організмів [6 (129)].

В економіці такими організмами вважатимуться окремих осіб, групу людей, організацію, підприємство. Навіть економічну систему країни так можна трактувати як організм із її реакціями різні чинники довкілля. Те є у залежність від цілей дослідження слід виділяти економічну систему певного рівня і розглядати її як организм.

При цьому залежність від обраного рівня деталізації виникають свої особливості застосування математичних методів, які визначають ступінь застосовності тієї чи іншої методу, його эффективность.

2. Особливості економічних завдань, розв’язуваних математичними методами

Экономическая наука, як будь-який інший має власну специфіку. Специфіка її визначається загальної специфікою наук про людину. Усі громадські науки вивчають найскладнішу і високоорганізовану форму руху — соціальну. Як уже згадувалося, на цьому рівні організації матерії доводиться враховувати зворотний зв’язок між суб'єктом і довкіллям. У цьому зв’язок ця представляє суперечливе єдність інтересів і цілей окремих організмів, що у тому чи іншому процесі. Економічна наука вивчає великий пласт процесів, як прямо які мають місце між суб'єктами під час обміну різними продуктами, і мають до цього якийсь стосунок. Доти, як стали обмінюватися продуктами своєї праці, відносини з-поміж них ніяк не можна назвати економічними. Виникнення економічних відносин поклало початок спеціалізації праці та відповідно, всьому соціально-економічному прогрессу.

На сучасному етапі економічні відносини між суб'єктами утворюють економічні системи з складної структурою, велику кількість елементів і перетинів поміж ними, що є причиною майже всіх особливостей економічних задач.

По Гатаулину основою економічної системи є виробництво, отже економічну систему можна як сукупність керованої (виробництво) і керуючій систем. На цьому випливають такі особенности:

1) масштаби виробництва як керованої системи незрівнянно більший ніж будь-який технічної керованої системы;

2) виробництво, як система, постійно вдосконалюється, і управління ним включає управління процесами совершенствования;

3) у зв’язку з науково-технічний прогрес та розвитком продуктивних сил змінюються параметри системи, що зумовлює необхідність дослідження нових закономірностей розвитку та його використання їх у управлении;

4) з ускладненням виробництва підвищуються вимоги до методів збору, накопичення, переробки інформації; її диференціації за рівнями ієрархії, з урахуванням суттєвості з погляду прийняття управлінських решений;

5) участь людини у виробництві як невід'ємну частину продуктивних сил суспільства зумовлює необхідність урахувати комплексу соціальних, біотичних, екологічних та інших факторов;

6) що у сільськогосподарському виробництві біологічних систем як коштів виробництва, їх істотна залежність випадкових природних чинників зумовлюють імовірнісний характер багатьох виробничих процесів, що необхідно враховувати під управлінням виробництвом [3 (21)].

Но крім виробничих систем у складі економічних систем належить сфера обігу євро і невиробнича сфера, які мають свою специфіку. Вона у тому, що у процесах звернення безлічі покупців і продавців передбачає необхідність урахувати трьох чинників як конкуренція, закони попиту й пропозиції, як і того, більшість умов тут також має імовірнісний характер.

Из сказаного слід, що економічні завдання, це завдання з великою кількістю невідомих, які мають різні динамічні зв’язки та взаємовідносини. Тобто економічні завдання багатомірні, і навіть будучи представлені у формі системи нерівностей і рівнянь, неможливо знайти вирішені звичайними математичними методами.

Еще однієї характерною рисою планово-економічних та інших економічних завдань є множинність можливих рішень; певну продукцію можна було одержати у різний спосіб, по-різному обираючи сировину, що застосовується устаткування, технологію і виникає організацію виробничого процесу [4 (7)]. У той самий час для управління потрібний наскільки можна мінімум варіантів і бажано найкращі. Тому другий особливістю економічних завдань є те, що це завдання екстремальні, що у своє чергу припускає наявність цільової функції.

Говоря критеріїв оптимальності, слід сказати, що у деяких випадках може виникнути ситуація, коли випадає брати до уваги одночасно ряд показників ефективності (наприклад, максимум рентабельності і перерозподілу прибутку, товарної продукції, кінцевої продукції і на т.д.). Це було пов’язано лише з формальними труднощами вибору і обгрунтування єдиного критерію, а й багатоцільовим характером розвитку систем. І тут знадобиться кілька цільових функцій і відповідно якісь поступки між ними.

Близко до багатоцільовим завданням лежать завдання з дробно-линейной функцією, коли цільова функція виражається відносними показниками ефективності виробництва (рентабельність, собівартість продукції, продуктивності праці і т.д.)[3 (139)].

Кроме всього вищевикладеного, слід враховувати, що вхідними величинами виробничих систем служать матеріальні ресурси (природні, засоби виробництва), трудові ресурси, капіталовкладення, інформаційні ресурси (інформацію про цінах, технології та інших.). З цього випливає ще одне особливість економічних завдань: наявність обмежень на ресурси. Тобто. це означатиме вираз економічної завдання у вигляді системи неравенств.

Случайный характер чинників, які впливають економічну систему, передбачає імовірнісний (стохастический) характер техніко-економічних коефіцієнтів, коефіцієнтів цільової функції, що є також особливістю економічних задач.

В той час нерідко трапляються умови, коли залежності між різними чинниками чи цільової функції нелінійні. Наприклад, це має місце у залежностях між витратами ресурсів немає і виходом кінцевий продукт. Але переважна більшість завдань зустрічається під час моделювання ринкової поведінки, коли треба враховувати чинники еластичності попиту й пропозиції, тобто. нелінійний характер змін цих величин від рівня цен.

При моделюванні ринкової поведінки крім нелінійності залежностей, зустрічається така особливість, як вимога враховувати поведінка конкурентів. Навіть радянські економісти визнавали, що дія об'єктивних економічних законів здійснюється через діяльність безлічі господарських підрозділів. У той водночас, здійснення рішення, прийнятого у одному з цих підрозділів, може надати значний вплив тих чи інших характеристик економічної ситуації в, у якій приймає рішення інші підрозділи (змінюються кількість сировини, ціни на всі вироби та інших.). Виникає, отже, комплекс оптимізаційних завдань, у кожному у тому числі якісь перемінні величини залежить від вибраних управлінь за іншими задачах[4 (124)].

Еще однієї загальної особливістю економічних завдань є дискретність (або об'єктів планування, або цільової функції). Ця целочисленность випливає із самої природи речей, предметів, якими оперує економічна наука. Тобто. неспроможна бути дробовим число підприємств, кількість робітників тощо. У цьому дискретний характер мають як об'єкти планування, а й тимчасові проміжки, всередині яких здійснюється планування. Це означає, що з плануванні будь-якого дії слід визначити, який термін воно здійснюється, коли можна, і якщо будуть результати. Отже, запроваджується ще одна дискретна змінна — временная.

Дискретность багатьох економічних показників не віддільна від неотрицательности значень (реальних предметів чи термінів може бути менше нуля).

Не слід забувати про те, що економічне система має не застигла, статична сукупність елементів, а що розвивається, змінюваний під дію зовнішніх і внутрішні чинники механізм. При це виникає ситуація, коли рішення, прийняті раніше, детермінують частково чи цілком рішення, прийняті позднее.

Таким чином, легко помітити, що економічні завдання, які вирішуються математичними методами, мають специфіку, котру визначаємо особливостями економічних систем, як більше високих форм руху проти технічними чи біологічними системами. Ці особливості економічних систем зробили недостатніми ті математичні методи, котрі виросли з потреб інших наук. Тобто. знадобився новий математичний апарат, причому й не так складніший, скільки просто враховує особливості економічних систем з урахуванням вже існуючих математичних методов.

Кроме того, економічні системи розвиваються і ускладнюються самі, змінюється їх структура, котрий іноді зміст, обумовлене науково-технічний прогрес. Це застарілими багато методи, застосовувані раніше, чи потребує їхнього коригування. У той час науково-технічний прогрес впливає і самі математичні методи, оскільки появу Мельниченка і вдосконалення електронно-обчислювальних машин прискорило широке використання методів, раніше описаних лише теоретично, чи які застосовувались тільки до невеликих прикладних завдань.

3. Особливості математичних методів, застосовуваних до вирішення економічних задач

В економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарському житті широко використовуються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемножения довжини на ширину чи обсяг силосної траншеї - перемножением довжини на середню ширину та глибину. Існує ціла ряд формул і таблиць, які полегшують господарським працівникам визначення тих чи інших величин. 5 (52)].

Не стоїть говорити про застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, це питання культуру дослідження, кожен пристойний економіст володіє такими навичками. Окремо тут стоять звані методи оптимізації, частіше звані як економіко-математичні методы.

В 60-ті роки нашого століття розгорнулася ціла дискусія про математичних методах економіки. Наприклад, академік Немчинов виділяв п’ять базових методів дослідження при планировании:

1) балансовий метод;

2) метод математичного моделирования;

3) векторно-матричный метод;

4) метод економіко-математичних множників (оптимальних громадських оценок);

5) метод послідовного приближения. 9 (153)].

В той час академік Канторович виділяв математичні методи вчетверо группы:

— макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі спроса;

— моделі взаємодії економічних підрозділів (з урахуванням теорії игр);

— лінійне моделювання, включно з низкою завдань, трохи від класичного лінійного программирования;

— моделі оптимізації, котрі виступають поза межі лінійного моделювання (динамічний, нелінійне, целочисленное, і стохастическое программирование).

И з тим, і з інший класифікацією можна сперечатися, оскільки, наприклад моделі попиту можна за ряду особливостей зарахувати до нелінійному програмування, а стохастическое моделювання сягає корінням у теорію ігор. Але це проблеми класифікації, які мають певне методологічне значення, але в разі настільки важны.

С точки ж зору ролі математичних методів можна говорити лише про широті застосування різних методів у реальних процесах планирования.

С цієї точки зору незаперечним лідером є метод лінійної оптимізації, який був розроблений академіком Канторовичем у роки ХХ-го століття. Найчастіше завдання лінійного програмування застосовується під час моделювання організації виробництва. Ось як у Канторовичу виглядає математична модель організації производства:

В виробництві беруть участь M різних виробничих чинників (інгредієнтів) — робоча сила, сировину, матеріали, устаткування, кінцеві і проміжні продукти та інших. Виробництво використовує P. S технологічних засобів виробництва, причому для кожного їх задано обсяги вироблених інгредієнтів, розраховані створення цього способу з одиничної ефективністю, тобто. заданий вектор ak = (a1k, a2k,…, amk), k = 1,2…, S, у якому кожна гілка компонент aik вказує обсяги виробництва відповідного (i-го) інгредієнта, якщо вона позитивна; і обсяг його витрати, якщо вона негативною (в способі k).

Выбор плану означає вказівку інтенсивностей використання різних технологічних способів, тобто. план визначається вектором x = (x1, x2,…, xS) з неотрицательными компонентами [4 (32)].

Обычно на кількості випущених і витрачених інгредієнтів накладаються обмеження: зробити не менше, ніж потрібно, а витрачати максимум, що є. Такі обмеження записуються в виде.

s.

S a ikxk > bi; i=1,2,…, m. (1).

k=1.

Если і > 0, то нерівність означає, що є потреба у інгредієнті у вигляді і, якщо і < 0, то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - і =¦ і¦. Далі передбачається, що використання кожного способу, що з витратою однієї з перелічених інгредієнтів чи особливо виділеного інгредієнта у кількості Ck при одиничної інтенсивності способу k. Як цільової функції приймається сумарний витрата цього інгредієнта в плане.

s.

f (x) = P. S ckxk. (2).

k=1.

Теперь загальна завдання лінійного програмування то, можливо представленій у математичної формі.

Для заданих чисел aik, ck, і bi найти.

s.

min P. S ckxk.

k=1.

при условиях.

k > 0, k = 1,2,…, s [1].

s.

S aikxk > bi, і = 1,2,…, m [2].

k=1.

План, задовольняє умовам [1] і [2], є допустимим, і якщо у ньому, крім того, досягається мінімум цільової функції, цей план оптимальный. K33].

Задача лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма завдання має рішення, (вектор x =(x1, x2,…, xk)), те існує і має рішення зворотна завдання джерело якої в транспонировании матриці прямий завдання. Рішенням зворотної завдання є вектор y = (y1, y2…, ym) компоненты якого розглядати як об'єктивно зумовлені оцінки ресурсів, тобто. оцінки, що дають цінність ресурсу і (наскільки повно він используется.

На основі об'єктивно обумовлених оцінок американським математиком Дж. Данцигом — був розроблений симплекс-метод вирішення завдань оптимального програмування. Цей метод дуже широко застосовується. Алгоритм його дуже докладно пропрацьований, і навіть складено прикладні пакети програм, що застосовуються у багатьох галузях планирования.

Метод лінійної оптимізації відтоді, як він розроблений Канторовичем, не залишався не змінювалась, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) в сучасної інтерпретації виглядає наступним образом.

S aij xj < bi (і Î I) (3).

j ÎA1.

В що ж отличие?

Во-первых обмеження записується максимум, або одно, а менше, або одно, що більше відповідає економічному змісту правої боку обмеження (bi — кількість ресурсів). У Канторовича ж ресурс записується — bi = ¦bi¦ - тобто. негативним числом, що з економічного складу розуму неприродно (як то, можливо ресурсу менше нуля).

Во-вторых, підсумовування виробляється за всім способам виробництва, а лише з певному їх подмножеству (j Î A1), что також відповідає економічним реаліям, коли з технологічним, або іншими причин в повному обсязі способи виробництва беруть участь у якомусь конкретному ограничении.

Аналогично і з ресурсами, в обмеження беруть участь в усіх ресурси відразу, а якесь їх підмножина (і Î I).

Введение

м підмножин не обмежилося вдосконалення методу лінійної оптимізації. Потреби практики змусили розробити ціла низка прийомів і методів для різних випадків описи реалій господарської практики як обмежень. Це прийоми, як запис обмежень за використанню виробничих ресурсів, запис обмежень за гарантованого обсягу робіт чи духовного виробництва продукції, прийоми моделювання при невідомих значеннях показників і з інші, у яких не стоїть останавливаться.

Цель всіх таких прийомів — дати більш розгорнуту модель будь-якого явища з господарської практики, зекономивши у своїй кількості змінних та.

Несмотря на широту застосування методу лінійного програмування, враховуючи лише 3 особливості економічних завдань — дуже багато змінних, обмеженість ресурсів немає і необхідність цільової функції. Звісно, багато завдань коїться з іншими особливостями можна зводити до лінійної оптимізації, але ці це не дає нам права випустити з уваги інший добре розроблений метод математичного моделювання — динамічний програмування. Власне, завдання динамічного програмування є описом многошаговых процесів прийняття рішень. Завдання динамічного програмування можна сформулювати так: є певна кількість ресурсу x, яку можна використовувати N різними способами. Якщо позначити через хi кількість ресурсу, що використовується i-m способом, то кожному способу порівнюється функція корисності (хi), якою виражено прибуток від цього способу. Передбачається, що це доходи вимірюються в однакових одиницях і загальний дохід дорівнює сумі доходів, отримані від використання кожного способа.

Теперь можна поставити завдання математичної формі. Найти.

max y1(x1)+ y2(x2)+ … + yn (xn) (4).

(общий прибуток від використання ресурсів всіма засобами) при условиях:

— виділені кількості ресурсів неотрицательны;

[1] x1 > 0,…, xN > 0.

— загальне кількість ресурсів одно x .

[2] x1 + x2 + … + xN = x.

Для цього загальної завдання може бути побудовано рекуррентные соотношения.

¦1(x) = max {j1(x1)}, (5).