Деякі відомості про нейронні елементи

Деякі відомості про нейронні елементи

Теоретичні основи нейроматематики були закладені на початку 40-х років.У 1943 році У. Маккалох і його учень У. Пітс (U.MCCULOCH and W. PITTS) сформулювали основні положення теорії діяльності головного мозку. Вони одержали такі результати:

• розроблена модель нейрона як найпростішого процессорного елемента, що обчислює перехідну функцію від скалярного добутку вектора вхідних сигналів і вектора вагових коефіцієнтів;

• запропонована конструкція мережі таких елементів для виконання логічних і арифметичних операцій;

• висловлена гіпотеза про те, що така мережа здатна навчатись, розпізнавати образи, узагальнювати одержану інформацію.

Не дивлячись на те, що за минулі роки нейроматематика пішла далеко вперед, твердження Маккалоха залишаються актуальними і зараз. При розмаїтті моделей нейронів, принцип їх дії залишається незмінним.

Біологічний нейрон — це нервова клітина разом з її відростами, структурна і функціональна одиниця нервової системи.

Складається із тіла (соми), що містить ядро, і відростків двох типів, що входять до нього — коротких деревовидних віток (дендритів) і одного довгого, що має вітки лише на кінці (аксома). З'єднання нейронів в нервові ланцюги відбувається за допомогою особливих контактів — синапсів. Функціонування нейронів здійснюється на основі нервових процесів, що в них розвиваютьсясинаптичних процесів і генерації нервових імпульсів. Властивості нейронів є предметом математичного моделювання і використовується при створенні логічнних пристроїв.

Нейронні мережі - це схеми з'єднань однорідних елементівнейронів, а також їх математичні моделі. Схеми з'єднань нейронів дуже різноманітні, але всі вони являють собою багатошарові просторові структури. В однолінійних мережах кожний нейрон верхнього шару впливає на один нейрон шару, що лежить нижче. Прикладом такої мережі є рефлеторна дуга, що складається із послідовно включених трьох нейронів (чутливого, проміжкового і мононейрона).

§ 2. Основні означення.

Пороговий нейрон являє собою пристрій з кількома двійковими входами і одним двійковим виходом. Кожному двійковому входу ставиться у відповідність дійсне число, яке називається вагою. Сигнал на вході пристрою дорівнює константі 0 поки вагова сума вхідних сигналів не буде дорівнювати, або поки не стане більше дійсного числа, яке називається порогом, в цьому випадку вихідний сигнал стає рівним 1.

P.

Функція P називається активуючою функцією нейрона. Для математичного поргового елемента буде вірне слідуюче спів-відношення:

G=1 if (W1*X1+W2*X2+…+Wn*Xn) T;

(*).

G=1 if (W1*X1+W2*X2+…+Wn*Xn).

Тут G — це двійковий сигнал на вході порогового елементу — пристрою з декількома двійковими входами і двійковим виходом.

Xi-це двійковий сигнал на і-вому вході пристрою, який дорівнює 1 або 0.

Wi — це вага і-вого входу, скінчене дійсне число. (i=1,…, n).

n — загальне число входів.

Т — поріг, скінчене дійсне число.

Вузли, поведінка яких з тим чи іншим степенем точності відповідає такій моделі, були знайдені в нервовій системі живих організмів. В останньому випадку нейрони мають в порівнянні із звичайними елементами ряд переваг, які зв’язані, насамперед із їх великими функціональними можливостями при таких самих затратах і розмірах.

§ 3. РЕАЛІЗАЦІЯ БУЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ НА ОДНОМУ НЕЙРОНІ.

Розглянемо алфавіт значень змінних Z2={0,1}. Самі бульові змінні будемо позначати через x1, x2,…, xn. Розглянемо множину Z2N={(a1,a2,…, an)/ai Z2}.

Означення 1.

Довільне функціональне відображення f: Z2N Z2 називається.

n-місною бульовою функцією.

Означення 2.

Якщо існує такий n+1-вимірний вектор (w0,w1,w2,…, wn), що P (w0+w1*x1+…+wn*xn) = f (x1,x2,…, xn), або, що еквівалентно, якщо існує гіперплощина, що відділяє вершини позначенні 1-ми від вершин що позначенні 0-ми n-вимірного одиничного куба, то f називається пороговим нейроном (пороговою функцією). P-предикат, який є звичайною функцією sign (x).

Означення 3.

Гіперплощина — це множина розв’язків одного лінійного рівняння із n невідомими.

Будь-який нейрон є многофункціональним елементом, тобто ми можемо перебудовувати його, керуючи вхід, так що нейрон буде реалізовувати іншу функцію, не змінюючи своєї фізичної структури.

Означення 4.

N-місним предикатом визначеним на множинах М1, М2,…, Мn називається довільне функціональне відображення множини М1*М2*…*Мn в множину {1,0}.

Означення 5.

Універсальний нейрон — це нейрон, на якому можна реалізувати довільну функцію.

Поняття універсального нейрону введено в (5).

§ 4. Нейрони в алфавіті 2={-1,1}.

До цього часу ми розглядали нейрон в алфавіті {0,1}. Нехай 2={1,-1} новий алфавіт.

n2 = { (b1,…, bn)? bi? 2}.

Перехід від алфавіту {0,1} до {1,-1} можна здійснити відображенням f: bi? (-1)bi, тобто 0?1, 1?-1.

F: 2Z2.

Аналітично цей перехід: xi=1 — 2*yi (i=1,…, n); (1).

yi=(1-xi)/2. (1*).

Отже f=(1-F)/2.

Підставивши (1) і (1*) в (*) отримаємо:

w0+w½-w1*x½+…+wn/2-wn*xn/2>0, (1-F)/2=1.

w0+w½-w1*x½+…+wn/2-wn*xn/2<0, (1-F)/2=0. (2).

Для першого рядка (2) F= -1, для другого F=1.Тоді отримуємо.

w0*2+w1-w1*x1+…+wn-wn*xn>0, F= -1.

w0*2+w1-w1*x1+…+wn-wn*xn<0, F= 1. (3).

Позначимо -2*w0-w1-…-wn=a0, w1=a1, …, wn=an.

Тоді: a0+a1*x1+…+an*xn<0, F=-1;

a0+a1*x1+…+an*xn>0, F=1; (3*).

Так як у нас w0=-T, то a0=2*T-w1-…-wn.

Таким чином, всі вагові коефіцієнти залишилися без змін, а змінився тільки поріг, який називається модифікованим порогом.

Означення 6.

Комплексним нейроном (комплекснопороговою функцією), називається така бульова функція F (x1,x2,…, xn) для якої існують такі комплексні вагові коефіцієнти (a0,a1,…, an), що P (a0+a1*x1+…+an*xn)= =F (x1,x2,…, xn).

Теорема.

Будь-яка бульова функція реалізується універсальним нейроном над полем комплексних чисел С [5].

Поняття комплексного нейрона розширює інженерні можливості реалізації нейронів.