Невласні інтеграли

Невласні інтеграли.

.

.

План Наближене обчислення означених інтегралів.

Формула прямокутників.

Формула трапецій.

Формула парабол (Сімпсона).

1. Наближені методи обчислення інтегралів В усіх випадках, коли розглянуті раніше методи знаходження первісних, не приводять до мети внаслідок того, що інтеграл не виражається через елементарні функції, і особливо тоді, коли підінтегральна функція задана таблицею (або графіком), доводиться повертатися до означення інтеграла як границі інтегральної суми. На основі цього існує ряд методів наближеного обчислення визначених інтегралів. Тут будуть розглянуті деякі з методів — метод прямокутників, трапецій і Сімпсона як найпоширеніші і широко застосовуваний для програмування обчислень на ПК.

1.1. Формули прямокутників Нехай на відрізку .

Розіб «ємо відрізок .

.

Кожна з цих сум є інтегральною сумою для .

.

.

Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис. 9.3 видно, що якщо .

1.2. Формула трапецій Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву .

.

Рис. 9.3 Рис. 9.4.

першої трапеції дорівнює .

то .

або.

.

Формула (9.9) називається формулою трапецій. Число .

1.3. Формула парабол (Сімпсона) Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

Отже, розглянемо спочатку інтеграл .

Тоді.

.

.

Нехай тепер маємо інтеграл .

.

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків .

.

Через те, що .

.

.

.

Формула (9.10) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень .

.

Проте цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо .

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл.

.

Р о з в «я з о к. За формулою (9.10) маємо:

при .

	.	.			.	.		.	.
.	— 0,5.	0,0000.		.	— 0,5.	0,0.	.	0,05.	0,0371.
.	— 0,4.	— 0,1203.		.	— 0,45.	— 0,0946.	.	0,10.	0,0772.
.	— 0,3.	— 0,1303.		.	— 0,40.	— 0,1203.	.	0,15.	0,1200.
.	— 0,2.	— 0,1081.		.	— 0,35.	— 0,1304.	.	0,20.	0,1652.
.	— 0,1.	— 0,630.		.	— 0,30.	— 0,1303.	.	0,25.	0,2122.
.		0,0000.		.	— 0,25.	— 0,1204.	.	0,30.	0,2607.
.	0,1.	0,0772.		.	— 0,20.	— 0,1081.	.	0,35.	0,3103.
.	0,2.	0,1652.		.	— 0,15.	— 0,0881.	.	0,40.	0,3610.
.	0,3.	0,2607.		.	— 0,10.	— 0,0630.	.	0,45.	0,4121.
.	0,4.	0,36 098.		.	— 0,05.	— 0,0335.	.	0,50.	0,4637.
.	0,5.	0,46 365.		.	0,00.	0,0000.

Отже,.

.

.

_.

.