Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. 
Поняття про стійкість розв " язків

Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв «язків.

.

.

План Поняття про стійкість розв «язків.

Контрольні запитання:

Які функції описують незбурений розв «язок?

Який розв «язок системи називається стійким за Ляпуновим ?

При яких умовах розв «зок називають нестійким ?

Який розв «язок називають асимптотично стійким ?

Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y (0) = 1. Дослідити розв «язок, що задовольняє цю умову, на стійкість.

При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об «єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об «єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги (різних початкових умовах) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов.

Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття «мала величина».

Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об «єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі:

.

нелінійною.

.

У системі (1.1) невідомими є функції часу .

.

які є розв «язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При .

при цьому переходять у єдину систему частинних розв «язків системи (1.1):

. … . Розв «язок . Якщо при виконанні всіх умов (1.4) хоч для одного i=k не виконується умова (1.5), тобто . . для всіх . для всіх . . для всіх . Якщо говорити про стійкість при зміні силової дії, то зміна сил відбивається на зміні коефіцієнтів диференціальних рівнянь, що описують рух. Ті системи, розв «язок яких не змінюється при незначній зміні коефіцієнтів, називаються грубими. Грубі системи є стійкими. Використана література: 1. Овчинников П. Ф., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1989. — 117−118 с. .

.

_.

.