Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин.

.

.

План Визначення та обчислення об «єму тіла.

Обчислення об «єму тіла за площами його поперечних перерізів.

Обчилення об «єму тіла обертання.

Обчислення об «ємів.

1.Обчислення об «єму тіла за його за площами поперечних перерізів На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею .

Нехай треба визначити будь-яку площу .

Інтегруючи, отримаємо.

.

.

Рис. 10.5 Рис. 10.6.

2. Об «єм тіла обертання Нехай фігура .

.

Приклад 1. Гіперболічний циліндр перетнутий двома площинами, з яких перша перпендикулярна до твірної, а друга проходить через фокус гіперболи перетину циліндра першою площиною так, що лінія її перетину з першою площиною перпендикулярна до осі гіперболи і утворює кут .

2 м, а довжина перпендикулярного до її осі відрізка, що з «єднує дві точки гіперболи і проходить через фокус, дорівнює 10 м .

Р о з в ‘ я з о к. Нехай відрізок.

.

.

Отже рівняння гіперболи буде таким: .

Підставивши сюди координати точки .

Рис. 10.7.

.

Із рівняння гіперболи знаходимо .

.

Приклад 2. Обчислити об «єм тіла, утвореного обертанням навколо осі .

Р о з в ‘ я з о к. Відступимо тут від стандартної формули для обчислення об «єму тіла обертання (див. 10.6), бо вона, в даному випадку приводить до складніших обчислень. Підемо іншим шляхом, розглянувши.

елементарний об «єм тіла,.

утвореного обертанням навколо осі .

.

.

_.

.