Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. 
Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.

.

.

План Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин.

Обчислення площі плоскої фігури.

Обчислення площі в декартових координатах.

Площа криволінійного сектора в полярних координатах.

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

1. Площа плоскої фігури.

1.1. Обчислення площі в декартових координатах В п. 9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю .

.

Нехай у прямокутній системі координат фігура .

.

Виділимо у фігурі смужку шириною .

Звідси .

.

.

Рис. 10.1 Рис. 10.2.

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі.

.

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію .

.

Зробивши заміну в цьому інтегралі .

.

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури .

.

У фігурі .

.

Приклад 1.

Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою .

Р о з в «я з о к. З рівняння гіперболи маємо.

.

Щоб знайти площу заштрихованої на рис. 10.3 фігури, досить знайти площу фігури .

Отже, .

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо.

.

Оскільки.

.

Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді.

.

Рис. 10.3 Рис. 10.4.

.

де .

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою.

.

Р о з в «я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що .

.

.

_.

.