Функції багатьох змінних. 
Означення, границя та неперервність, похідні диференціали

Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.

.

.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…, хn позначається (х1,…, хn) або М (х1,…, хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…, хn називаються координатами точки М (х1,…, хn). Відстань між точками М (х1,…, хn) і М/(х/1,…, х/n) визначається за формулою.

.

Нехай D .

Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f (x, y); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (x, y).

.

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.

Приклад 4. Знайти точки розриву функції .

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.

Нехай (х01,…, х0k,…x0n) — довільна фіксована точка в області визначення функції u = f (х1,…, хn). Надаючи значенню змінної хk приросту .

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній xk в точці (x01,…, x0n) і позначається .

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f (x1,…, xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Повним приростом функції .

.

Функція u=f (M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді.

.

де .

Диференціалом 1-го порядку du функції .

.

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .

Для диференціала du правильна формула.

.

Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:

.

Диференціалом 2-го порядку d2u функції .

Диференціал k-го порядку функції .

.

яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних .

.

Градієнт функції .

Приклад 9. Нехай .

Маємо .

Тоді .

а тому grad u (M0)= (10;3;8)= .

.

.

_.

.