Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними
В якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно. Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної. Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50): Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44). Остання формула дає розвязок загальний в області. Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді. Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня. Ми остаточно переходимо… Читати ще >
Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Інтегрування і пониження порядку деяких диференціальних рівнянь з вищими похідними.
.
.
ДР що містять n-ту похідну від шуканої функції і незалежну змінну.
а) Розглянемо ДР .
Так як .
.
Аналогічно .
.
Остання формула дає розвязок загальний в області.
.
Формулу (4.39) легко використати для знаходження розвязків задачі Коші з начальними умовами.
.
Цей розвязок представляється в вігляді .
Ф-я.
.
являється частиним розвязком ДР (4.38) з початковими умовами.
.
яким відповідають константи .
Для обчислення використовують ф-лу Коші.
.
Дійсно інтеграл .
можна розглядати як повторний інтеграл в заштрихованій області (мал. 1).
Міняючи порядок інтегрування, отримаємо .
Аналогічно обчислюємо .
.
Приходимо до ф-ли (4.42).
Таким чином розвязок (4.41) записується у вигляді 
.
Пр. 4.4 Розвязати рівняння 
.
в якому співвіднощення (4.43) не можна розвязати відносно 
.
Припустимо, що ДР (4.43) допускає параметризацію (4.44).
.
Проводимо обчислення 
.
Аналогічно обчислюємо 
.
Відмітимо два випадки, в яких ДР (4.43) легко параметрмзується.
I.
.
виміру 
.
Покладемо 
.
Піставляючи в (4.48), отримаємо 
.
Зробимо заміну 
.
.
.
Розглянемо ДР 
.
Введемо нову змінну 
.
тобто ми понизили порядок ДР (4.50) на .
Тоді р-ня 
.
Якщо замість загального розвязку (4.53) можна знайти загальний інтеграл 
.
Розглянемо два частичних випадка відносно ДР (4.50) :
а) ДР вигляду 
.
.
то з співвідношення 
.
Звідки 
.
Нехай ДР (4.55) можно розвязати відносно .
Позначимо
.
Домножимо (4.57) на 
.
Звідки 
.
з якого визначимо.
.
ми остаточно переходимо до ДР вигляду (4.38).
.
Домножимо першу рівність на 
.
.
Отже маємо 
.
Пониження порядку ДР які не містять незалежної змінної.
Ці ДР мають вигляд 
.
При цьому 
.
Обчислюємо.
.
…
.
.
.
Для їх знаходження необхідно розвявати р-ня 
.
Вводимо змінну 
.
.
звідки 
.
Шляхом заміни 
.
Тому ДР (4.62) прийме вигляд.
.
Пр 4.7 Знайти загальний розвязок ДР.
.
Маємо ДР Бернулі - 
.
тоді ДР (4.62) має перший інтерграл 
.
Маємо 
.
Візьмемо 
.
При цьому .
Маємо 
.
.
Особливих розвязків немає, так як ДР 
.
.
_.
.