Повільні хвилі

Реферат на тему:

Повільні хвилі.

Для багатьох електричних приладів необхідно отримати хвилю, що рухається зі швидкістю $$\text{<<}c$$. Це зокрема стосується приладів, у яких відбувається передача енергії та інформації від хвилі іншим носіям. Однак, згідно Ейнштейну, хвилі у вакуумі рухаються зі швидкістю світла, а будь-який інший носій (наприклад $$e^{-}$$) не може рухатися зі швидкістю $$\text{~}c$$ .

1. 1.Для створення уповільнених хвиль використовуються різні спеціальні хвильоводи:

Передача енергії від електричного потоку до ЕМ — поля називається ефектом Вавілова-Черенкова. Він виникає, коли швидкості електричного потоку та ЕМ — хвилі рівні.

1. 2. $$V=\frac{c}{\sqrt{}}$$. Метод передачі енергії: в діелектрику — вузький канал, куди запускають потік електронів.

1. 3.Метод уповільнення: використовуються дифракційні ефекти.

Розглянемо прямокутний хвильовід з діелектрику:

Розповсюдження хвилі в бруску з діелектриком — за рахунок повного відбиття. Це — відкриті діелектричні хвильоводи (бо немає металевих стінок) або світловоди. На практиці використовуються круглі волокна (див. мал.) — fiber-glass.

Досягнення полягає в тому, що немає металу, яким обумовлена більшість втрат. Ця лінія також є уповільнюючою, бо:

1. 1. $$>1$$.

2. 2.непрямолінійне розповсюдження хвилі, $$V_{\text{гр}}<c$$ .

Хвиля існує не лише в хвильоводі, але й в металі, бо хвильовід — відкритий.

Висновки Ейнштейна про те, що фотон у вакуумі рухається зі швидкістю $$V=c$$, стосується вільного нескінченного простору, тому за межами хвильовода неподалік від нього поле є, і воно рухається зі швидкістю $$V<c$$ — проте на $$\mathrm{}$$ поля бути не може через експоненційне спадання поля.

З інших міркувань: хвиля не виходить з діелектрику, тому, що всередині швидкість $$V<c$$ тобто імпульс $$p<{\text{mc}}^2$$ — і згідно з законом збереження імпульсу хвиля не може вийти з хвильоводу, бо за його межами імпульс має бути $$p={\text{mc}}^2$$. Єдина умова виходу хвилі з хвильоводу — тоді, коли швидкість хвилі в хвильоводі стане рівною с (імпульси всередині і зовні - однакові).

Розрахуємо поле у fiber-glass: шукаємо хвилю Е або ТМ.

$$\begin{array}{c}{}_{}{E}_z^l+\left(k_0^2-{}^2\right)E_z^l=0-r>=a(\text{external})\\ {}_{}{E}_z^i+\left(k_0^2-{}^2\right)E_z^i=0-r<a(\text{int}\text{ernal})\end{array}$$.

Розв’язки обох рівнянь (для зовнішнього та внутрішнього середовища) необхідно прирівняти при $$r=a$$ (на границі): $$E_z^l\left(r=a\right)=E_z^i\left(r=a\right)$$ — $$E_z^l\left(r->\mathrm{}\right)=0$$ .

В циліндричній СК: $$\frac{{}^2{E}_z}{r^2}+\frac{1}{r}\frac{E_z}{r}+\frac{{}^2{E}_z}{{}^2}+g^2{E}_z=0$$. Запишемо рівняння для скалярної функції: $$E_z=\left(k^2-{}^2\right){\mathit{}}^{-\mathit{i}}$$. Розглянемо симетричні розв’язки: $$\frac{E_z}{}=0$$. $$\{\begin{array}{c}\frac{{}^2{}^i}{r^2}+\frac{1}{r}\frac{{}^i}{r}+\left(k_0^2+{}^2\right){}^i=0-r<=a\\ \frac{{}^2{}^l}{r^2}+\frac{1}{r}\frac{{}^l}{r}+\left(k_0^2+{}^2\right){}^l=0-r>=a\end{array}$$ .

$$\begin{array}{c}{}^i\left(r\right)={\text{AJ}}_0\left(\text{gr}\right),g^2=k^2-{}^2=k_0^2-{}^2\\ {}^l\left(r\right)={\text{BJ}}_0\left(g_{0}r\right)+{\text{CN}}_0\left(g_{0}r\right),g_0^2=k_0^2-{}^2\end{array}$$ .

Якщо область містить точку $$r=\mathrm{}$$ — то розв’язок зручно брати у вигляді функцій Ханкеля, бо саме в базисі $$\left\{H_m^{\left(1\right)},H_m^{\left(2\right)}\right\}$$ є функція, що експоненційно прямує до нуля при $$r->\mathrm{}$$ .

$$H_0^{\left(1\right)}=\sqrt{\frac{2i}{}}\frac{1}{\sqrt{\text{gr}}}{e}^{-\text{igr}}$$ — йде в $$\mathrm{}$$ з хвильовода, $$H_0^{\left(1\right)}=\sqrt{\frac{2i}{}}\frac{1}{\sqrt{\text{gr}}}{e}^{-\text{igr}}$$ — йде з $$\mathrm{}$$ в хвильовід.

Отже, розв’язок треба брати у вигляді: $$\{\begin{array}{c}{}^l={\text{BH}}_0^{\left(2\right)}\left(g_{0}r\right)\\ {}^i={\text{AJ}}_0\left(\text{gr}\right)\end{array}$$, $$\begin{array}{c}{H}_{}^i\left(a\right)=H_{}^l\left(a\right)\\ E_z^i\left(a\right)=E_z^l\left(a\right)\end{array}=>g^2{}^i=g_0^2{}^l{|}_{r=a}$$, тобто $${\text{Ag}}^2{J}_0\left(\text{ga}\right)={\text{Bg}}_0^2{H}_0^{\left(2\right)}\left(g_{0}a\right)$$ .

Граничні умови для похідних $$H_{}=-\text{ik}\frac{}{r}$$. Врахуємо $$\frac{}{x}{Z}_0\left(\text{ax}\right)=\frac{}{x}{Z}_1\left(\text{ax}\right)$$ для $$ZJ$$ або $$ZH$$ — $$Z-$$ циліндрична функція. Тоді $${\text{gAJ}}_1\left(\text{ga}\right)={\text{gBH}}_1^{\left(2\right)}\left(\text{ga}\right)$$. Таким чином з граничних умов одержали: $$\{\begin{array}{c}{\text{Ag}}^2{J}_0\left(\text{ga}\right)={\text{Bg}}_0^2{H}_0^{\left(2\right)}\left(\text{ga}\right)\\ \mathit{A}{\text{gJ}}_1\left(\text{ga}\right)={\text{BgH}}_1^{\left(2\right)}\left(\text{ga}\right)\end{array}$$. Це — лінійна однорідна система відносно, А та В. Вона має розв’язок за умови $$\text{det}=0$$: $$g^2{J}_0\left(\text{ga}\right){\text{gH}}_1^{\left(2\right)}\left(\text{ga}\right)=g_0^2{H}_0^{\left(2\right)}\left(\text{ga}\right){\text{gJ}}_1\left(\text{ga}\right)$$. $$g^2=k^2-{}^2=k^2\left(1-\right)+g_{}^2$$ .

Розв’язок позначається $$g_{}a=C_{0n}$$ (перший індекс в $$C_{0n}$$ — нуль, бо брали $$m=0$$).

Знайдемо сталу розповсюдження: $$g_{}^2=k^2-{}^2$$, тоді одержуємо: $${}^2=k^2-g_{}^2=k^2-{\left(\frac{C_{0n}}{a}\right)}^2$$ .

Тут також існує критична довжина хвилі, яка відповідає $$=0$$: $$k_{{\text{кр}}_1}=\frac{C_{0n}}{\sqrt{}a}$$. Однак існує більш жорстка умова — умова того, щоб хвиля не пішла з хвильоводу: $$g=0$$: $$k_{\text{кр}}=\frac{2}{{}_{\text{кр}}}=\frac{{С}_{0т}}{a\sqrt{-1}}$$. Умовою визначення критичної хвилі у відкритих системах є не рівність сталої розповсюдження $$=0$$, а більш жорстка умова $$g=0$$. Це — умова невитікання хвилі з хвильоводу. Фізично вона є законом збереження імпульсу (коли імпульси зовні і всередині співпадають, з’являється можливість для витікання хвилі.

Показати весь текст Вартість унікальної роботи