Хвильовий опір хвильовода

Реферат на тему:

Хвильовий опір хвильовода.

Для Т — хвилі: $$\frac{E_t}{H_t}=\sqrt{\frac{}{}}=1$$ (для вакууму). Для ТЕ, ТМ хвиль введення хвильового опору не є однозначною задачею, бо існує кілька компонент. Домовились відносити опір до поперечної компоненти: $$z_{H_{\text{01}}}=\frac{E_y}{H_x}=\frac{{}_{\text{хв}}}{{}_0}1$$ .

$$z_n=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{{}_0}{{}_{\text{кр}}}\right)}^2}}$$.

Електродинамічні потенціали

Векторний і скалярний потенціали вводяться наступним чином: $$\stackrel{}{H}=\text{rot {}\stackrel{}{A}$$ — $$\stackrel{}{E}=-\text{grad}-\frac{1}{c}\frac{\stackrel{}{H}}{t}$$. У першому рівнянні, очевидно, $$\stackrel{}{A}$$ можна задавати з точністю до $$\text{grad}$$. При цьому рівняння Максвела:

$$\begin{array}{c}{}^2\stackrel{}{E}-\frac{}{c^2}\frac{{}^2\stackrel{}{E}}{t^2}=\frac{4}{}\text{grad}+\frac{4}{c^2}\frac{j}{t}\\ {}^2\stackrel{}{H}-\frac{}{c^2}\frac{{}^2\stackrel{}{H}}{t^2}=-\frac{4}{}\text{rot {}\stackrel{}{j}\end{array}$$.

Тоді отримаємо рівняння для ЕД потенціалів:

$$\{\begin{array}{c}\stackrel{}{A}+k_0^2\stackrel{}{A}=-\frac{4}{c}\\ +k_0^2=-4\end{array}$$.

Рівняння для Т, ТЕ, ТМ хвиль різні. Щоб звести їх до одного виду, використовуючи потенціали $$E_z=\left(k^2-{}^2\right)\left(x,y\right)e^{-\mathit{i}}$$, $$H_z=\left(k^2-{}^2\right)\left(x,y\right)e^{-\mathit{i}}$$, де $$$$ — електрична скалярна функція, $$$$ — магнітна скалярна функція. Якщо для Т — хвилі $$E_z=0$$ завжди, то $$/=0$$, а $$E_z$$ перетворюється в нуль завдяки $$\left(k^2-{}^2\right)=0$$. Рівняння для $$,$$ :

$$\begin{array}{c}{}_{}+\left(k^2-{}^2\right)=0\\ {}_{}+\left(k^2-{}^2\right)=0\end{array}$$ .

При цьому компоненти $$\begin{array}{c}{E}_x=\left(-\mathit{i}\frac{}{x}-\text{ik}\frac{}{y}\right)e^{-\mathit{i}}\\ H_y=\left(-{\text{ik}}_0\frac{}{x}-\mathit{i}\frac{}{y}\right)e^{-\mathit{i}}\end{array}$$ .

Інші компоненти можна отримати методом, який розглядався раніше. Для циліндричної СК: $$E_{}=\left(\text{ik}\frac{}{r}-\mathit{i}\frac{1}{r}\frac{}{}\right)e^{\mathit{i}}$$ .

Круглий хвильовід.

Очевидно, будемо користуватися циліндричною СК $$\left(r,,z\right)$$ :

Шукатимемо хвилю $$H$$. Можна розв’язати $${}_{}{H}_z+\left(k^2-{}^2\right)H_z=0$$, однак ми розв’яжемо рівняння для скалярних потенціалів: $${}_{}+\left(k^2-{}^2\right)=0$$. З урахуванням вигляду оператора Лапласа у циліндричній системі координат одержимо: $$\frac{{}^2}{r^2}+\frac{1}{r}\frac{}{r}+\frac{1}{r^2}\frac{{}^2}{r^2}=-\left(k^2-{}^2\right)=-g^2$$ .

Використаємо метод відокремлення змінних:

$$=R\left(r\right)\left(\right)$$ ;

$$\stackrel{\text{.}\text{.}}{R}+\frac{1}{r}\stackrel{\text{.}}{R}+\frac{1}{r^2}\stackrel{\text{.}\text{.}}{}R=-g^2\mathit{R}|\mathrm{:}\frac{\mathit{R}}{r^2}$$.

$$r^2\frac{\stackrel{\text{.}\text{.}}{R}}{R}+r\frac{\stackrel{\text{.}}{R}}{R}+\frac{\stackrel{\text{.}\text{.}}{}}{}=-g^2{r}^2$$. Звідки очевидно, що:

а) $$\frac{{}^{\text{'}\text{'}}}{}=-m^2{}^{\text{'}\text{'}}+m^2=0=>\left(\right)=A\text{Cos}\left(\mathit{m}+\right)$$, тут $$$$ — будь-який кут повороту, залежить лише від вибору координат (з'явився через симетрію задачі). Оберемо $$=0$$ .

б) $$r^2\frac{R^{\text{'}\text{'}}}{R}+r\frac{R^{\text{'}}}{R}+r^2{g}^2=m^2$$ — ЛДР зі змінними коефіцієнтами, тому звичайним шляхом його розв’язувати неможливопотрібно застосувати спеціальні функції. Приведемо рівняння до стандартного вигляду: заміною $$x=\text{gr}$$ воно зводиться до рівняння Бесселя:

$$\frac{d^{2}R}{{\text{dx}}^2}+\frac{1}{x}\frac{\text{dR}}{\text{dx}}+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)R=0$$ .

Його розв’язками є циліндричні функції (функції Бесселя):

$$R_m\left(x\right)=A_1{J}_m\left(x\right)+A_2{N}_m\left(x\right)$$ (*).

Функції Неймана $$N_m\left(0\right)->\mathrm{}$$

а тому очевидно, що.

$$A_2=0$$

тому що поле при.

$$r=0$$

повинно бути скінченим. Таким чином, якщо в задачі існує точка.

$$x=0$$

то розв’язок завжди береться у вигляді (*), де.

$$A_2=0$$

тобто у вигляді функції Бесселя:

$$R_m(x)=J_m(x)$$

.

.

Таким чином, $${}_m=A_m\text{Cosm}{J}_m\left(\text{gr}\right)$$, $$=\underset{m}{}{A}_m\text{Cosm}{J}_m\left(\text{gr}\right)$$ .

Скористаємося граничними умовами. Оскільки $$H_z=g^2\left(x,y\right)$$ — а $$E_{}\left(a\right)=0$$ — то можна записати: $$E_{}=-\text{ik}\frac{1}{g^2}\frac{H_z}{r}=\text{ik}\frac{}{r}=>\frac{\left(a\right)}{r}=0$$. Отже, $$J_m^{\text{'}}\left(\text{ga}\right)=0$$ — це є умова для визначення $$g$$. Корені цього рівняння аналітично не отримуються, але їх можна знайти чисельно:

$$\begin{array}{cccc}{x}_{\text{01}}& x_{\text{02}}& x_{\text{03}}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{11}}& x_{\text{12}}& x_{\text{13}}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{21}}& x_{\text{22}}& x_{\text{23}}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

$$g_{\text{mn}}a=x_{\text{mn}}$$, де $$m$$ — номер хвилі, $$n$$ — номер рядку.

$${}_m^n$$.
	3.83.	;
	1.84.	;

Отже, $${}_{\text{mn}}^2=k^2-g_{\text{mn}}^2$$. Таким чином, для хвилі $$H_{\text{01}}\mathrm{:}{g}_{\text{01}}=\frac{3\text{.}\text{83}}{a}$$. Критична довжина хвилі у хвилеводі визначається з умови $$=0=>k_{\text{кр}}^2-g^2=0=>k_{\text{кр}}=\frac{2}{{}_{\text{кр}}}=g=>k_{\text{кр}}^{\text{01}}=\frac{2\mathit{}}{3\text{.}\text{83}}=1\text{.}\text{64}a$$. Аналогічно $$H_{\text{11}}\mathrm{:}{}_{\text{кр}}^{\text{11}}=\frac{2\mathit{}}{1\text{.}\text{84}}=3\text{.}\text{41}a$$ .

Тепер знайдемо картину хвиль. Для цього скористаємося топологічними перетвореннями:

Перетворюючи $$H_{\text{10}}$$ в декартову СК, одержали $$H_{\text{11}}$$ в циліндричній СК.

Перший індекс — змінна по $$$$, другий — змінна по $$r$$. Таким чином у круглому хвильоводі «головною», «найкращою» є хвиля $$H_{\text{11}}$$ (в той час як у квадратному — $$H_{\text{10}}$$ .