Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль

Реферат на тему:

Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль.

Для однорідного ізотропного середовища в декартовій СК: $${\mathit{}}_x+k^2{E}_x=\mathrm{0,}{E}_x=\left\{E_x\text{.}\text{.}\text{.}{H}_z\right\}$$ .

Т — хвиля розповсюджується зі швидкістю світла, $$k=k_0=\frac{}{c}$$. Для неї $$E_x\text{~}{e}^{-{\text{ik}}_{0}x}$$. Підставимо в рівняння Максвела: $${}_{}{E}_x-k_0^2{E}_x+k_0^2{E}_x=0$$ ;

оскільки $${\mathit{}}_x=\underset{{}_{}{E}_x}{\underset{}{\frac{{}^2}{x^2}{E}_x+\frac{{}^2}{y^2}{E}_x}}+\underset{-{\text{ik}}_0\left(-{\text{ik}}_0\right)=-k_0^2{E}_x}{\underset{}{\frac{{}^2}{z^2}{E}_x}}$$, таким чином для Т — хвилі: $${}_{}{E}_x=0$$ — рівняння Лапласа. Для ТЕ та ТМ: $$E_z\text{~}{e}^{-\mathit{i}}$$, $$/=x_0$$ (хвиля розповсюджується в напрямку $$z$$). $${}_{}{E}_z-{}^2{E}_z+k_0^2{E}_z=0$$ .

Маємо $${}_{}{E}_z+\left(k^2-{}^2\right)E_z=0$$ — для ТЕ, ТМ.

Ми отримали систему рівнянь Максвела:

$$\begin{array}{c}T\mathrm{:}{}_{}{E}_x=0\\ E\mathrm{:}{}_{}{E}_z+\left(k^2-{}^2\right)E_z=0\\ H\mathrm{:}{}_{}{H}_z+\left(k^2-{}^2\right)H_z=0\end{array}$$.

$${}_{}=\frac{{}^2}{x^2}+\frac{{}^2}{y^2}$$ .

Т — хвиля існує там, де є розв’язок рівняння Лапласа (електрика). Ми знаємо, що рівнянням Лапласа описується електростатичне поле, наприклад у конденсаторі. Тому якщо існує електростатичне поле, то може існувати і Т — хвиля. Таким чином вона може існувати у конденсаторі, коаксіальному кабелі.

Оскільки одне рівняння і однакові граничні умови для електростатичного поля і Т — хвиля, то їх силові лінії співпадають.

Для того, щоб розв’язати задачу про хвилю, треба знайти:

1. 1.Картину полів;

2. 2.Сталу розповсюдження (швидкість);

Знайдемо ЕМ — поля між ластинами:

Тут може існувати Т — хвиля, бо існує розв’язок рівняння Лапласа для конденсатора. Картина полів зображена на малюнку, таким чином ми розв’язали задачу без викладок. А чи може у цій системі розповсюджуватися Е чи Н хвиля? Для того щоб відповісти на це запитання, необхідно розв’язати задачу (розрахувати картину полів і знайти $$$$):

$$\{\begin{array}{c}\frac{{}^2}{x^2}{E}_z+\frac{{}^2}{y^2}{E}_z+\underset{g^2}{\underset{}{\left(k^2-{}^2\right)}}{E}_z=0\\ E_z=0{|}_{\begin{array}{c}x=0\\ x=a\end{array}-\text{граничні}\text{умови}и\text{металі}}\end{array}$$, будемо вважати, що $$\frac{{}^2}{y^2}{E}_z=0$$. Ми отримали задачу Коші: $$\{\begin{array}{c}\frac{{}^2}{x^2}{E}_z+g^2{E}_z=0\\ E_z=0{|}_{\begin{array}{c}x=0\\ x=a\end{array}}\end{array}$$. Її розв’язок $$E_z=\text{ASingx}+\text{BCosgx}$$. $$E_z\left(x\right)=B=0$$ — $$E_z\left(a\right)=\text{ASinga}=0=>g_n=\frac{\mathit{}}{a}$$ .

$$E_z\left(x\right)=\text{ASin}\frac{\text{nx}}{a}$$. $$g^2=k^2-{}^2=\frac{{}^2{n}^2}{a^2}=>=\sqrt{k^2-\frac{{}^2{n}^2}{a^2}}=\frac{2}{{}_{\text{хв}}}$$. Де $${}_{\text{хв}}$$ — довжина хвилі у хвилі у хвилеводі.

Очевидно, що $$=0$$ при $$k=\frac{2}{{}_{\text{кр}}}=\frac{\mathit{}}{a}$$ — тобто існує деяка критична довжина хвилі $${}_{\text{кр}}$$ — така, що при $$>{}_{\text{кр}}$$ хвиля не буде розповсюджуватися у хвилеводі: при $$<{}_{\text{кр}}$$: $${}^2<\mathrm{0,}$$ — уявне, тобто присутнє затухання.

$${}_{\text{кр}}=\frac{2a}{n}$$ — нижня $${}_{\text{кр}}=2a$$ .

Таким чином у хвилевід зайде Т — хвиля з будь-яким $$$$ і Е — хвиля лише з $$<{}_{\text{кр}}=2a$$. Можна отримати, що $${}_{\text{хв}}=\frac{{}_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{{}_0}{{}_{\text{кр}}}\right)}^2}}$$. Якщо зменшувати $$a$$, то $${}_{\text{хв}}$$ збільшується. Також змінюється $${}_{\text{хв}}$$ при зміні $${}_0$$. Існує критична частота, коли $${}_{\text{хв}}=\mathrm{}$$, тоді хвиля не розповсюджується. $${}_0$$ — довжина Т — хвилі у вільному просторі $$k_0=\frac{2}{{}_0}=\frac{}{c}$$, $${}_{\text{хв}}-=\frac{2}{{}_{\text{хв}}}$$ ;

Таким чином, в результаті розв’язку рівняння Максвела ми знайшли лише одну компоненту хвилі $$\left(E_z\right)$$. Однак для побудови картини необхідно знайти всі інші компоненти (у ТЕ та ТМ хвиль може бути не більше п’яти компонент). Скористаємося рівняннями Максвела: будемо виходити з $$\text{rot {}\stackrel{}{E}=-\text{ik {}\stackrel{}{H}$$ .

$$\begin{array}{cc}\frac{E_z}{y}-\frac{E_y}{z}=-{\text{ikH}}_z\left(1\right)& \frac{H_z}{y}-\frac{H_y}{y}=-{\text{ikE}}_z\left(1^{\text{'}}\right)\\ \frac{E_x}{z}-\frac{E_z}{x}=-{\text{ikH}}_y\left(2\right)& \frac{H_x}{z}-\frac{H_z}{x}=-{\text{ikE}}_z\left(2^{\text{'}}\right)\\ \frac{E_y}{x}-\frac{E_x}{y}=-{\text{ikH}}_z\left(3\right)& \frac{H_y}{x}-\frac{H_x}{y}=-{\text{ikE}}_z\left(3^{\text{'}}\right)\end{array}$$.

Аналогічно для $$\text{rot {}\stackrel{}{H}$$, таким чином, для неоднорідної хвилі ми отримали повний розв’язок: $$E_z=\text{Re}\left(\text{ASin}\frac{\mathit{n}}{a}{e}^{-\mathit{i}}{e}^{\mathit{i}}\right)$$. Розглянемо пари: $$\begin{array}{c}\left(1\right)-\left(1^{\text{'}}\right)\mathrm{:}\{\begin{array}{c}-g^2{E}_y=\mathit{i}\frac{E_z}{y}-\underset{0}{\underset{}{\text{ik}\frac{H_z}{x}}}\\ -g^2{H}_x=-\text{ik}\frac{E_z}{y}+\underset{0}{\underset{}{\mathit{i}\frac{H_z}{x}}}\end{array}\\ \left(2\right)-\left(2^{\text{'}}\right)\mathrm{:}\{\begin{array}{c}-g^2{E}_x=-\mathit{i}\frac{E_z}{x}+\underset{0}{\underset{}{\text{ik}\frac{H_z}{y}}}\\ -g^2{H}_y=\text{ik}\frac{E_z}{x}+\underset{0}{\underset{}{\mathit{i}\frac{H_z}{y}}}\end{array}\end{array}$$. В нашій Е — хвилі обов’язково $$H_z=0$$, тоді з системи легко отримати інші компоненти: $$\begin{array}{c}{E}_x\text{~}\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\\ E_y=0\\ H_y\text{~}\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\end{array}$$. Таким чином маємо картину полів ТМ (Е — хвилі). Для ТЕ — хвилі - аналогічно.