Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи
Необхідно конструювати спостерігач станунедосяжний стан вичислюється по формулі. Відповідно регулятор виходу має вид. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Основы системного анализа и теория систем», А. А. Стопакевич. Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною. Використовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі… Читати ще >
Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Розрахунково-пояснювальна записка До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:
Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи
Одеса — 2010
1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі
1.1 Нелінійна модель агрегату
На прикладі розглянемо конкретну технічну систему — змішувальний бак:
Рисунок 1. Модель бака.
F1, F2, F — витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;
C1, C2, C — концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;
h — рівень рідини в бакові, м; S — площа бака, м2;
V — об'єм рідини в бакові, м3;
Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):
F10+F20-F0=0; C1,
де індекс 0 означає встановлений стан.
Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака
де
p — густина рідини, кг/м3;
w — швидкість витоку, м/с;
q — прискорення вільного падіння, q=9.81 м/с2;
і припускаючи, що
d — діаметр вихідного трубопроводу, м.
Одержимо:
чи, відповідно,
де
k — коефіцієнт.
При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями
де dv/dt — приріст об'єму рідини, — приріст маси рідини.
Наведемо цю систему у стандартному вигляді:
Позначимо:
? зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу
? теж щодо другого каналу
? зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;
? відхилення концентрації від номінальної;
— зміна втрати на виході;
— зміна концентрації на виході.
1.2 Нелінійна модель в стандартній формі
Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.
Позначивши, рівняння бака запишемо у вигляді системи:
Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються
З урахуванням того, що запишемо:
чи підставляючи
Виразимо
Підставляємо та
Таблиця 1.
y1 | 0.141 | 0.142 | 0.143 | 0.144 | 0.145 | 0.146 | 0.147 | 0.148 | 0.149 | 0.150 | 0.151 | |
t, с | 1.5 | 3.188 | 5.116 | 7.357 | 10.026 | 13.315 | 17.585 | 23.643 | 34.072 | 68.958 | ||
1.3 Отримання квадратичної моделі
Рівняння квадратичної моделі має вигляд:
Матриці з підстановкою номінального режиму:
1.4 Запис білінійної моделі
1.5 Лінеаризована модель
Лінеаризуємо залежність, розклавши її на ряд Тейлора.
З урахуванням раніше викладеного запишемо:
; (т.к), где ;
Припустивши у випадку остатку. Тоді підставивши похідну, отримаємо
;
В результаті маємо
Представивши цю систему в матричній формі:
Тоді матриці А і В запишуться в вигляді
Для визначення матриці С необхідно встановити зв’язок між векторами x и y. Оскільки, , то
;, то
Тоді
Система буде мати вигляд
Коефіцієнти моделі системи:
1.6 Модель в дискретному часі
система в дискретному часі має вид:
dt=14,89 c.
Таким чином
Задавшись, , тоді
Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:
Таблиця 3.
Збурення | Реакція виходу системи y (t) | ||||||||
u1=0 u2=0,01 | y1 y2 | 0,3 298 0,452 | 0,5 299 0,469 | 0,773 0,6 183 | 0,6 512 0,6 795 | 0,725 0,702 | 0,769 0,713 | ||
час t, с | 14,894 | 29,787 | 44,681 | 59,574 | 74,468 | 89,362 | |||
1.7 Перетворення моделі у форму Ассео
1.8 Обчислення МПФ системи
;;; n=2; i=1;
Таким чином
1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП
Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі.
Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео.
Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.
1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМ
a) в непереривному часі
Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ.
б) в дискретному часі
Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ.
1.11 Умова правомірності децентралізації
Система в формі Ассео:
,
Спектральна норма матриці, тобто максимальне сингулярне число матриці:
.
Спектральна норма матриці F:
Тоді:
Похибка складає:
Можна допустити, що децентралізація є допустимою.
2. Аналіз якісних властивостей системи
А)
Матриця являється гурвіцевою.
Б)
max s1 (A) =||A||2=0.067<1
Відповідно, матриця, А є нільпотентною.
Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою, керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25), параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально.
А) сталість:
Відповідно система являється сталою.
Відповідно система являється сталою.
Б) керованість:
;
По першому входу:
Система керована по першому входу.
По другому входу:
Система керована по другому входу.
В) спостережність:
Система спостережна.
Г) ідентифікованість:
Система є ідентифікована.
Д) параметрична інваріантність:
Система не інваріантна відносно відхилення dA.
Система не інваріантна відносно відхилення dB.
Система не інваріантна відносно відхилення dС.
Е) мінімальнофазовість і астатичність:
система являється мінімально фазовою і статичною.
Ж) розчеплюваність:
det=0.016
Система є розчеплюваною.
3. Дослідження процесів в системі і аналіз кількісних властивостей системи
3.1 Побудова графіків розгінних кривих непереривної системи
Побудова графіку розв’язання у (t) для системыи {А, В, С}, якщо
и
Таблиця 4.
Збурення | Реакція виходу системи y (t) | ||||||||
u1=0,01 u2=0 | y1 y2 | 0,435 0,445 | 0,681 0,609 | 0,820 0,0067 | 0,898 0,692 | 0,942 0,700 | 0,967 0,703 | ||
u1=0 u2=0,01 | y1 y2 | 0,435 0,037 | 0,681 0,051 | 0,820 0,056 | 0,898 0,058 | 0,942 0,059 | 0,967 0,059 | ||
час t, с | 14,3 | 28,6 | 42,9 | 57,2 | 71,5 | 85,8 | |||
Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини для неперервної системи при збуренні 0 і 0,01.
Рисунок 8. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0.
Рисунок 9. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0,01.
3.2 Побудова графіків кривих разгону дискретної системи
Система в дискретному часі має вид:
dt=14,89 c.
Таким чином
Задавшись, , тоді
Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:
Таблиця 5.
Збурення | Реакція виходу системи y (t) | ||||||||
u1=0 u2=0,01 | y1 y2 | 0,3 298 0,452 | 0,5 299 0,469 | 0,773 0,6 183 | 0,6 512 0,6 795 | 0,725 0,702 | 0,769 0,713 | ||
час t, с | 14,894 | 29,787 | 44,681 | 59,574 | 74,468 | 89,362 | |||
Рисунок 10. Характеристика витрати рідини в дискретному часі.
Рисунок 11. Характеристика концентрації в дискретному часі.
3.3 Побудова графіків кривих разгону нелінійної системи
Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.
Позначивши, рівняння бака запишемо у вигляді системи:
Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються
З урахуванням того, що запишемо:
чи підставляючи
Виразимо
Підставляємо та
Таблиця 6.
y1 | 0.141 | 0.142 | 0.143 | 0.144 | 0.145 | 0.146 | 0.147 | 0.148 | 0.149 | 0.150 | 0.151 | |
t, с | 1.5 | 3.188 | 5.116 | 7.357 | 10.026 | 13.315 | 17.585 | 23.643 | 34.072 | 68.958 | ||
По отриманим даним побудуємо графік:
Рисунок 12. Лінійна та нелінійна характеристика витрати води.
Так як немає аналітичної залежності, використаємо її кус очно-лінійну апроксимацію, представляючи на проміжкові від до функцію как. Тоді,
;
Отримані дані занесемо в таблицю:
Рисунок 13. Лінійна та нелінійна характеристика концентрації.
3.4 Сталий стан системи
Вичислимо постійне значення системи при умовах
І порівняємо його з результатом розрахунку.
4. Ідентифікація багатомірної математичної моделі по даним експеремента
4.1 Активна ідентифікація
Для дискретної форми системи (F, G, C) провести реалізацію системи.
Запишемо систему у вигляді:
Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо:
Із власних векторів від () і () побудуємо:
При
Знайдемо передаточну функцію системи:
.
4.2 Пасивна ідентифікація
Для дискретної форми системи (F, G, C) провести пасивну ідентифікацію системи:
Таблиця 7.
Такт, n | |||||||
U (n) | 0.01 | 0.04 | |||||
0.01 | 0.02 | 0.03 | |||||
Використовуючи матриці системи в дискретній формі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу Результати розрахунку занесемо до таблиці:
Таблиця 8.
Такт, n | |||||||
y (n) | 0.117 | 0.188 | 0,349 | 0.68 | 0.765 | 0.464 | |
— 0.509 | 0.3 787 | 0.9 342 | 0.1 402 | 0.12 438 | 0.4 577 | ||
Тогда Следовательно,
5. Конструювання багатомірних регуляторів, оптимізуючи динамічні властивості агрегату
5.1 Конструювання П-регулятора, оптимізую чого систему по інтегральному квадратичному критерію
Регулятор стану який оптимізує систему по критерію:
Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A, B, Q, R);
Притом Q=R=I
Так як матриця С є інвертованою, для створення регулятора виходу немає
Необхідно конструювати спостерігач станунедосяжний стан вичислюється по формулі. Відповідно регулятор виходу має вид
Позначивши через z задане значення виходу у і припускаючи, що, отримаємо
5.2 Конструювання компенсаторів завдань і вимірюваних збурень
Прийнявши до уваги, що А=В
Якщо при компенсації збурень і завдань зчитувати «вартість» управління, записавши критерій в виді
то компенсатори визначаються залежностями
Значення виходу при дії збурення f в системі без компенсаторів при z=0
З оптимальною компенсацією
f
5.3 Конструювання регулятора з компенсатором взаємозв'язків
Следовательно,
Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною
, де, .
Знайдемо
1.
2. .
5.4 Конструювання аперіодичного
Аперіодичний регулятор для дискретної системи може бути отриманий із умови. Запишем
5.5 Конструювання децентралізованого регулятора
Використовуючи форму Ассео, запишем:
Відповідно, отримаємо
Розв’яжим рівняння Ляпунова.
T=B
5.6 Конструювання надійного регулятора
Якщо матриця G моделяє відмови каналів вимірювання, то регулятор знаходиться в виді
нехай s=0.041
Відповідно, система являеться постійною при любих відхиленнях.
5.7 Конструювання блочно-ієрархічного регулятора
Використаємо регулятор стану і перевіримо чи можна створити послідовність регуляторів стану.
;;; ;
Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічного регулятора.
5.8 Конструювання регулятора для білінійної моделі
5.9 Конструювання регулятора для нелінійної системи
Сконструювати нелінійний регулятор, використовуючи початкову не спрощену модель бака.
Розрахункове співвідношення для регулятора —, де
При s=4, W=1 запишемо
Підставивши запишемо
5.10 Конструювання програмного регулятора
Використовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану в стан
.
При ;
Отримаємо
6. Аналіз властивостей зконструйованої системи з оптимальним П-регулятором
6.1 Побудова процесу в системі з П-регулятором
Стале значення виходу при дії збурення f у системі без компенсаторів при z=0
З оптимальною компенсацією
f
Рисунок 15. Графіки перехідних процесів та кривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором з компенсатором і без.
6.2 Обчислення критерію оптимальності в системі
Величина критерію оптимальності обчислюється за залежністю. Для обчислення величини критерію з довільним регулятором слід використовувати формулу
де .
розв’язавши рівняння Ляпунова отримаємо
розв’язавши рівняння Ляпунова отримаємо
При 10% та 5%
Розв’яжемо для всіх матриць при нових значеннях
, ,
При 10% та 5%
.
6.3 Обчислити чуйність системи
6.4 Проаналізувати робастність системи
6.5 Розв’язати зворотну задачу конструювання
Знайти за яким критерієм є оптимальний регулятор з компенсаторів взаємозв'язків.
де W — довільна матриця яка задовольняє умові S>0
розв’язавши отримаємо
Висновок
Таким чином, в ході виконання курсової роботи на прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічна послідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи, аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналіз властивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні були отримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, були побудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньо зв’язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використанням регулятора з компенсатором взаємозв"язків, аперіодичного, децентралізованого, надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регулятора для нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі.
Література
1. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Основы системного анализа и теория систем», А.А. Стопакевич
2. «Сложные системы: анализ, синтез, управление», А.А. Стопакевич
Додаток
Розв’язання рівняння Рікарті
Розв’язання рівняння Рікарті визначення матриці Р.
Сформуємо матрицю
Для обчислення власних значень розкриємо визначник
.
Розв’язання рівняння Ляпунова
.
Обчислення матричної експоненти
.
Фробеніусові матриці
Вандермордова матриця