Частотні критерії стійкості критерій Михайлова

Критерій Михайлова був запропонований в 1938 р. і є досить зручним для аналізу лінійних систем, особливо високого порядку (n>5).

Оцінка стійкості системи за даним критерієм виконується на основі характеристики (годографа) Михайлова, яка будується таким чином.

1. В характеристичному рівнянні замкнутої системи.

a₀pⁿ + а_n-1p^n-1+ … +a_n-1p+a_n= L (р) виконують підстановку р = jw, де j =, після чого вираз годографа Михайлова дістають у вигляді.

L (jw)=a₀(jw)ⁿ+a₁(jw)^n-1+…+a_n-1(jw)+a_n

2. Вираз L (jw) ділять на дві частини — дійсну А (w) і уявну В (w). При цьому годограф Михайлова набуває вигляду.

L (jw) = А (w)+ j В (w).

де, А (w) = a_n — а_n-2w²+a_n-4w⁴-a_n-6w⁶ ;

B (w)=a_n-1w-a_n-3w³+a_n-5w⁵-…

3. Задаючи значення w в межах від 0 до +, на комплексній площині в координатах А (w) В (w)будують годограф Михайлова, радіус-вектор L (w) якого при зміні w від 0 до + обертається проти годинникової стрілки (рис. 4. 6).

Оцінка стійкості системи здійснюється за виглядом і розміщенням кривої відносно квадрантів площини А (w) — В (w).

Доведення критерію Михайлова

Згідно з теоремою Безу вищої алгебри, характеристичне рівняння замкнутої системи n-го порядку можна записати у вигляді n співмножників а_о(р — р₁) (р — р₂) …(р — р₂) = 0,.

де р₁ р₂,. .. , р_n — корені характеристичного рівняння.

Після підстановки р =jw в характеристичне рівняння дістанемо вираз годографа Михайлова у вигляді.

A₀(jw-p₁)(jw-p₂)…(jw-p_n).

У комплексній площині величина jw знаходиться на уявній осі. Як було показано раніше при дослідженні стійкості системи за виглядом коренів характеристичного рівняння, зона стійкості знаходиться зліва від уявної осі в комплексній площині коренів. При цьому кожний вектор-співмножник (jw — р_k) у випадку стійкої системи знаходитиметься в лівій напівплощині коренів і може бути знайдений як різниця двох векторів jw і р_k Кінець кожного вектора-співмножника (jw — р_k) при зміні w ковзатиме по уявній осі, збігаючись з кінцем вектора jw (рис. 4. 7). На рисунку показано розміщення коренів для стійкої системи 3-го порядку, якій відповідають один дійсний корінь р₁ та два комплексних корені р_2,3 з від'ємною дійсною частиною.

При зміні w від -? до +? кінці всіх векторів-співмножників переміщуватимуться по уявній осі від -? до + ?. При цьому, кожний з них повернеться на кут .

Відомо, що аргумент вектора, який дорівнює добутку кількох векторів, є сума її аргументів, тому радіус-вектор годографа Михайлова при п співмножниках повернеться на кут. Тому що кожний вектор-співмножник, що відповідає дійсному кореню, або вектор-співмножник, який відповідає двом комплексним кореням, «симетричний» відносно дійсної осі, то можна обмежитись діапазоном зміни частоти від 0 до + ?. При цьому радіус-вектор годографа Михайлова повернеться.

Згідно з викладеним вище, критерій стійкості Михайлова можна сформулювати таким чином: для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб радіусвектор годографа Михайлова при зміні частоти від 0 до + ?, почавши обертання з точки, яка лежить на дійсній осі праворуч від нуля, обертаючись проти годинникової стрілки і ніде не перетворюючись в нуль, пройшов послідовно n квадрантів комплексної площини повернувшись на кут .

Приклади годографів Михайлова стійких і нестійких систем показано відповідно на рис. а і б.

Характеристики на рис. *, а відповідають системам з різними степенями п характеристичного рівняння. На рис. б криві 1,4,5 є характеристиками нестійких систем. Крива 2 — 2' відповідає нестійкій системі, тому що не витримується принцип послідовності обходу квадрантів комплексної площини, а крива 2 — 2″ — стійкій системі при n = 4.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа Михайлова через початок координат комплексної площини.

Запас стійкості системи може характеризувати відстань від точки перетину годографом Михайлова дійсної осі до початку координат у випадку стійкої системи (відстань 0' — 0 на рис. a, б).

Друге формулювання (наслідок) критерію Михайлова. Цей метод дослідження стійкості має ту перевагу порівняно з основним формулюванням, що дозволяє визначити стійкість системи по взаємному розміщенню дійсної А (w) і уявної В (w) складових без побудови самого годографа Михайлова. Крім того, друге формулювання критерію Михайлова дає змогу зручніше знаходити запас стійкості за деяким параметром.

Розглянемо особливості взаємного розміщення дійсної і уявної складових А (w) і В (w) для стійкої (рис. а) і двох нестійких (рис. б, в) систем.

Характерною рисою стійкої системи і її відмінність від нестійких систем є переміжний характер розміщення точок перетину осі w дійсної А (w) і уявної В (w) складовими годографа Михайлова. На рис. 4. 9, б, в переміжний характер перетину характеристиками A (w) та В (w) осі w відсутній.

Як було зазначено раніше, при знаходженні системи на межі стійкості годограф Михайлова проходить через початок координат. У цьому випадку розміщення А (w) та В (w) відповідає кривим 1 і 1″ на рис. г, які перетинаються в одній точці w₂ на осі w.

Якщо система стійка, то вигляд годографа Михайлова відповідає кривій 2 і кривим 1 та 1″ на рис. 4. 9, г. При цьому запас стійкості характеризує відстані між точками w₁ і w₂ на осі w.

Критичне значення певного параметра системи можна знайти з умови перетину характеристик А (w) та В (w) в одній точці на осі w.

Частоту, при якій характеристики А (w) та В (w) перетинаються на осі w, називають критичною частотою.

Згідно з викладеним, наслідок критерію Михайлова можна сформулювати таким чином: для стійкості замкнутої системи корені поліномів дійсної А (w) і уявної В (w) частотних складових годографа Михайлова повинні бути дійсними (мати точки перетину з віссю w) і переміжними.