Чисельні експерименти.
Алгебраїчна проблема власних значень
Видно, що під діагональні елементи першого стовпця стають достатньо малими, і, відповідно, діагональний елемент може бути прийнятий власним значенням. В той же час прослідковується комплексно-спряжена пара власних значень, яка відповідає блоку, утвореному елементами другого і третього стовпців, ,. Незважаючи на значні зміни в ході ітерацій самих цих елементів, власні значення, які відповідають… Читати ще >
Чисельні експерименти. Алгебраїчна проблема власних значень (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Нехай необхідно знайти власні значення та власні функції деякої матриці. Розклад цієї матриці за допомогою програмної реалізації QR-алгоритму наведеної в додатку буде мати наступний вигляд:
вектор матриця програмний алгоритм Покладемо і знайдемо QR-розклад матриці .
.
Матрицю визначимо перемноженням отриманих в результаті QR-розкладу матриць в зворотньому порядку :
.
Перша ітерація закінчена. Піддіагональні елементи матриці достатньо великі, тому ітераційний процес необхідно продовжити. Знаходимо QR-розклад (використовуючи перетворення Хаусхолдера):
.
Перемноживши отримані матриці в зворотньому порядку знаходимо матрицю.
.
Продовжуючи ітераційний процес отримаємо відповідно на 6-тій і 7-мій ітераціях відповідні матриці:
.
Видно, що під діагональні елементи першого стовпця стають достатньо малими, і, відповідно, діагональний елемент може бути прийнятий власним значенням. В той же час прослідковується комплексно-спряжена пара власних значень, яка відповідає блоку, утвореному елементами другого і третього стовпців, ,,. Незважаючи на значні зміни в ході ітерацій самих цих елементів, власні значення, які відповідають даному блоку і визначаються з розв’язку квадратного рівняння, змінюються несуттєво (в межах допустимої похибки). Таким чином, кінцевий роз’язок задачі можна записати у вигляді:
