Перехідні процеси в електричних ланцюгах

Вступ

В електроніці загалом використовують два методи для розрахунку струмів та напруг в перехідному режимі роботи схеми: класичний та операторний методи. Класичний метод доцільно застосовувати для простих схем (не більше одного реактивного елемента), адже зі зростанням складності схеми складність розрахунків зростає дуже сильно. Операторний метод більш зручний і простий, хоча можуть виникнути проблеми з визначенням функції напруги або струму по її зображенню.

Завдання на курсову роботу

1. Для заданого електричного ланцюга розрахувати перехідний процес в усіх елементах при замиканні та розмиканні ключа. Розрахунок провести класичним та операторним методами.

2. Побудувати у відповідному масштабі узгоджені часові діаграми струмів та напруг в усіх елементах електричного ланцюга.

3. Визначити сталу часу електричного ланцюга при замкненому та розімкненому стані ключа .

4. Розрахувати тривалість перехідного процесу при замиканні та розмиканні ключа .

перехідний електричний ланцюг ключ

Параметри схеми

Схема електричного кола зображена на рис. 1. Параметри елементів зведені в табл. 1.

Табл. 1.

1. Розрахунок перехідного процесу

Задамося напрямами струмів та напруг (будемо вважати що вони співпадають) (рис. 2).

1.1 Застосування класичного методу

Спочатку розрахуємо струм на індуктивності, а потім напруги та струми всіх елементів схеми.

Замикання ключа в положення «1»

Схема електричного кола після замикання в положення «1» ключа зображена на рис. 3.

Для спрощення розрахунків зробимо перетворення в схемі.

Де

Струм в індуктивності будемо шукати у вигляді суми двох складових

.

Визначимо вимушену складову :

Як видно зі схеми, напруга на резисторі R2 та на R1, R3 дорівнює напрузі джерела Е, тому струм в усталеному режимі:

Тепер визначимо вільну складову. Для цього складемо диференційне рівняння відносно напруги на котушці:

;

перейдемо до розгляду однорідного рівняння складемо характеристичне рівняння:

та знайдемо його розв’язок, звідси визначимо сталу часу .

Запишемо вираз для струму індуктивності:

.

Сталу визначимо з початкових умов ,

Початковими умовами буде струм у вітці з R3 в усталеному режимі коли ключ заходиться у положенні «2», знайдемо цей струм методом еквівалентних перетворень:

Отже, ;

Отримали наступний вираз для перехідного струму в індуктивності:

Знайдемо напругу на індуктивності:

Визначимо струми та напруги на інших елементах кола:

1) на:

струм матиме такий самий вигляд як на L:

напруга:

2) на R3:

струм матиме такий самий вигляд як на L:

напруга:

3) на R2:

Струм:

Напруга:

4) напруга джерела:

5) на S:

струм на ключі буде дорівнювати струму у вітці з R2:

.

напруга на ключі дорівнює нулю.

Замикання ключа в положення «2»

Схема електричного кола після замикання в положення «2» ключа зображена на рис. 4.

Будемо знаходити струми та напруги аналогічно п. 1.1.1.

.

Вимушена складова буде дорівнювати початковим умовам в п. 1.1.1., тобто Для того, щоб знайти вільну складову складемо диференційне рівняння відносно струму, а індуктивності. Для цього для отриманої схеми (Рис. 4.) запишемо рівняння за першим і другим законами Кірхгофа (обхід контура виберемо за годинниковою стрілкою):

Перейдемо до розгляду однорідного рівняння:

Характеристичне рівняння матиме вигляд:

Стала часу:

Вираз для струму в L:.

Сталу визначимо з початкових умов

Початковими умовами буде струм в усталеному режимі при положенні ключа в позиції «1», тобто вимушена складова у пункті 1.1.1:

Отже, стала інтегрування має вигляд:

Перехідний струм на індуктивності:

Напруга на індуктивності:

Струми та напруги на інших елементах кола:

1) на R3:

струм матиме такий самий вигляд як на L:

напруга:

3) на R1:

струм:

напруга:

2) на R2:

струм:

напруга:

4) Напруга джерела:

5) струм ключа такий самий як у вітці з R2:

напруга на ключі дорівнює нулю.

1.2 Розрахунки операторним методом

Замикання ключа у положення «1»

Перейдемо до операторної схеми (рис. 5).

Рис. 5а.

Розглянемо контур кола з джерелом та віткою з R1, R2, pL, LI₀. Запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа, та виразимо з нього зображення струму в індуктивності:

Для знаходження оригіналу i_L(t) використаємо теорему розкладання:

Знайдемо корені рівняння :

, стала часу ,

Відповідно до теореми розкладання маємо:

Початковий струм у вітці з індуктивністю дорівнював струму усталеного режиму при положенні ключа S в положенні «2», тобто вимушеній складовій у пункті 1.1.2, або початковим умовам у пункті 1.1.1:

Підставимо початковий струм у вираз :

В класичному методі вираз для струму мав вигляд Вирази повністю співпадають. Розраховувати струми та напруги всіх елементів схеми не будемо, через те що операторний метод буде більш громіздкий.

Замикання ключа у положення «2».

Операторна схема зображена на рис. 6.

Початковими умовами буде струм в усталеному режимі при положенні ключа в позиції «1», тобто вимушена складова у пункті 1.1.1:

Знайдемо струм у вітці з індуктивністю. Для цього використаїмо метод накладання:

Для того щоб знайти оригінал і3 (t) функції I3 (p) використаємо теорему розкладання. Введемо позначення:

Знайдемо корені рівняння :

, стала часу ,

Відповідно до теореми розкладання маємо:

Підставимо початкові умови:

Раніше отриманий результат має вигляд:

Як бачимо, отримані вирази повністю співпадають.

2. Побудуємо узгоджені часові діаграми струмів та напруг на всіх елементах схеми. Для цього спочатку підставимо чисельні значення в формули для сталих часу, струмів та напруг елементів схеми

2.1 Замикання ключа в положення «1»:

с

:

:

R3:

R2:

J:

S:

2.2 Замикання ключа в положення «2»:

c

L:

R3:

R1:

R2:

J:

S:

напруга на ключі дорівнює нулю.

Побудовані часові діаграми для замикання в положення «1» ключа в момент та в положення «2» в момент приведені на рис. 7.

3. Стала часу та тривалість перехідного процесу

Сталі часу вже розраховані. А тривалість перехідного процесу будемо вважати рівною. Зведемо результати до табл. 2.

Табл. 2

Висновки

Використання класичного методу для розрахунку схем першого порядку (один реактивний елемент) є досить доречним. Але для більш складних схем раціональніше використовувати операторний метод. Тож загалом можна сказати, що операторний метод є зручнішим і дозволяє поглянути на схему з іншого математичного простору — простору зображень. До того ж в операторному методі початкові умови реактивних елементів враховуються одразу, що спрощує розрахунки та аналіз.

Очевидно, що розраховувати більш складні схеми «вручну» не раціонально, адже розрахунки навіть такої простої схеми дуже громіздкі.

перехідний електричний ланцюг ключ Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9